1) Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

1) Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

Дано:

Е₁=20(В)

Е₂=30(В)

R₁=47(Ом)

R₂=55(Ом)

R₃=35(Ом)

R₄=22(Ом)

R₅=64(Ом)

R₆=15(Ом)

R₀₁=2(Ом)

R₀₂=2(Ом)

Составляем систему уравнений.

В заданной цепи шесть ветвей, значит, в системе должно быть семь уравнений. Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Составим уравнения для узлов:

1 узел: I₄=I₁+I₅

2 узел: I₂=I₅+I₃

3 узел: I₂=I₃+I₆

4 узел: I₄=I₁+I₆

Всего в системе должно быть семь уравнений. Четыре уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Для контура «А»: E₁=U₁+U₄+U_ro1

Для контура «Б»: E₂-E₁=U₂+U₅-U₁-U_ro1+U₆+U_ro2

Для контура «В»: E₂=U₂+U₃+U_ro2

ЭДС в контуре берется со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает – знак “-”.

Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком “+”, если направление тока в нем совпадает с обходом контура, со знаком “-” если не совпадает.

Мы получили систему из семи уравнений с пятью неизвестными:

1 узел: I₄=I₁+I₅

2 узел: I₂=I₅+I₃

3 узел: I₂=I₃+I₆

4 узел: I₄=I₁+I₆

Для контура «А»: E₁=U₁+U₄+U_ro1

Для контура «Б»: E₂-E₁=U₂+U₅-U₁-U_ro1+U₆+U_ro2

Для контура «В»: E₂=U₂+U₃+U_ro2

Решив систему, определим величину и направление тока во всех ветвях схемы.

Если при решении системы ток получается со знаком “-” значит его действительное направление обратно тому направлению, которым мы задались.

2) Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов.

Дано:

Е₁=20(В)

Е₂=30(В)

R₁=47(Ом)

R₂=55(Ом)

R₃=35(Ом)

R₄=22(Ом)

R₅=64(Ом)

R₆=15(Ом) R₀₁=2(Ом)

R₀₂=2(Ом)

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1.

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока — контурного тока, являющегося расчетной величиной.

Итак, в заданной цепи можно рассмотреть три контура-ячейки и ввести для них контурные токи Ik₁, Ik₂, Ik₃.

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры - это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур - ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:

· стрелками указываем выбранные направления контурных токов Ik₁, Ik₂, Ik₃. в контурах - ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;

· составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

E₁= Iк₁(R₁+ro₁+R₄)-Iк₃(R₁+ro₁)

E₂-E₁=Iк₃(R₅+ro₁+R₁+R₆+r₀₂+R₂)- Iк₁(R₁+ro₁)+ Iк₂(R₂+ro₂)

E₂= Iк₂(R₃+ro₂+R₂)+ Iк₃(R₂+ro₂)

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений.

20= 71Iк₁-49Iк₃

10= 185Iк₃-49Iк₁+57Iк₂

30= 92Iк₂+57Iк₃

Сокращаем уравнения:

20= 71 + 0 – 49

10= – 49 + 57 +185

30= 0 + 92 + 57

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы Δ и частные определители x₁, x₂, x₃.

Неизвестные переменные x:

x₁=0,31 (Iк₁)

x₂=0,3 (Iк₂)

x₃=0,05 (Iк₃)

Определяем токи:

I₁= Iк₂- Iк₃=0,3-0,05 =0,25 (A)

I₂= Iк₂+ Iк₃=0,3+0,05 =0,35 (A)

I₃= Iк₂=0,3 (A)

I₄= Iк₁=0,31 (A)

I₅= Iк₃=0,05 (A)

I₆=Iк₃= 0,05 (A)

3) Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения.

