II. Інтегральне числення
1.Невизначений інтеграл
1.1. Означення невизначенного інтеграла
Означення 1. Функція F(x) називається первісною функцією для функції f(x) на інтервалі (a, b), якщо F(x) – диференційовна на (a, b) i F¢(x)=f(x). Так, наприклад, для функцій 
, 
, 
, 
первісними відповідно є функції 
, 
, 
, 
, оскільки 
, 
, 
, 
.
Теорема 1. Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на інтервалі (a, b), то F(x)+C – теж первісна, де С – довільна стала.
Теорема 2. Якщо F1(x) i F2(x) – дві первісні для f(x) на інтервалі (a, b), то F1(x)–F2(x)=С на (a, b), де С– деяка стала.
Означення 2. Довільна первісна для функції f(x) на інтервалі (a, b), називається невизначеним інтегралом і позначається символом
Якщо F(x) – одна із первісних функції f(x), то згідно означення
(1)
де символ 
- знак інтеграла, 
, - підінтегральна функція, 
- підінтегральний вираз, 
- довільна стала величина.
Процес знаходження первісної називається інтегруванням.
Згідно з (1) зв’язок між наведеними вище функціями
, 
, 
, 
і відповідними їм первісними можна записати у вигляді інтегралів:
; (1) 
; (2)
; (3) 
. (4)
Зауваження. Інтеграли (1) – (4) входять до так званих основних табличних інтегралів.
Теорема 3. Якщо f(x) – неперервна на інтервалі (a, b), то для неї існує первісна, а, отже, і невизначений інтеграл.
1.2. Основні властивості невизначеного інтеграла
1°. | 2°. |
3°. | 4°. |
5°. 
.
6°. 
. 
7°. Якщо 
, то
а) 
;
б) 
.
Дамо формулювання наведених властивостей.
1 
. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.
2 . Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.
З точністю до сталого доданка виконуються подальші властивості.
3 . Інтеграл від похідної деякої функції дорівнює цій же функції 
плюс .
4 . Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс .
Отже, із властивостей 1 -4 видно, що операції інтегрування і диференціювання є взаємно оберненими.
5 . Сталий множник можна виносити за знак інтеграла.
6 . Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій.
Властивості 1 -7 перевіряються шляхом диференціювання. Покажемо спочатку для 1 і 2 .
Нехай - первісна для 
на деякому інтервалі, тоді згідно з (1) маємо
.
.
Зупинимось ще на властивості 5 . Знайдемо похідні від лівої і правої частини рівності:
;
.
Отже, вирази 
і 
є первісними для однієї і тієї ж функції 
, вони можуть відрізнятись на сталий доданок , що і виражає властивість 3 .
Решта властивостей перевіряються аналогічно.
Приклади. Знайти інтеграли.
=[власт.6 ]=
=
=[власт 5 ]=12 
- 
=[за табл.. інтегр. (1)- (3)]= 
+ 
= 
.
= 
=
.
=
=[за табл..
інт. (1), (4) і власт. 7 а) і б)]=
1.3. Таблиця основних невизначених інтегралів
Таблиця 1
|
a – дійсне число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 2
Це перетворення таблиці 1 за допомогою властивостей 7 а),б). (зберігаєтся нумерація таблиці 1)
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
. 16. 
.
Таблица 3
2. 
.
3. 
.
4. 
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
Вправи на застосування таблиць інтегралів
Після розгляду наведених нижче прикладів рекомендується переписати їх умови і розв’язати самостійно, записуючи по памяті необхідну для цього формулу.
I. Інтеграли вигляду 
Довідка. При інтегруванні степеневих функцій приходиться добуток і частку різних степенів змінної 
зводити до одного степеня з раціональним показником:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
В співвідношеннях 6) - 9) 
- натуральне, 
- ціле, а в співвідношеннях 1) - 4) 
- довільні дійсні числа.
Зауваження. Нижче будуть використовуватись скорочення при посиланні на таблиці, наприклад, Т3(7): таблиця 3 (формула 7), або посилання на довідку, наприклад, Д9: довідка (формула 9).
.
II. Інтеграли вигляду 
.
.
III. Інтеграли вигляду 
IV. Інтеграли вигляду 
V. Інтеграли вигляду 
Приклади. Користуючись властивостями та таблицями 1-3, знайти інтеграли. Результати перевірити за допомогою дифереціювання.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
В прикладах 58-73 підінтегральні вирази зводяться до табличних після додаткових перетворень
1.4. Інтегрування частинами
Теорема. Нехай функції U=U(x) i V=V(x) диференційовні на деякому інтервалі (a, b), тоді на (a, b) виконується рівність
(1)
Доведення. Із власивостей диференціала відомо:
.
Перейшовши до інтегралів, отримаємо рівність (1).
