Интегрирование тригонометрических функций.

Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида , , находятся с помощью тригонометрических формул:

;

;

.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.

.

Вычислим каждый из полученных интегралов:

;

.

Значит, .

2. Вычисление интегралов вида зависит от показателей степеней m и n.

а) Если хотя бы одно из чисел m или n – нечётное, то от нечётной степени отделяем один множитель и вводим замену. Причём, если мы отделяем , замена имеет вид , и наоборот. Оставшуюся после отделения чётную степень преобразуем с помощью основного тригонометрического тождества .

Замечание. Если оба числа m и n – нечётные, то отделение множителя производится от меньшей степени.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение.

= = .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование тригонометрических функций. Стр. 1

б) Если m и n – чётные числа, то интегралы находятся с помощью формул:

;

;

.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. .

Т.к. , то

.

3. Интегралы вида , где R(x) – рациональная функция от и , приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки.

а) Если , то применяется подстановка

, , , .

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. =

.

б) Если , то применяется подстановка

, , , .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование тригонометрических функций. Стр. 2

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. =

.

Задачи для самостоятельного решения.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. .

Домашнее задание.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование тригонометрических функций. Стр. 3

---

Дата добавления: 2015-11-04