Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Разложение функции в степенной ряд. Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции
  2. II. Признаки, ресурсы и функции власти.
  3. II. Функции
  4. II.Синдром дисфункции синусового узла (СССУ) I 49.5
  5. III. Органы, объединяющие эндокринные и неэндокринные функции
  6. III. Функции политологии. Возрастание роли политических знаний в жизни общества.
  7. III. Функции Совета

Пусть дана функция f (x), которую требуется разложить в степенной ряд, то есть представить в виде

f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + anxn +... (5.8.1)

Задача состоит в определении коэффициентов an (n = 0, 1, 2, 3,...).

Для этого, дифференцируя равенство (5.8.1) почленно, последовательно найдем:

f /(x) = 1 . a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 +... + nanxn –1 +...;

f //(x) = 1. 2 a 2 + 2 . 3 . a 3 x +... + (n –1) nanxn –2 +...;

f ///(x) = 1 . 2 . 3 a 3 +... + (n –2)(n –1) nanxn –3 +...;

................................................................................

f (n)(x) = 1 . 2. 3 .... . (n –2)(n –1) nan +....

Полагая в этих равенствах и в (5.8.1) х = 0, получим:

f (0) = a 0; f /(0) = a 1; f //(0) = 1 . 2 a 2 = 2! a 2; f ///(0) = 1 . 2 . 3 a 3 = 3! a 3;...;

f (n)(0) = 1 . 2 . 3.... . (n –1) . nan = n! an;....

Тогда a 0 = f (0);

Подставляя найденные выражения в равенство (5.8.1), получим

(5.8.2)

Это разложение функции f(x) в ряд ( 5. 8. 2 ) называется рядом Маклорена.

Если функция f (x) имеет производные всех порядков в окрестности точки а, то ее можно разложить в ряд Тейлора:

В приближенных вычислениях с помощью рядов используются разложения в ряды Маклорена элементарных функций: ex, ln(1 + x), sin x, cos x, (1+ x)m.

К этому вопросу вам необходимо законспектировать с выводом разложения в ряд Маклорена функции и затем записать (без вывода) ряды Маклорена функций sin x, cos x, ln (1+x), (1+x)m.

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Примеры| Основные механизмы СН ЭС

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)