Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Неопределенный и определенный интегралы

Читайте также:
  1. Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл
  2. Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение
  3. Глава 3. Криволинейные интегралы
  4. Глава 4. Поверхностные интегралы
  5. Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра
  6. ГЛАВА IV. Неопределенный интеграл
  7. Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения

33. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x),то = …

34. Производная от интеграла равна …

35. Дифференциал от интеграла равен …

36. Интеграл равен …

37. Если , то

38. Если функция первообразная функции , то функция f(x) равна

39. Если , то ее первообразная равна …

40. Чему равен интеграл

41. Чему равен интеграл

42. . Тогда k = …

43. . Тогда k = …

44. Найдите интегралы: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

45. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

46. Какое из выражений целесообразно принять за U при интегрировании по частям интеграла: а) ; б) ; в) ; г) .

47. Какое из выражений целесообразно принять за dV при интегрировании по частям интеграла: а) ; б) ; в) ; г) .

48. Если F(x) является первообразной функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница …

49. Вычислить определенные интегралы: а) ; б) ;

в) ; г) .

50. Вычислить определенные интегралы методом замены переменной:

а) ; б) ; в)

51. Вычислить определенные интегралы интегрированием по частям:

а) ; б) ; в) .

52. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х3, у = 0, х = 1;

б) у = х2, у = 1, х = 0.


Образцы решения задач:

1. Вычислить определитель 2-го порядка

.

РЕШЕНИЕ:

Вычисление определителя 2-го порядка проводится по формуле:

, поэтому для нашей задачи имеем:

2. Вычислить определитель 3-го порядка, пользуясь правилом треугольника

.

РЕШЕНИЕ

Вычисление определителя 3-го порядка по правилу треугольника проводится по схеме

3. Вычислить определитель 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки

.

РЕШЕНИЕ

Вычисление определителя 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки проводится по следующей формуле:

где — алгебраические дополнения элементов в данном определителе:

, а — миноры, соответствующие элементам определителя, которые являются определителями второго порядка, получаемые из данного определителя путем вычеркивания строки i и столбца j.

Следовательно, мы имеем:

4. Найти произведение двух матриц A и B, если

.

РЕШЕНИЕ

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Рассмотрим на примере:

В нашем случае имеем:

5. Найти матрицу , обратную для матрицы A, где

.

РЕШЕНИЕ

Обратная матрица находится по следующей формуле:

, где союзная матрица к матрице , а определитель, составленный из элементов данной матрицы. Подставляя, получаем: . В нашем случае:

1. Находим определитель данной матрицы:

, следовательно обратная матрица существует.

2. Находим союзную матрицу к матрице , т.е. . Для этого найдем алгебраические дополнения элементов в данной матрице (см. пример № 3):

; ;

; .

Получаем:

3. Подставляем полученные результаты в формулу и находим обратную матрицу : .

6. Найти длину вектора , если А (1;2;3), В (4;6;3).

РЕШЕНИЕ

Для нахождения длины заданного вектора вначале найдем его координаты по формуле , где . Затем по формуле , где координаты вектора , найдем его длину. В нашем случае получаем:

, тогда, подставляя координаты в формулу нахождения длины вектора, получаем:

7. Вычислить скалярное произведение векторов

.

РЕШЕНИЕ

Для вычисления скалярного произведения векторов пользуются следующей формулой:

, где координаты вектора , а координаты вектора . В нашем случае получаем:

8. Найти между векторами .

РЕШЕНИЕ

Для того, чтобы найти косинус угла между векторами воспользуемся следующей формулой:

где в числителе стоит скалярное произведение данных векторов (см. пример №7), а в знаменателе произведение их длин (см. пример №6). Найдем вначале скалярное произведение данных векторов:

Теперь найдем их длины:

.

Подставляем найденные значения в формулу:

9. Написать общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки А (2;-1) и В (-3;2).

РЕШЕНИЕ

Общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки, имеет вид:

, где координаты одной из точек, а другой.

В нашем случае это уравнение примет вид:

отсюда, воспользовавшись свойством пропорции, получим: , выразим из этого равенства :

уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки.

10. Найти точку пересечения двух прямых на плоскости, заданных общими уравнениями:

.

РЕШЕНИЕ

Для нахождения точки пересечения двух прямых, нужно составить систему из их общих уравнений и решить ее относительно .

Полученные значения и будут координатами точки пересечения данных прямых. В нашем случае получается:

Для решения данной системы умножим первое уравнение на , а второе на :

Теперь сложим почленно первое и второе уравнения:

Получили линейное уравнение, найдем из него :

.

Чтобы найти подставим в любое из исходных уравнений, ну, например, во второе:

Приведем подобные члены и выразим :

Тогда точка пересечения данных прямых имеет следующие координаты: .

11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-1) параллельно вектору .

РЕШЕНИЕ

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , параллельно заданному вектору записывается в виде:

В нашем случае, получаем:

Отсюда получаем:

;

искомое уравнение

12. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-1) перпендикулярно вектору .

РЕШЕНИЕ

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , перпендикулярно заданному вектору , записывается в виде:

В нашем случае получаем следующее уравнение:

, раскроем скобки и приведем подобные члены

искомое уравнение.

13. Вычислить пределы:

РЕШЕНИЕ

a) . При решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на :

б) При решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на :

в) при решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности, разделим числитель и знаменатель дроби на :

Так как предел числителя равен 1, а в знаменателе стоит бесконечно малая при

14. Вычислить пределы:

РЕШЕНИЕ

a) при решении данного предела возникает неопределенность вида .

Чтобы избавиться от неопределенности, можно поступить следующим образом:

1 способ. Обозначим тогда при . Подставляя, получаем:

2 способ. Заметим, что при функция является бесконечно малой (б.м.), следовательно, ее можно заменить эквивалентной, т.е. получаем, что . Подставляя в наш предел, получаем:

б)

15. Найти производные следующих функций:

а)

б)

в)

г)

д)

е) .

РЕШЕНИЕ

а) Для нахождения данной производной воспользуемся формулой отыскания производной степенной функции и производной разности . В нашем случае имеем:

;


Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 171 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Тема 1. Элементы линейной и векторной алгебры и аналитической геометрии | Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной | ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ| б) Воспользуемся свойством корня n – ой степени: . Тогда получаем: . Для нахождения производной воспользуемся формулой .

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.025 сек.)