ЗАДАЧА С-3. Пространственная система сил (Равновесие одного тела)

ЗАДАЧА С-3. Пространственная система сил (Равновесие одного тела)

Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо

ознакомиться с содержанием теоретического материала,

изложенного в ([1], раздел 1, глава 7 § 28 - 30).

Рекомендуется следующий порядок действий при решении задачи:

1. Выбрать объект равновесия.

2. Приложить активную нагрузку.

3. Отбросить связи и заменить их действие реакциями.

4. Выбранные оси координат поместить в точку расположения одного из шарниров.

5. Проверить статическую определенность задачи.

6. Составить уравнения равновесия: три уравнения сумм проекций сил на выбранные оси координат и три уравнения моментов сил относительно этих осей.

7. Решить полученную систему уравнений.

8. Сначала получить формулы в общем виде, а затем выполнить вычисления для заданных значений.

9. Проанализировать полученные результаты.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1.

ЗАДАЧА C-I

Горизонтальная балка AB нагружена силой P =6,58кН, равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью я=9,37кН/м и парой сил с моментом М=9,37 кНм. Геометрические размеры и схема нагружения показаны на рисунке 1.1. Определить реакции опор.

Рис. 1.1 - Геометрические размеры и схема нагружения балки.

Рассмотрим равновесие балки. Изобразим действующие на нее силы: силу P, пару сил с моментом М, равномерно распределённую нагрузку, которую заменим силой Q, приложенной к середине участка ДС.

Численно она равна

0=Ч-ДС= 4,19 -3,57=15 кН.

Действие связей заменим их реакциями: реакция R_a подвижного шарнира А направлена перпендикулярно наклонной поверхности, реакцию неподвижного шарнира С представим двумя составляющими X_c и Y_c (рис. 1.2).

Выберем координатные оси АХУ и составим три уравнения равновесия для полученной плоской системы сил. Задача статически определима, так как трём уравнениям равновесия соответствуют 3 неизвестных реакции связей.

Получим:

SF_kx=O; - R_a sin28° + X_c = 0; (1.1)

LF_ky=O; R_acos 28°-Q+ Y_c +P = O; (1.2)

Im_c(F_k)=O; -R_acos 28° • AC-M +Q+P • CB=O; (1.3)

Рис 1.2 - Изображение свободной балки.

Решим систему уравнений (1.1) - (1.3). Из уравнения (1.3) получим

Из уравнения (1.2) находим

Y_c = -P+Q+R_a cos 28° = -6,28+15+7,76 ■ 0,883=1,57 кН. (1.5)

Из уравнения (1.1) находим

X_c = R_a sin 28° = 7,76 • 0,469 = 3,64 кН. (1.6)

Для проверки полученных результатов составим дополнительные уравнения моментов сил относительно точки А:

Ii m_A(-^t)= -M- Q (AD ⁺ Y_c-AC + P AB = -9,37 - 15,0- 3,455 +

+ 1,57 • 5,24 + 6,58 • 8,05 = -61,2 + 61,2 = 0. (1.7)

Задача решена верно.

2. ЗАДАЧА С-2

Составная конструкция ACB состоит из жестокого угольника и стержня, соединенных шарнирно в точке С. На неё действует сила P= 6,26 кН, пара сил с моментом M=I 1,2 кН м и равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью q=7,66 кН/м. Геометрические размеры и схема нагружения показаны на рис. 2.1. Определить реакции опор.

Рис. 2.1 - Геометрические размеры и схема нагружения.

Решение

Расчленим конструкцию и рассмотрим равновесие стержня AC и угольника СКВ в отдельности. Изобразим действующие на угольник силы: силу P, реакцию стержня R_b которая направлена вдоль стержня. В точке С введём дополнительные реакции для обеих частей конструкции таким образом, чтобы при сложении частей они взаимно уничтожались: X_c = -Y_c, Y_c = -Y_c (рис. 2.2 и 2.3)

Рис. 2.2 - Равновесие стержня АС. Рис. 2.3 - Равновесие

угольника СКВ.

На стержень AC действует пара сил с моментом М, равномерно распределённая нагрузка с интенсивностью q, которую заменим сосредоточенной силой Q, приложенной к середине участка AD, численно она равна

Q = q-AD= 7,66 • 3,69 = 28,3 кН.

Действие связей заменим их реакциями: реакцию

неподвижного шарнира представим двумя составляющими X_a и Y_a; реакция R_d неподвижного шарнира D направлена перпендикулярно опорной поверхности. Для каждой из частей конструкции составим по три уравнения равновесия.

