1. Направленные отрезки. Понятие направления. Эквиполлентные отрезки. направленные отрезки – когда есть начало и конец (АВ->).\ аправлением вектора считается направление от его начала к его концу. Обычно вектор обозначается двумя буквами, над которыми ставится стрелочка, обращенная острием вправо. При этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец.
| 2. Векторы. Понятие вектора. Виды векторов. Лемма о равенстве векторов. Вектор- Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек). Виды: нулевой(вектор,начало которого совпадает с его концом: АА,0), компланарные( три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. ), коллинеарные(Два вектора параллельные одной прямой – коллинеарны.), орт(единичный). Лемма: АВ и ВА направленные отрезки эквиполентны тогда и только тогда, когда их середины совпадают.
| 5. Два вектора параллельные одной прямой – коллинеарны. три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
| |||||||||||||||||||||
4. Определение: Произведением
Построим треугольник OAB где
| Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда векторы | 3, Сложение: (правило треугольника.) Суммой Операция сложения векторов обладает свойствами: Разностью
| |||||||||||||||||||||
6. Система векторов – множ-во векторов. 2 вектора ЛЗ тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны. Определение: Система векторов Свойства линейно зависимых векторов: 1. Если среди векторов 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима. 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. 4. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые два линейно зависимые векторы коллинеарные. 5. Любые три компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые три линейно зависимые вектора компланарны. 6. Любые четыре вектора линейно зависимы.
| 7. Система векторов не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой. Свойство: если сис. векторов ЛНЗ, то любая подсистема ЛНЗ.
| 9. Любой новый вектор, выраженный через векторы системы называется Базисом в. п Число векторов базиса называется размерностью в.п. (dimV). Числа
| |||||||||||||||||||||
8. Теорема: Любой вектор | Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность | 10. Ортонормированный базис – базис векторы перпендикулярны, а длины равны 1. Пусть в ортонормированном базисе В вектор а с коор динатами(а 1,а2,а3), тогда |а|=√а12+а22+а32. При мер: пу сть а3=0 тогда а|=√а12+а22. | |||||||||||||||||||||
11. Скалярным произведением двух векторов назыв. Произведение их длинн на cos угла м/д ними, т.е векторы а*b = |a*b|*cos(a,^b) Пусть в ортогональном базисе вектора а и b с координатами (а 1,а2,а3) и (b1,b2,b3) соответственно, тогда а*b=a1b1+a2b2+a3b3.
| 12. Скалярным произведением двух векторов назыв. Произведение их длинн на cos угла м/д ними. а*b=|a|*|b|*cos(a,b) a*0=0; b*0=0; a﬩bó(a,b)=π/2=90°; a﬩bó(a,b)=a*b=0 Свойства: 1) a*b=b*a Коммутативность 2) a*(b+c)=a*b+a*c Дистрибутивность 3) ƛ*(a*b)=(ƛ*a)*b=a*(ƛ*b)Однородность относит. скалярн. множителя. 4) a2>=0, a2=a12+a22+a32>=0
| 13, L подпространство V – назыв. Векторным подпространством, если вып. 2 усл 1. ¥ a,b € L, a+b €L. 2. ¥ a € L, ¥ α € R: α * (вектор а) € L. Пример 1. Пусть V — произвольное векторное пространство. Очевидно, что все пространство V и множество M = {0}являются подпространствами в V, причем V — наибольшее подпространство в V. Следующее простое наблюдение показывает, что {0} — наименьшее подпространство в V. Замечание 1 Нулевой вектор содержится в любом подпространстве M пространства V. Доказательство. Если x — произвольный вектор из M, то по второму условию из определения подпространства 0 = 0. x принадлежит M. | |||||||||||||||||||||
14. пусть L – параллельное множество пространства. dimL=2. В=(е1,е2); а(а1,а2); в(в1,в2). В(i;j) a*b=a1b1+a2b2. a||b óa1/b1=a2b2; | a1 a2| ∆=| |=a1b2-a2b1=0 |b1 b2| Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. необходимому и достаточному условию коллинеарности двух ненулевых векторов: для коллинеарности двух векторов для коллинеарности двух ненулевых векторов Для коллинеарности двух ненулевых векторов
| 15.алгоритм: 1)определяем какая задача, аффинная или метрическая. 2)если аффинная, выбираем произвольный базис или наименьшее кол-во векторов, ч/з ктр можно определить все интересующие вектора. если метрическая, то как правило выбираем ортогональный базис. 3)все что дано переводим на язык векторов. 4)все что нужно найти переводим на язык векторов.