Приклад 1. 
Інтегруємо частинами за формулою (1)
Візьмемо 
, тоді
Приклад 2.
Із наведених прикладів бачимо, що складність інтегрування залежить від вдалого розподілу підінтегрального виразу на два співмножники 
і 
. В окремих випадках функція при диференціюванні може спрощуватись, наприклад, якщо 
,то 
і 
- уже многочлен 
- го степеня. Вираз для 
повинен бути таким, щоб інтеграл від був табличним або зводився до нього. В противному випадку розподіл підінтегрального виразу на і потрібно змінити.
Так, наприклад в інтегралах 
потрібно вибрати 
, а за відповідно брати 
тоді 
знаходиться за таблицею інтегралів.
В інтегралах 
за 
потрібно відповідно брати 
, тоді 
і 
легко знаходиться інтегруванням.
Приклади. Знайти інтеграли.
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. |
10. | 11. | 12. |
13. | 14. | 15. |
Відповіді: 1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
5. 
.
6. 
. 7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
. Вказівка. У чисельнику спочатку перетворити 
, а тоді інтегрувати частинами.
1.5. Інтегрування заміною змінної
Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на деякому інтервалі (a, b), а x=j(t) має неперервну похідну по t, причому область зміни функції x=j(t) належить області визначення функції f(x), тоді виконується рівність
(1)
Доведення. Покажемо, що ліва і права частини рівності (1) - це первісні для однієї функції відносно змінної 
. Дійсно ліва частина(1) є складною функцією відносно , тому похідна її по дорівнює:
А похідна правої частини теж має такий самий вигляд
.
Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються на сталу величину С, що і стверджує рівність (1).
Приклад 1.
Приклад 2.
Приклади Знайти інтеграли.
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. |
10. | 11. |
12. | 13. |
14. | 15 |
Відповіді: 1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
. 15. 
.
1.6. Інтегрування простих дробів
Нижче застосовуються посилання на таблиці інтегралів, коротко Т1, Т2, Т3. Наприклад, Т2, 4 – таблиця 2 інтегралів, формула 4.
рекурентна формула. Якщо позначити 
, то коротше можна записати
Підставивши n=2, маємо
При n=3 виразимо J3 через J2 і т.д.
Виділимо повний квадрат 
, де позначено 
, тоді
можна звести до табличних, якщо:
а) виділити повний квадрат;
б) за допомогою заміни змінної, яку подаємо нижче.
1.7. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен
Знаходження інтегралів
які містять квадратний тричлен можна здійснити за допомогою заміни змінної відповідно слідуючій схемі.
1) Знаходимо похідну квадратного тричлена і виносимо коефіцієнт при х за дужки
2) Вираз в дужках замінимо
3) Переходимо до змінної t під знаками інтегралів. Маємо
де позначино 
Тепер відносно нової змінної t запишемо
Для інтегралів I3 i I4 потрібно розглядати випадки: 1) a>0 i
2) a<0, розуміючи при цьому, що інтегрування можливе в області, де 
Отже, 1) a>0, тоді 
2) a<0, тоді 
(перед k2 можливий тільки знак “–”), отже
а далі за рекурентною формулою. В кінці розглянемо інтеграл
Перший з двох інтегралів знаходиться за таблицею 3, формула 1, другий – за рекурентною формулою.
Зауваження. В отриманих результатах інтегрування I1–I6 необхідно повернутись до змінної х, підставити 
Приклад 1. 
Розвязання. 1) 
2) Заміна: 
Приклад 2. 
Розвязання. 1) 
.
2) Заміна: 
.
.
.
Приклад 3. 
.
Розвязання. 1) 
.
2) Заміна: 
.
3) 
.
.
Приклади.
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. |
10. |
|
|
Відповіді: 1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
1.8. Раціональні дроби
Нехай Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an – многочлен n –го степеня відносно х, а0,а1,...,аn – задані коефіцієнти. Функція
яка є відношенням двох многочленів, називається раціональним дробом, або раціональною функцією.
Якщо m³n, то раціональний дріб називається неправильним; якщо ж m<n, то дріб – правильний. Зауважимо, що якщо дріб неправильний, то розділивши чисельник на знаменник, ми отримаємо цілу частину – деякий многочлен, а також правильний дріб. Тому далі йтиме мова про правильні раціональні дроби.
Припустимо, що знаменник може бути розкладений на множники
Pn(x)=a0(x–a)...(x–b)k...(x2+px+q)...(x2+rx+s)l (1.1)
Правильний раціональний дріб можна розкласти на прості дроби на основі такої теореми.
Теорема. Якщо знаменник раціонального дробу розкладається на множники згідно (1), то для правильного раціонального дробу має місце розклад на прості дроби
де коефіцієнти А, В, С,...,S, T знаходяться за так званим методом невизначених коефіцієнтів.
