Уравнение плоскости и прямой в пространстве.

Уравнение плоскости и прямой в пространстве.

ОПР: Уравнением поверхности называют соотношение, которому удовлетворяют абсцисса, ордината и аппликата любой точки, лежащей на этой поверхности.

f(x;у;z)=0

Если некоторая точка М (х ; у ; z ) принадлежит поверхности, то подставив координаты точки М в уравнение поверхности, получаем верное равенство.

Уравнение плоскости

ОПР: всякий ненулевой вектор перпендикулярный к данной плоскости называют нормальным для этой плоскости.

N= A; B; C - нормальный вектор.

Записать ур-е плоскости, проходящей через точку М ( х ; у ; z )

перпенд. вектору М A; B; C .

Решение:

N

Выберем т. М(х;у;z). Найдём координаты М М.

М М х-х ;у-у ;z-z М М N М М N=0

А (х-х )+ B (у-у )+ C (z-z )=0 (1)- ур-е плоскости, имеющей данную опорную точку и данный нормальный вектор.

Ах-Ах +Ву-Ву +Сz-Сz =0

Aх+Ву+Сz+(-Ах -Ву -Сz ) =0

-Ах - Ву - Сz = D

Aх+Ву+Сz+D=0 (2)- общее ур-е плоскости.

Ах+Ву+Сz=-D : (-D)

(3)- ур-е плоскости вотсекаемых отрезках, где а – отрезок отсекаемойплоскости на оси Х, в- у, с- z.

Примеры:

Построить плоскости:

1) 3х-2у+4z-12=0

2) х+3у-2z-3=0

3) х+у=4

1) 3х-2у+4х=-12 : (-12)

.4

а в с

.6

.-3

2) х+3у-2z=3 :3

1

.3

а в с

3) х+у=4 :4

а в с 4

.4

Задачи:

Записать уравнение плоскости, проходящей через 3т.

М1(х1;у1;z1)

М2(х2;у2;z2)

М3(х3;у3z3)

х-х1 у-у1 z-z1

х2-х1 у2-у1 z2-z1 =0

х3-х1 у3-у1 z3-z1

Пример:

Записать ур-е плоскости, проходящей через точки

М1 1 0 -1

М2 2 1 0

М3 -1 -2 1

х-1 у-0 z+1 х-1 у z+1

2-1 1-0 0+1 =0 1 1 1 =0

-1-1 -2-0 1+1 -2 -2 2

(х-1)* 4-у*4+(z+1)*0=0

4х-4-4у=0

4х-4у=4 :4

х-у=1

Взаимное расположение плоскостей.

П1: А1х+В1у+С1z+D1=0

А2х+В2у+С2z+D2=0

1) Плоскости совпадают:

2) Плоскости параллельные:

3) Плоскости пересекаются:

а) cosl=

в) П

А1А2+В1В2+С1С2=0

Пример:

Будут ли плоскости -ны?

2х+у-z-3=0

Х-4у+2z+12=0

они не -ны.

Уравнение прямой в пространстве.

ОПР.: всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим для данной прямой.

Задача:

Записать уравнение прямой, проходящую через параллельно

Решение:

М (х;у;z)

//

- параметрическое уравнение

- каноническое уравнение

Уравнение прямой, заданное пересечением 2х плоскостей.

П2

П1

Для нахождения направленного вектора данной прямой находят векторное произведение нормальных векторов плоскостей, при пересечении которых, получилась данная прямая.

Угол между прямой и плоскостью нап-ся как угол между нормальным вектором плоскости и направленным вектором прямой.

sin , где

П = А х+В у+С z+D =0, а

:

Задача:

Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Для этого нужно решить систему уравнений.

2*(1+2t)+(-1+3t)-3*(-t)=0

10t=-2 t=

Х=1+2*(-0,2)=0,6

У=-1+3*(-0,2)=-1,6

Z=0,2

А(0,6; -1,6; 0,2)

Дата добавления: 2015-11-04