Для стержня АС:

1) 5Х = о; X_a + Rdsin23° - X, =0; (2.1)

2) 5Х = о; Y_a- Q + R_d cos23°-i;.=0; (2.2)

Для угольника СКВ:

4) EF_h = O; X_c+JPcos28°-i?_e=0; (2.4)

5) 2Х = о; Y_e + Psin₂₈ ° = 0 _; (2.5) 6J^m_c(F_ll) = O; P sm28°КС+ Pcos28° KE-R_bKB = O; (2.6)

Решим полученную систему из шести уравнений и определим

шесть неизвестных реакций связей Xa,Ya,Rd_iX_c, Yc,Rb. Из уравнения (6) находим:

Из уравнения (5) получаем: Y_c = -Psm2$ = -6,26-0,469= -2,94кН. (2.8)

Из уравнения (4) находим: X_c = R_b- Pcos28° = 4,67 - 6,26 • 0,883 = -0,85 кН. (2.9)

Из уравнения (3) находим:

(2.10)

Из уравнения (2) получаем: ^ya =Q~R_dcos23° +Y, =28,3-14,0-0,921-2,94=12,5_КН. (2.11)

Из уравнения (1) находим: =-tf₀sin23°+X, =-0,858-14,0-0,391=-6,33_КН. (2.12)

Знак (-) в выражениях (8), (9), (12) показывает, что реакции

Xа,Xс,Yс имеют направления, противоположные указанным на рис. 2.2 и 2.3.

Для проверки полученных результатов составим дополнительные уравнения равновесия для всей конструкции в целом:

- R_b-KB = - 12,5-5,41-11,2 + 28,3 3,565 - 14,0 0,921-1,72 + 6,26 0,883-3,41 + 6,26-0,469-1,94 - 4,67-5,26 = 125,4 - 125,6 я 0.

Следовательно, реакции найдены правильно.

3. ЗАДАЧА С-3

На горизонтальный вал, лежащий в цилиндрических подшипниках А и В, насажены перпендикулярно его оси шкив С радиусом г = 0,19 м и шкив Д радиусом R = 0,24 м (рис. 3.1) К шкивам приложены силы t = 9,4 кН и T, действующие перпендикулярно оси OY, причём сила T образует угол а=49 с горизонталью. AC=O,83 м; CD=O,95 м; DB=O,78 м. Определить значение силы T и реакции подшипников А и В, считая, что вал находится в равновесии.

Рис. 3.1 - Схема нагружения

Решение

Рассмотрим равновесие вала. Изобразим действующие на него силы t и T. Действие опор заменим их реакциями: реакции цилиндрических шарниров А и В представим двумя составляющими: Xa_iZa и Xb,Zb соответственно (рис. 3.2).

Рис 3.2 - Равновесие вала

Составим уравнения равновесия полученной произвольной пространственной системы сил: три уравнения проекций сил на

каждую из осей координат и три уравнения моментов сил

относительно осей, параллельных координатным и проходящим через точку А:

IX=O^-Tcosa + X_b = O- (3.1)

5Х = о;0 = 0; (3.2)

2X=0;Z,+/-7sina + Z,=0; (3.3)

^m_x(Fk) = 0;? • AC - 7s in a -AD +Z_b-AB = 0; (3.4)

Y_Jm_y(Fk) = o;t-r-T-R = 0; (3.5)

Y^mJFk) = о; Tcosa -AD-X_b-AB = O; (3.6

Решим полученную систему уравнений. Из уравнения (3.5) находим

(3.7)

Из уравнения (3.6) определим

(3.8)

Из уравнения (3.4) находим

(3.9)

Из уравнения (3.3) получаем:

Z_a = Tsina -t-Z_B= 7,44 • 0,755 - 9,4 - 0,85 = -4,64 кН. (3-Ю)

Из уравнения (3.1) находим:

X₄ = Tcosa -X_b = 7,44 ■ 0,656 - 3,39 = 1,49 кН. (3.11)

Знак (-) в выражении (3.10) показывает, что реакция Z₁ имеет направление, противоположное указанному на рис. 3.2.

Проверка

Чтобы проверить правильность полученных результатов, составим три уравнения моментов сил относительно координатных осей, помещенных в точку D:

^m_x (F_k) = Z_BDB-t-CD-Z_AAD=o,85-0,78-9,4-0,95+4,64-(0,83+0,95)= = 8,927 - 8,93 = - 0,0028 ~ 0. Y_dTn_h(F_k) = 0.

Y^mZ_l(Fb) = -X_bDB + X_aAD =. 3,39 0,78+1,49 (0,83+0,95) =- 2,644 + +2,652 = 0,0082 я 0.

Задача решена верно.

Задача C-I

Горизонтальная балка AB нагружена силой P, равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q и парой сил с моментом М. Геометрические размеры и схема нагружения показаны на рисунке.

Определить реакции опор.

Таблица - Данные для выполнения задачи C-I.