Звернемо увагу на три моменти.
Перше, коефіцієнт а0 в (1.1) можна вважати рівним 1, бо при дальнішому інтегруванні його можна винести за знак інтеграла.
Друге, серед співмножників x2+px+q чи (x2+rx+s)n можуть бути окремі випадки х2±k2, чи (x2±k2)n, коли p чи r дорівнюють нулю, а вільні члени можна представити, як ±k2.
Третє, метод невизначених коефіцієнтів викладемо на конкретному прикладі в наступному параграфі.
Приклади. Записати розклад правильних дробів на прості.
1.9. Інтегрування раціональних дробів
Нехай дано 
де 
раціональний дріб.
Щоб проінтегрувати функцію R(x), необхідно:
Розділити чисельник на знаменник у випадку неправильного дробу (m³n). В результаті отримаємо цілу частину – многочлен степеня (m–n), який інтегрується легко, а також правильний дріб.
1) Розкладаємо правильний дріб на прості дроби у вигляді розкладу (1) в 1.8, коефіцієнти якого знаходимо за методом невизначених коефіцієнтів.
2) Інтегруємо кожний з простих дробів, як це показано в 1.6 і 1.7.
Приклад. 
Розв’язання. Правильний дріб, що під знаком інтеграла розбиваємо на прості (див. теорему в 1.8).
де в даній тотожності A, B, C, D – невідомі коефіцієнти, знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів. Для цього домножимо обидві частини тотожності (1) на спільний знаменник: (х–1)(х+1)(х2+4). Після скорочення маємо нову тотожність
Коефіцієнти А і В можна знайти досить простим способом, поклавши в (2) спочатку х =1, тоді
Аналогічно при х = –1 із (2) знаходимо
10 = В (–1–1)×5 Þ В = –1.
В області дійсних чисел х2 +4 ¹0, отже застосований спосіб вже не підходить, тому для знаходження С і D розкриємо дужки в правій частині (2) і згрупуємо відносно степенів х. Отримаємо:
Відомо, що два многочлени тотожно рівні, якщо в них
збігаються коефіцієнти при однакових степенях х. Отже, при х3 в лівій частині 0, а в правій А+В+С і т.д. Отримаємо систему рівнянь:
– після додавання рівнянь I–IV.
Додамо рівняння ІІ і IV, тоді матимемо
10 = 5 А –5 В Þ 5 В = 5 – 10 Þ В = –1.
З І-го рівняння: 0 = 1–1+ С Þ С =0.
З ІІ-го рівняння: D = 6 – A + B = 6 –1–1 = 4.
Отже в розкладі (1) маємо А = 1, B = –1, C = 0, D = 4.
Зауважимо, що значення А і В ми підтвердили із системи рівнянь, хоча знайшли їх раніше з тотожності. На практиці комбінують обидва способи. Так в отриману систему ми могли б підставити відомі нам раніше А і В, а в системі досить було б обмежитись двома рівняннями, де входять С і D.
Таким чином, розклад (1) прийме вигляд:
Тепер легко знайти інтеграли:
Приклади. Знайти інтеграли.
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. |
10. | 11. | 12. |
Відповіді: 1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
5. 
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
. 10. 
.
11. 
.
12. 
.
1.10. Поняття раціональної функції багатьох змінних
Означення 1. Сума добутків числових коефіцієнтів та натуральних степенів кількох змінних називається многочленом цих змінних.
Наприклад.
– многочлен 3-х змінних U,V,W.
Означення 2. Відношення двох многочленів кількох змінних називається раціональною функцією цих змінних.
Наприклад.
раціональна функція трьох змінних.
1.11. Інтегрування деяких ірраціональних функцій
Нехай дана раціональна функція R (U, V,..., Z), покладемо 
отримаємо функцію 
тоді, щоб знайти інтеграл 
необхідно спочатку знайти спільний знаменник всіх дробів 
. Нехай він дорівнює k, зробимо заміну x=tk, dx=k×tk-1dt.
Тоді кожний дробовий степінь х виразиться через цілий степінь змінної t, а це означає, що функція 
перетвориться в раціональну функцію відносно змінної t.
Наприклад. 
Спільний знаменник дробів 
дорівнює 12, тому замінимо 
.Тоді
Дальніший процес інтегрування рекомендується завершити самостійно з переходом в кінці від змінної t до змінної x, де 
Приклади. Знайти інтеграли.
1. | 2. | 3. |
4. | 5. |
|
Відповіді: 1. 
.
2. 
.
3.
<== предыдущая лекция
|
следующая лекция ==>
|
.
.
.
.
.
.
.
.
(заміна 
)
