Приближённое вычисление интегралов.

Приближённое вычисление интегралов.

Точное вычисление определённых интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда представляется возможным, т.к. первообразная функция может не выражаться через элементарные функции, или же подынтегральная функция может быть задана таблично. Поэтому для вычисления интеграла используются приближённые методы.

Метод прямоугольников.

Отрезок интегрирования разделим на n равных частей , ,…, . Тогда каждая часть определяет криволинейную трапецию, ограниченную сверху кривой .

Метод прямоугольников основан на вычислении интегральной суммы как суммы площадей прямоугольников, которые заменяют соответствующие криволинейные трапеции: , где .

Метод трапеций.

Отрезок интегрирования разделим на n равных частей , ,…, . На каждом участке разбиения заменим кривую f(x) прямой, соединяющей конечные точки f(x) на рассматриваемом промежутке.

, где .

Метод парабол (метод Симпсона).

Отрезок интегрирования разделим на чётное число 2n равных частей. На каждом из отрезков площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой, проходящей через точки , , .

.

Приближённое решение ДУ методом Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение ДУ , удовлетворяющее начальному условию .

При численном решении задача ставится так: в точках найти приближения для значений точного решения .

При использовании метода Эйлера приближённые значения вычисляются по формуле: , , где - шаг сетки.

Задачи для самостоятельного решения.

№1. Вычислить с помощью: а) метода прямоугольников, n=10; б) метода трапеций, n=10; в) метода парабол, 2 n=10.

№2. Методом Эйлера найти значения решения дифференциального уравнения , для которого у(1)=1, в пяти точках отрезка [1;1,5], приняв h=0,1. Найти общее решение указанного дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2015-11-04