Вариант	Р, кН	q, кН/м	М, кН м	Вариант	Р, кН	q, кН/м	М, кН м
	4,4	2,0	12,3		5,5	1,2	16,3
	2,8	1,5	13,6		9,8	1,4	13,3
	6,1	1,2	17,9		3,4	2,0	14,7
	5,4	1,2	15,3		2,6	1,9	18,6
	8,2	1,3	16,3		7,4	2,1	19,4
	2,9	2,2	18,5		3,7	1,3	12,3
	4,5	1,5	15,9		8,6	2,0	11,9
	4,7	2,5	14,0		3,5	1,8	12,8
	6,2	2,2	12,2		4,2	1,9	15,4
	6,8	2,0	15,6		5,7	1,4	17,4
	9,1	1,5	17,1		9,1	1,6	16,8
	5,3	1,2	16,5		8,5	1,7	15,4
	8,5	1,4	13,4		2,9	1,5	17,3
	3,4	1,2	18,1		4,2	2,0	16,2
15 -	5,7	1,3	19,2		6,3	2,1	16,1

Задача С-2

Составная конструкция ACB состоит из жесткого угольника и стержня, соединенных шарниром в точке С. На нее действует сила P, пара сил с моментом M и равномерно распределенная нагрузка интенсивности q. Геометрические размеры, и схема нагружения показаны на рисунке. Определить реакции опор.

Таблица - Данные для выполнения задачи С-2.

Вариант	Р, кН	q, кН/м	М, кН м	Вариант	Р, кН	q, кН/м	М, кН м
	9,3	1,5	16,2		6,5	2,1	17,4
	8,2	1,4	17,1		6,9	2,6	18,8
	7,5	1,8	18,5		7,0	2,2	14,1
	6,3	1,9	15,6		7,4	2,3	13,8
	8,4	1,7	16,4		6,2	1,5	14,6
	8,5	2,0	17,7		5,9	1,9	14,9
	9,4	2,3	18,6		4,4	1,3	13,6
	5,3	1,6	16,1		7,3	1,2	14,3
	4,2	2,1	15,5		8,2	1,5	15,7
	3,9	2,0	14,2		6,6	2,2	14,8
	8,1	1,3	15,4		7,3	1,7	16,3
	9,3	1,7	16,8		8,3	1,5	17,2
U	4,4	2,2	17,3		5,8	1,8	12,6
	4,6	2,0	18,2		6,1	1,2	12,9
	5,4	1,2	13,3		4,3	2,3	13,2

Задача С-3

На горизонтальный вал, лежащий в цилиндрических подшипниках А и В, насажены перпендикулярно его оси шкив С радиусом г и шкив Д радиусом R (рис. к задаче С-3). К шкивам приложены силы t и T, действующие перпендикулярно оси OY, причём сила T образует угол а с горизонталью. AC=O,83м; CD=O,95м; DB=O,78м.

Определить значение силы T и реакции подшипников А и В, считая, что вал находится в равновесии.

Таблица - Данные для выполнения задачи С-3.

Вариант	г, M	R, м	t, кН	ос, град	Вариант	г, M	R, м	t, кН	а, град
	0,4	0,8	9,4			0,2	0,9	9,9
	0,2	1,5	10,0			0,4	0,8	3,4
	0,6	1,2	4,5			0,7	1,5	5,7
	0,6	1,2	3,4			0,9	1,9	5,4
	1,8	2,3	5,9			0,3	1,2	5,8
	0,2	0,5	8,8			0,4	1,4	5,9
	0,5	1,5	5,4			0,7	1,7	6,7
	0,4	2,5	6,7			0,8	1,4	5,5
	0,1	2,2	9,3			1,1	1,9	3,9
	0,6	2,0	5,9			1,6	2,2	6,7
	1,5	1,9	3,9			0,8	2,4	8,8
	0,5	1,2	5,2			1,2	1,5	9,5
	0,8	1,4	4,9			1,4	1,7	4,3
	0,3	1,2	11,4			0,9	1,2	2,8
	0.5	1.3	12.6			1,7	2,5	6,7

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tapr С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. - M.: Высшая школа, 1986. - 416 с.

2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. В 3-х ч. Ч. 1 / А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. - M.: Высшая школа, 1984.-344 с.

3. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / Под редакцией А.А. Яблонского. - M.: Высшая школа, 1978.- 388 с.

4. Бать М.Н. Теоретическая механика в примерах и задачах. Часть 1 / М.Н. Бать, Т.Ю. Джанилидзе, А.С. Кельзон. - M.: Наука, 1971.-321 с.

5. Винникова В.Г. Методические указания к решению типовых задач по теоретической механике. «Статика» / В.Г. Винникова, М.Н. Гофман. - Мариуполь: ПГТУ, 2004. - 46 с.

6. Винникова В.Г. Методические указания к решению типо­вых задач по теоретической механике / В.Г. Винникова, Т.Н. Карпенко. - Мариуполь: ПГТУ, 2005 - 37 с.

Дата добавления: 2015-11-05