0 0
| 16. Аффинная система координат (аффинный репер) - прямолинейная система координат в аффинном пространстве. А. с. к. на плоскости задается упорядоченной парой неколлинеарных векторов
| |||||||||||||||||||||
17. Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей.
| 18. M делит направленный отрезок АВ в отношении ƛ≠1 | (АВ,М)=ƛ=АМ=ƛ*МВ. М | А В
(АB,N)=-2 AN=-2NB
| | | (AB,D)=-1/2 AD=-1/2DB D A B
A(x1y1) B(x2y2) (AB,M)=ƛ найти М(x,y) R=(0,e1,e2) AM=ƛMB, AO+OM=ƛ(MO+OB), OM=(1/1+ƛ)*(OA+OB)
2 2 R=(0,i,j) прямоугольная система координат. (i,j) –ортонормированный базис. (частный случай аффинной системы.) | 19. На прямой можно перемещаться в одном из двух противоположных направлений. Ориентацией прямой называется выбор одного из них. Аналогично можно говорить об ориентации отрезков прямой. Пусть дано четыре точки Ма́трицей перехо́да от базиса Обозначается
| |||||||||||||||||||||
20. Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора
| 21. a = bM + v; Где b - исходная точка, M - матрица линейного преобразования, a - преобразоавнная точка и v - вектор, соединяющий два пространства. Или другими словами, это вектор, длина которого равна расстоянию между двумя координатными пространствами. АФФИННЫЕ РЕОБРАЗОВАНИЯ, точечные взаимно однозначные отображения плоскости (пространства) на себя, при которых прямые переходят в прямые. Если на плоскости задана декартова система координат, то любое А. п. этой плоскости может быть определено посредством т. н. невырожденного линейного преобразования координат х и у точек этой плоскости. Такое преобразование задаётся формулами х' = ах + bу + р, y' = cx + dy + q с дополнительным требованием
| 24. Линия, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением, степени п, называется алгебраической линией п-го порядка. Основным предметом изучения в аналитической геометрии являются линии, определяемые по отношению к декартовым прямоугольным координатам алгебраическими уравнениями. Это суть уравнения следующих видов: 1) Ax^ + Bxy + CyP + Dx + Ey + F^O-, 2) Ах3 + Вх2у + Сху1-fDys + Ex2 + Fxy + Gys + Hx + Iy+K=0; Здесь А, В, С, D, E и т.д.— некоторые фиксированные числа; они называются коэффициентами указанных уравнений. Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.
