Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Лекция 16. Числовые характеристики меры связи случайных величин

Читайте также:
  1. V Связи с общественностью
  2. XLVIII. Отказ бортовых или наземных систем (средств) радиосвязи
  3. Автомобиль связи и освещения.
  4. Авторский текст как предмет работы редактора. Основные характеристики текста.
  5. Академический отпуск в связи с призывом на военную службу
  6. Анализ современного состояния сферы услуг связи в РФ
  7. Анализ состояния и тенденций развития сферы услуг связи Выкунского района

 

Между случайными величинами может существовать функциональная взаимосвязь. Однако связь может быть и такого рода, что закон распределения одной случайной величины изменяется в зависимости от значений, принимаемых другой случайной величиной. Такую зависимость называют стохастической или вероятностной. Одной из характеристик стохастической взаимосвязи двух случайных величин является ковариация случайных величин.

Определение 1. Ковариацией случайных величин Хi и Хj называется число, равное математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин Хi и Xj от своих математических ожиданий

. (1)

 

При вычислении используется формула

 

. (2)

 

Покажем справедливость этого утверждения:

 

sij =M ((Xi – MXj) (Xj – MXj)) = M (Хi Хj – Xi MXj – MXj Xj + MXj MXj) =M (Хi Хj) – MXj MXj – MXj MXj + MXj MXj = M (Хi Хj) – MXj MXj.

 

Если Хi и Хj независимы, то ковариация равна нулю, так как М (Хi, Xj) = МХiМXj. Обратное утверждение неверно. Если ковариация не равна нулю, то случайные величины зависимы.

 

Рассмотрим некоторые свойства ковариации:

1) cov (X, Y) = cov (Y, X);

2) cov(X, X) = DX;

3) cov(X + c, Y + c) = cov (X, Y);

4) cov(Xc 1 + Yc 2, Z) = с1cov (X, Z) + с2cov (Y, Z), с1, c2 – const.

 

Пусть задан случайный вектор X = (X 1, X 2,…, Xn).

Определение 2. Ковариационной матрицей случайного вектора X = (X1, X2,…, Xn) назвается матрица å, элементами которой являются ковариации :

(3)

Очевидно, что матрица симметричная, а диагональные элементы равны дисперсиям случайных величин Х i, sii = DXi, i = 1,2,…

Определение 3. Определитель ковариационной матрицы å называется обобщенной дисперсией случайного вектора, который характеризует меру рассеивания случайного n-мерного вектора.

В теории вероятностей и её приложениях часто появляется необходимость перейти с помощью линейного преобразования к новым случайным величинам, X = (X 1, X 2, …, Xn)→ Y = (Y 1, Y 2, …, Ym), при этом .

Обозначим через С = { cij } матрицу коэффициентов линейного преобразования, через Х и Y – векторы столбцы , тогда линейное преобразование можно записать как Y = CX.

Теорема 1. Если для случайного вектора Х существует ковариационная матрица Σ, то при любых значениях элементов матрицы С существует ковариационная матрица Н для случайного вектора Y = CX, причём .

Доказательство. Пусть ; ;

Следствие 1.

. (4)

Доказательство. Пусть .

например, если n = 2, то

Следствие 2. Если в формуле из следствия 1 предположить, что , то

. (5)

Следствие 3. Если в формуле из следствия 1 предположить, что n = 1, то

 

.

Следствие 4. Если в формуле из следствия 2 предположить, что n = 2, то

 

(6)

Следствие 5. Если Хk независимы, то в матрице å все недиагональные элементы равны нулю, а диагональные элементы равны дисперсиям соответствующих элементов Хк, поэтому, учитывая следствие 2, имеем

.

Пример 1. Вычислим ковариационную матрицу å случайного вектора Z = (X,Y), дисперсии случайных величин U 1 = X + Y, U 2 = 2 X –3 Y и ковариационную матрицу Н вектора U = (U 1, U 2). Распределение случайного вектора Z задано в таблице.

 

  J         pi·
I Yj Xi   0,1 0,2 0,3  
    0,2 0,1 0,05 0,05 0,4
      0,15 0,15 0,15 0,1
        0,1 0,1 0,2
p·j   0,2 0,25 0,3 0,25

МХ = 5·0,4+6·0,4+7·0,2 = 5,8; М Y = 0·0,2+0,1·0,25+0,2·0,3+0,3·0,25 = 0,16;

М (Х,Y)= 5·0·0,2+5·0,1·0,1+5·0,05·0,2+5·0,05·0,3+6·0·0+6·0,1·0,1+6·0,15·0,2+6·0,1·0,3+7·0·0+7·0·0,1+7·0,1·0,2+7·0,1·0,3 = 0,975.

