1. Обчислити , де область обмежена площинами: .

1. Потрійний інтеграл

1. Обчислити , де область обмежена площинами: .

Для визначення границь інтегрування, потрібних при заміні потрійного інтегралу трьохкратним, зобразимо область на малюнку, а також проекцію на площину :

З малюнку слідує, що якщо обрати, як зовнішнє, інтегрування вздовж осі , то змінюється від до (зовнішнє інтегрування від числа до числа); якщо потім виконувати інтегрування по , то (дивись проекцію на площину ) змінюється від осі () до прямої, яка є перетином площини () з площиною , а отже має рівняння: ; інтегрування по виконується від площини () до площини . Замінивши потрійний інтеграл на трьохкратний та виконавши інтегрування отримаємо:

.

2. Знайти масу тіла , обмеженого прямокутним паралелепіпедом: , якщо об’ємна густина маси .

Маса тіла . Для прямокутного паралелепіпеда в декартових координатах перехід до потрійного інтегралу виконується дуже легко , оскільки границі внутрішніх інтегралів є сталими, а підінтегральна функція є добутком функцій, кожна з яких залежить лише від однієї змінної, то потрійний інтеграл можна представити у вигляді добутку трьох визначених інтегралів:

3. Знайти масу тіла , обмеженого циліндром та площинами , густина маси якого .

Зобразимо область та її проекцію на площину на малюнку:

Досить часто, коли область є частиною циліндру, зручно виконувати обчислення в циліндричній системі координат, яка з декартовою пов’язана формулами: . Модуль визначника Якобі при цьому . В циліндричній системі (дивись проекцію на площину ), лінія входу , а лінія виходу це коло , рівняння якого при переході до циліндричної системи координат набуває вигляду:

.

. Густина маси в циліндричній системі .

Враховуючи все вищезгадане:

.

4. Знайти масу кулі радіусу (), густина маси якої .

Обчислення зручно виконувати в сферичній системі координат, яка зв’язана з декартовою формулами: , , . Для нашого тіла , а густина маси в сферичних координатах , тому

.

5. Знайти координати центру мас верхньої півкулі радіусу , якщо її густина маси пропорційна відстані від центру.

За умовою густина маси , а в сферичних координатах - ( - деяка стала).

Маса тіла

.

Статичний момент відносно площини - .

Перейдемо до сферичних координат:

Отже координата центру мас .

Статичний момент відносно площини - .

.

Таким чином центр мас тіла розташований в точці .

6. Знайти координати центру мас однорідної призми обмеженої площинами .

Оскільки призма однорідна тобто густина маси , то при обчисленнях знаходячи можна обрати , тому що координати центру ваги є відношеннями відповідних моментів до маси і скоротиться при діленні.

Маса призми: .

Статичні моменти відносно координатних площин:

,

,

.

Центр мас розташований в точці .

7. Знайти координати центру мас однорідного тіла розташованого в першому октанті і обмеженого площинами: круговим циліндром та параболоїдом обертання .

В циліндричній системі координат рівняння площин матимуть вигляд: ; кругового циліндра - ; параболоїда - . Оскільки тіло однорідне можна взяти .

Маса тіла .

Статичні моменти відносно координатних площин:

,

,

.

Центр мас розташований в точці .

2. Поверхневі інтеграли.

Приклад 1. Обчислити - де S- частина площини , що розміщена в першому октанті.

Розв¢язання. Зробимо рисунки до данної задачі. (рис 2.1, 2.2)

З рівняння поверхні . Із цього маємо: . Таким чином,

.

Приклад 2. Знайти координати центра маси однорідної півсфери радіуса R.

Розв¢язання. Виберемо систему координат так, щоб основа півсфери розміщувалась на координатній площині xOy, а її центр був у початку координат. Тоді рівняння сфери буде мати вигляд а півсфери Внаслідок симетрії

. Координата знайдеться за формулою

Знайдемо , .

.

Приклад 3. Знайти момент інерції відносно осі Oz частини однорідної (g=0) поверхні , яка відтинається площиною z=1.

Розв¢язання. Знаходимо

Момент інерції

Проекцією D поверхні s на площину Oxy є круг . Переходячи до полярних координат, маємо

Внутрішній інтеграл знайдемо заміною змінної: .

.

Приклад 4. Обчислити масу канонічної поверхні (рис.2.3), поверхнева густина якої пропорціональна аплікаті

Радіус основи дорівнює R, висота – Н.

Розв¢язання Відомо, що маса поверхні обчислюється за допомогою поверхневого інтеграла 1-го роду

(2.1)

Підставимо в інтеграл (2.1), в результаті зведемо задачу до обчислення подвійного інтеграла

(2.2)

Тут D – область інтегрування (коло . Рівняння конічної поверхні можна отримати шляхом обертання прямої ОА (її рівняння ) навколо вісі oz

(2.3)

Відповідно , а подвійний інтеграл (2.22) буде мати вигляд

(2.4)

Перейдемо до полярної системи та обчислимо масу

Приклад 5. Обчислити: по зовнішній стороні частини площини , яка лежить в IY октанті.

Розв¢язання. На рис. 2.4 зображена задана частина площини. Нормаль , яка відповідає заданій стороні, утворює з віссю Оу тупий кут, а з осями Ох і Оz – гострі. В цьому можна впевнитись, якщо знайти напрямні косинуси нормального вектора (2, -3, 1) площини:

-

Приклад 6. Обчислити потік вектора через частину поверхні , яка обмежена координатними площинами та площиною y= b (рис. 2.5).

Розв¢язок. Відомо, що потік q вектора (2.5)

через поверхню G обчислюється за допомогою поверхневого інтеграла II роду.

(2.6)

В даному випадку вектор тобто . Тоді шуканий потік

(2.7)

Знайдемо послідовно інтеграли (2.8)

a

{поверхня G проектується в лінію на площину ZOX то інтеграл І₂=0}.

Відповідь. Потік через вказану поверхню дорівнює

Дата добавления: 2015-11-04