| |||||||||||||||||||||
22. Преобразованием системы координат называется переход от одной системы координат к др. При такой замене надо установить формулы, позволяющие по известным координатам точки в одной системе координат определить ее координаты в другой. Главной целью преобразования координат является определение такой координатной системы, в ктр уравнение данной линии становится наиболее простым. Удачным расположением координатных осей можно добиться того, чтобы уравнение кривой приняло наиболее простой вид. Это имеет важное значение для исследования свойств кривой. Преобразование уравнения кривой второго порядка к простейшему виду достигается в общем случае 1) параллельным переносом координатной системы без изменения направления осей и 2) поворотом осей. Если имеются две системы прямоугольных координат с разными началами, оси которых параллельны и одинаково направлены, то между координатами одной и той же точки в этих системах существует зависимость
| 23.точки на плоскости, два числа, которые определяют положение этой точки относительно некоторой фиксированной точки О (полюс) и некоторого фиксированного луча ON (полярной оси), исходящего из полюса. Эти числа ρ (полярный радиус) и φ (полярный угол) равны соответственно расстоянию от О до Р и углу между ON и ОР. Угол φ называют иногда амплитудой, точки Р. Для взаимно однозначного соответствия между точками плоскости и парами П. к. изменение П. к. обычно ограничивают промежутками: 0 ≤ ρ ≤ + ∞; 0 ≤ φ < 2π (при этом полярный угол полюса остаётся неопределённым). Если же однозначности предпочитают непрерывность (чтобы при непрерывном движении точки её П. к. изменялись также непрерывно), то в качестве полярного угла берут величину φ0 + k π(k — произвольное число), где φ0 есть угол NOP, а полярному радиусу приписывают знак + или —, смотря по тому, совпадает ли направление луча ОР с направлением, получающимся в результате поворота оси ON на угол, равный выбранному значению полярного угла, или же эти направления противоположны. Связь между декартовыми и полярными координатами Пару полярных координат
| 25. Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида: A x +B y +C = 0, где A и B не могут быть одновременно равны нулю. Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду y =k x +b, где k - угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ. Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках
Если прямая проходит через две точки A(x1, y1) и B(x2, y2), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2 то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
Пример. Найти уравнение прямой проходящей через две точки A(1, 7) и B(2,3). Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки
Из этого уравнения выразим y через x
y - 7 = -4(x - 1)y = -4x + 11
| |||||||||||||||||||||
y-y0 a2 Ax+By+C=0. A=+a2, B=-a1, C=-x0a2+a1y0, т.к вектор а=0, то а12+а22=А2+В2≠0 =>прямая алгебраич.1 порядка. Вектор а(-В,А), А≠0, М0(-ɛ/а,0)
y A могут быть одновременно равны нулю. Лемма: пусть в аффинной сис. координат прямая l:Ax+By+C=0 В-р Р(р1,р2) || l ó Ap1+Bp2=0 (ур. паралл-ти прямой)
|| | p1 -B| p||a ó| p2 A|=0
1)А=0 B≠0 l:By+C=0 вектор a(-В,0)||е1(1,0)=> l || OX
2) B=0,A≠0..l: Ax+C=0 3)C=0 l: Ax+By=0
| 27. R=(0,e1,e2); a:A1x+B1y+C1=0, A12+B12 C12≠0 b:A2x+B2y+C2=0, A22+B22 C22≠0
A2+B2 C2=0 Вектор а(-B1, A1), вектор b(-B2, A2)
ƛ=B1/B2=A1/A2 ƛ=B1/B2≠A1/A2 (прямые пересекаются) а) B1/B2=A1/A2= С1/С2=ƛ б) B1/B2=A1/A2 ≠ С1/С2 (a || b) пример: а: 2х+3у-1=0 (a || b) b: х+3/2у=0 а: 2х+3у-1=0 (а и b совпадают) b: х+3/2у-1/2=0 а: 2х+3у-1=0 (а пересекает b) b: х-3/2у-1/2=0
| 28. R=(0,i,j), l:Ax+By+C=0, M0 (x0,y0), найти:ρ(M0,l). A принадлеж. F1, B принадлеж. F2.
