Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Рассмотрим произвольный многочлен степени : .

Где - постоянные числа, коэффициенты многочлена.

Найдем последовательные производные и вычислим :

,

,

Т.е. , (), где мы считаем, что , .

Тогда получим многочлен Тейлора:

Если надо представить многочлен вида: . Где - любое фиксированное число. Проделав аналогичную процедуру получим:

- формула Тейлора для многочлена по степеням .

Любую функцию можно представить в виде многочлена: . Где - многочлен Тейлора, а - остаточный член. Т.е.: , если мало, то .

Остаточный член в форме Лагранжа: , .

Замечание: остаточный член мал, как правило, можно пренебречь по сравнению с предыдущим слагаемым.

Рассмотрим и , следовательно , называется б/м более высокого порядка чем , т.е. - остаточный член в форме Пеано.

Замечание: если взять минимальное число членов формулы Тейлора, то получатся формулы асимптотического разложения.

,

Формула Тейлора даёт более точное разложение:

Дата добавления: 2015-11-04