Матрица å имеет вид å= , где s11 = cov (X, X), s12 = cov (X, Y), s21 = cov (Y, X), s22 = cov(Y, Y);

s12 = s21 = M (XY)- MXMY = 0,975-5,8·0,16 = 0,047;

s11 = cov (X, X) = DX = MX 2 – (MX)2 = (52·0,4+62·0,4+72·0,2) – 5,82 = 0,56;

s22 = cov (Y, Y) = DY = MY2 – (MY) 2 = (0·0,2+0,12·0,25+0,22·0,3+0,32·0,25) – 0,162 = 0,0114.

Следовательно, å = .

 

Найдем DU 1 = D (X + Y)= 0,56 + 0,047 + 0,047 + 0,0114 = 0,6654;

DU 2 = D (2 X – 3 Y) = c1 s11 c1 + c1 s12 c2 + c2 s21 c1 + c2 s22 c2 = 2·2·0,56 – 2·3·0,047 – 3·2·0,047 + 3·3·0,0114 = 1,778.

 

Ковариационную матрицу вектора U = (U 1, U 2) можно определить по формуле

 

, где С = , тогда Н = .

 

Из свойств ковариации следует, что значение ковариации линейно зависит от масштаба измерения случайных величин. Если изменить масштаб, то изменится и значение ковариации, например, если от случайной величины Х 2 перейти к новой случайной величине Y 2 = с 2 Х 2, то cov (X 1, Y 2) = c 2 cov (X 1, X 2). Это свойство ковариации ограничивает возможности его применения. Для получения характеристики взаимосвязи случайных величин, которая бы не зависела от преобразования случайных величин вида Y = аX + в, перейдем к рассмотрению нормированных случайных величин.

Пусть Х 1, Х 2 – случайные величины. Тогда им соответствуют нормированные величины: , .

Найдем ковариацию Y 1, Y 2

 

– коэффициент корреляции случайных величин.

Определение 4. Коэффициентом корреляции случайных величин Х1, Х2 называется число rх1, х2 равное ковариации нормированных случайных величин Х1, Х2, т.е.

 

rх1, х2 = .

Для независимых случайных величин r х1,х2 = 0, так как cov(X 1, X 2) = 0. Обратное утверждение не верно (оно справедливо только для нормально распределенных случайных величин), но если r х1,х2 ¹ 0, то случайные величины Х 1, Х 2 – зависимы.

Определение 5. Случайные величины называются некоррелированными, еслиrх1, х2 = 0.

При изменении масштаба случайной величины значение корреляции не изменяется.

 

Рассмотрим пример, который показывает, что из равенства нулю коэффициента корреляции не следует независимость случайных величин.

Пусть , тогда

.

Теорема 2. Абсолютное значение коэффициента корреляции меньше либо равно 1: .

Доказательство. Пусть заданы случайные величины Х 1, Х 2. Рассмотрим нормированные случайные величины , . Тогда в соответствии с формулой (6)

 

следовательно, .

 

Теорема 3. , тогда и только тогда, когда X 1, X 2 связаны линейной зависимостью, т.е. Х 2 = a Х 1 + b, причем если a > 0, то ; если a< 0, то

Доказательство.

I. Пусть . Покажем, что Х 1 и Х 2линейно зависимы.

 

, т.е.

Покажем, что с = 0.

 

, т.е. ,

 

следовательно . Запишем последнее равенство в виде

,

выразим из него Х 2:

,

 

обозначив множитель при первом слагаемом a, а два других через b, получим, что

Х 2 = a Х 1 + b.

 

Аналогичный результат можно получить в предположении, что

 

II. Пусть Х 2 = a Х 1 + b, покажем, что .

 

 

, , следовательно

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 248 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ЛЕКЦИЯ 11. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН | ЛЕКЦИЯ 12. ТЕОРЕМА О ПЛОТНОСТИ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН | ЛЕКЦИЯ 13. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА, ФИШЕРА .ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН | Числовые характеристики случайных величин | Свойства математического ожидания случайной величины | Другие характеристики центра группирования случайной величины | Характеристики вариации случайной величины | Свойства дисперсии | ЛЕКЦИЯ 15. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ ОСНОВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ | Моменты случайной величины. Характеристики формы распределения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Доказательство.| ЛЕКЦИЯ 17. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.015 сек.)