M1(x1,y1) n* M0M1= ± |n|* | M0M1| |n* M0M1| = |n| | M0M1| | M0M1| =|n* M0M1| / |n| = | A(x1-x0) + B(y1- y0) | / √A2+B2 = | Ax1+By1 – (Ax0 +By0) | / √A2+B2 = = | Ax0+By0 + C | / √A2+B2 = ρ(M0,l). Вывод формулы расстояния от точки до прямой. Пример:
y=4t+5 найти: ρ(M0,l).
y=4*((x+1) / 3) + 5=0. l: 4x-3y+19 = 0. ρ(M0,l).= | 4*(-4)+(-3)*1+19 | / √42+32 = 0/5 = 0/ | |||||||||||||||||||||
29. R=(0,i,j), a:A1x+B1y+C1=0, b:A2x+B2y+C2=0,
Век-р a(-B1,A1), b(-B2,A2) a a ﬩ b ó A1A2 + B1B2=0
Пример: a: y=k1x+C1, k1x-y+C1=0; век-р e1(1,k1) b: y=k2x+C2, век-р e2(1,k2).
1+k1k2 1+k1k2 k1k2 = -1, a ﬩ b | (30)Полуплоскость в математике — множество точек плоскости, лежащих по одну сторону от некоторой прямой на этой плоскости. Координатные представления ] Декартовы координаты Координаты точек полуплоскости удовлетворяют неравенству: Ах + By + С > 0, где А, В, С — некоторые постоянные, причём А и В одновременно не равны нулю. Если сама прямая Ax + By + С = 0 (граница полуплоскости) причисляется к этой полуплоскости, то такую полуплоскость называют замкнутой. Комплексные координаты На комплексной плоскости z = х + iy рассматриваются: верхняя полуплоскость у = Im z > 0, нижняя полуплоскость у = Im z < 0, левая полуплоскость х = Re z < 0, правая полуплоскость x = Re z > 0. Свойства Две точки лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда когда отрезок между ними не пересекается с этой прямой. Полуплоскость комплексной плоскости конформно отображается на круг с помощью дробно-линейной функции. Такое отображение из верхней полуплоскости вединичный круг (и обратно) называют преобразованием Кэли.
|
| |||||||||||||||||||||
31 Основные задачи на прямую и плоскость Рассмотрим прямую Дана прямая а) доказать, что прямая пересекает плоскость; б) найти точку пересечения прямой и плоскости; в) через прямую г) найти проекцию прямой д) найти угол между прямой НеслАбо. А ведь всё началось с единственной точки пересечения =) Решение: Сначала закрепим задачу о взаимном расположении прямой и плоскости: а) Из уравнений прямой находим принадлежащую ей точку и направляющий вектор: Вектор нормали плоскости, как всегда, сдаётся без боя: Вычислим скалярное произведение: Как найти точку пересечения прямой и плоскости? б) Найдём точку пересечения плоскости и прямой: Точка С другой стороны, точка
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим «тэ нулевое»:
Интересно, что в данном пункте всё обошлось даже без векторов. Чистка хвоста очевидна: координаты точки в) Найдём уравнение плоскости д) Логическое продолжение темы. Если прямая Справедлива следующая формула синуса угла между прямой и плоскостью:
Таким образом, для нахождения данной угла достаточно знать лишь нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой. При необходимости вывод формулы можно посмотреть, например, в учебнике Атанасяна-Базылева. А мы займёмся практическим решением.
| 32 Эллипс. Вывод канонического уравнения. Свойства. Опр: Эллипсом наз сножесто точек плоскости, сумма расстояний от которых до 2 заданных точек есть величина постоянная.Заданые точки – наз фокусами эллипса.
| 33 Гипербола. Вывод канонического уравнения. Свойства. Асимптоты Гиперболой наз множеатво точек плоскости модуль разницы расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Две заданные точки наз фокусами. Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 72 | Нарушение авторских прав
|
вектора 
на вещественное число λ (скаляр) называется вектор 
, такой, что 1) 
; 2) вектор 
коллинеарен вектору 
; 3) векторы 
имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ < 0).
произведение 
является нулевым вектором.
(ассоциативное свойство сомножителей); Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину 
. Кроме того, они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с направлением 
, если λ и μ одного знака, и противоположно направлению 
, если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю, то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано
. 2. 
(свойства дистрибутивности).
и 
. Построим далее треугольник SPQ, где 
и 
. Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что 
и 
одинаково направлены, если λ > 0. Отсюда следует, что 
. Но 
и 
, а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности
и 
направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е. 
. Но 
и следовательно, в этом случае векторы 
и 
равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора 
, если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее 
. Но 
. Следовательно, и в этом случае длина вектора 
равна длине вектора 
. Очевидно, что оба эти вектора направлены так же, как 
. Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор 
коллинеарен ненулевому вектору 
двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора 
(коммутативность); 
, (ассоциативность);
для любого вектора 
такой, что 
(для получения 
достаточно поменять местами начало и конец вектора 
обозначают 
.
векторов 
называется сумма вектора 
.
получается из вектора 
и 
для любого вектора 
будет вектор 
, расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью 
,
называется линейно зависимой, если хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация векторов системы обращается в нуль, т.е. имеет место равенство 
, при 
.
есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
называется линейно независимой, если равенство нулю линейной комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из того, что 
.
– называются компонентами (или координатами) вектора 
(записывается 
).
лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами 
). Такое представление единственно. 
отличны от нуля, так как если бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор 
проведем прямые CР и CQ, параллельные векторам 
, причем векторы 
и 
коллинеарны соответственно 
, 
. Таким образом, 
, что и требовалось. Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация 
, равная 
, так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку C параллельно вектору 
линейно зависимы, тогда один из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например 
. Приложим векторы 
к одной и той же точке О (рис. 7), так что 
, 
, 
.
, 
не коллинеарны; тогда несущие их прямые определяют некоторую плоскость. В этой плоскости лежат и векторы 
и 
, а значит, и весь параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ 
, так и их сумма 
- три вектора 
, 
, 
компланарны, то либо один из них, например 
; или 
), либо все три вектора коллинеарны (следовательно 
). Тем самым следствие полностью доказано.
и 
необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами 
или 
.
и 
на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: 
или 
.
и 
в пространстве необходимо и достаточно, чтобы 
или 
.
5)с помощью алгебраических преобразований из того, что дано, получаем требуемое.
Докажем: если прямая ﬩ двум пересекающимся в плоскости, то она ﬩ плоскости..
Дано: вектора а,b – базис;
вектор l*a=0 l*b=0
вектор с || плоскости => с=αа+βb
l*c=l*(αа+βb)= α lа +β lb=0
и 
(аффинный базис) и точкой О (начало координат). Прямые, проходящие через точку Опараллельно векторам базиса, наз. осями координат. Векторы 
и 
задают на осях координат положительное направление. Ось, параллельная вектору 
, наз. осью абсцисс, а параллельная вектору 
, - осью ординат. Аффинными координатами точки Мназ. упорядоченная пара чисел 
, к-рые являются коэффициентами разложения вектора ОМ по векторам базиса: 
| | (АВ,М)=1
A B N
| | |
ƛ=1 x= x1+ƛx2 y= y1+ƛy2
на прямой. Если ориентация направленных отрезков 
и 
совпадает, то они называются одноименными. Фраза «ориентация совпадает» означает, что движение от 
к 
и от 
к 
происходит в одну сторону. Таким образом, все векторы на прямой можно разделить на два класса. Представители каждого из них ориентированны одинаково. На прямой можно задать ориентацию, то есть выбрать какой из этих классов положителен, а какой отрицателен. Те векторы, ориентация которых совпадает с заданной ориентацией прямой, называются положительно ориентированными; не совпадает — отрицательно ориентированными.
к базису 
является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов 
.
Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).
и 
. Отложим от произвольной точки O векторы 
и 
. Тогда справедливо следующее определение. Углом между векторами 
и 
называется угол между лучами OA и OB. Угол между векторами 
и 
будем обозначать как 
.
Аналогично, любое А. пространства м.б. определено при помощи невырожденных линейных преобразований координат точек пространства. Совокупность всех А. п. плоскости (пространства) на себя образует группу А. п. Это означает, в частности, что последовательное проведение двух А. п. эквивалентно некоторому одному А. п. Примерами А. п. могут служить ортогональное преобразование (это преобразование представляет собой движение плоскости или пространства или движение с зеркальным отражением); преобразование подобия; равномерное "сжатие".
где x, y -координаты точки в первоначальной системе координат, x 1, y 1 - ее координаты в новой системе координат, а x 0, y 0 - координаты нового начала O 1 в первоначальной системе координат. Эти формулы позволяют определить первоначальные координаты точки x и y, если известны ее новые координаты и координаты нового начала в первоначальной системе координат. Для обратного перехода от первоначальных к новым служат формулы 
Первоначальную систему координат иногда называют исходной, иногда - старой.
и 
можно перевести в Декартовы координаты 
и 
путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса: 
в то время как две декартовы координаты х и у 
могут быть переведены в полярную координату r:
(по теореме Пифагора).
26. R=[0,e1,e2]; вектор l=[M0,a]; l= x-x0 a1 =0
[M0,a]: x+c/a -B = 0 ó A x +B y +C = 0, где А и В не
˄
Ap1+Bp2=0
.
a∩b: A1+B1 C1=0
a || b a || b
ρ (F1,F2)= inf ρ(A,B). ° M0 n(A,B); a(-B,A)
(M0M1) ﬩ l. n a
ρ(M0,l) = | M0M1| l
l: x=3t-1 M0(-4,1) принадлеж. l
t = (x+1) / 3;
(a,^b) -? b
(a,^b) = (вектора а,^b) φ
tg φ = b1 b2 tg φ = -B2 A2 = A2 B2;
a1b1+a2b2 A1A2+B1B2 A1A2+B1B2
, которая пересекает плоскость 
. Требуется найти точку, в которой прямая пересекает плоскость: 
. Хотел разобрать задачу в общем виде, но передумал… лучше традиционный практический пример:
и плоскость 
. Требуется:
провести плоскость 
(«омега»), перпендикулярную плоскости 
;
, значит, прямая пересекает плоскость, что и требовалось доказать.
. Не «Чёрный квадрат» Малевича, но тоже шедевр:
принадлежит данной прямой, поэтому её координаты 
при некотором значении параметра 
удовлетворяют параметрическим уравнениям:
, или одной строчкой: 
.
принадлежит и плоскости 
, то есть должно выполняться равенство:
– ну, или попросту параметрические координаты точки нужно подставить в уравнение плоскости.
– полученное значение параметра подставляем в параметрические выражения координат нашей точки:
должны «подходить» и в уравнения прямой и в уравнение плоскости. Проверку несложно выполнить устно.
не перпендикулярна плоскости 
между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой 
и её проекцией на плоскость 
; 
, т.е. а и с- параметры, а>c 
; 
; 
; 
; 
; 
т.к. a>c, то 
; 
; 
- канонич ур-ние эллипса в канонич системе координат. a и b- параметры, а- большая полуось b- малая полуось. Свойства: 1) пересечение с осями координат: с Ох: 
с Оу 
; 
вершины эллипса. 2) Симметричность: 
эллипсу => эллипс симметричен относительно Оу. 
эллипсу => симметричен относит Ох 
эллипсу => О-ценр симметрии эллипса. 3) Эллипс расположен в ограниченной части плоскости 
; 
4) Эллипс можно получить из окружности с помощью сжатия или растяжения 
; 
; 
; 
5) Параметрические ур-ния эллипса: 
6) Эксцентриситет 
; 
отрезок; 
окружность(с=0). 
фокусы. 
, a<c. Если 
- модуль опускается со знаком минус. Если 
, со знаком плюс. 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
т.к. a<c, то 
; 
; 
- ка