По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

а) Определяем частные токи от ЭДС E1, при отсутствии ЭДС Е₂

Дано:

Е₁=20(В) R₁=56(Ом) R₂=44(Ом) R₃=25(Ом) R₄=31(Ом) R₆=54(Ом) ro₁=2(Ом) ro₂=1(Ом)

Показываем направление частных токов от ЭДС Е₁ и обозначаем буквой I с одним штрихом (I'). Решаем задачу методом "свертывания"

R₃,₆=R₃+R₆=25+54=79 (Ом)

R₂,₀₂=R₂+ro₂=44+1=45 (Ом)

R_3,6,4= (R₃,₆*R₄)/(R₃,₆+R₄)=(79*31)/(79+31)=2249/110=22,26 (Ом)

R₂,₀₂,₅=(R₂,₀₂*R₅)/(R2,0₂+R₅)= (45*15)/(45+15)=675/60=11.25 (Ом)

R_экв=R₁+R₂,_02,5+R_3,6,4=11,25+22,26+56=89,51 (Ом)

₁=E₁/(R_экв+r_o1)=20/(89,51+2)=0,218 (А)

Применяя формулу разброса и 1-й закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей:

₂= ₁*(R₅/(R₅+R₂,₀₂))=0,218*(15/(15+45))=0,218*0,25=0,0545 (A)

₃= ₁*(R₄/(R₄+R₃,₆))=0,218*(31/(31+79))=0,218*0,281=0,061 (A)

₄= ₁- ₃=0,218-0,061=0,157 (A)

₅= ₁- ₄=0,218-0,157=0,061 (A)

Определяем частные токи от ЭДС E₂ при отсутствии ЭДС Е₁

Дано:

Е₂=10(В) R₁=56(Ом) R₂=44(Ом) R₃=25(Ом) R₄=31(Ом) R₆=54(Ом) r_o1=2(Ом) r_o2=1(Ом)

Показываем направление частных токов от ЭДС Е₂ и обозначаем их буквой I с двумя штрихами (I"). Рассчитываем общее сопротивление цепи:

R₃,₆=R₃+R₆=25+54=79 (Ом)

R₁,₀₁=R₁+r_o1=56+2=58 (Ом)

R₃,₆,₄= (R₃,₆*R₄)/(R₃,₆+R₄)=(79*31)/(79+31)=2249/110=22,26 (Ом)

R₁,₀₁,₃,₆,₄=58+22,26=80,26 (Ом)

R₅,₁,₀₁,₃,₆,₄=(15*80,26)/(15+80,26)=1203,9/95,26=12,638 (Ом)

R_экв=R₂+ R₅,₁,₀₁,₃,₆,₄=12,638+44=56,638 (Ом)

I"₂=E₂/ (R_экв+r_o2)=10/57,638=0,17 (A)

Применяя форму разброса и 1-й закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей:

I"₁=I"₂*(R₅/(R₅+R₁,₀₁,₃,₆,₄))=0,17*(15/(15+80,26))=0,17*0,157=0,0267 (A)

I"₅=0,034 (A)

I"₄=I"₁*(R₃,₆/(R₃,₆+R₄))=0.0267*(79/110)=0,019 (A)

I"3=I"₁-I"₄=0.0077 (A)

Вычисляем токи ветвей исходной цепи, выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:

I₁=0,218 (I'₁) +0,0267 (I"₁) =0,2447 (A)

I₂=0,0545 (I'₂) +0,17 (I"₂) =0,2245 (A)

I₃=0,061 (I'₃) + 0,0077 (I"₃) =0,0687 (A)

I₄=0,157 (I'₄) + 0,019 (I"₄) =0,173 (A)

I₅=0,06 (I'₅) -0,034(I"₅) =0,026 (A)

4) Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода 2-ух узлов.

Данным методом определить токи во всех невозможно, т. к. для использования этого метода требуется преобразовать схему, которая должна иметь только 2 узла. Для этого применяются методы преобразований звезды в треугольник, и треугольник в звезду сопротивлений, которые в данном случае применять нельзя.

5) Составить баланс мощностей для заданной схемы.

Источники E₁ и Е₂ вырабатывают электрическую энергию, т. к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

E₂I₂ + E₁I₁ = I₁²(R+r₀₁) + I₂²(R+r₀₂) + I₃²R₃ + I₄²R₄ + I₅²R₅ + I₆²R₆

Подставляем числовые значения и вычисляем:

30*0,35+20*0,25=0,25²*(47+2)+0,35²*(55+2)+0,3²*(35)+0,31²*22+0,05²*64 + + 0,05²*15

10,5 + 5 = 2,9375+6,7375+3,15+2,1142+0,16+0,0375+0,125+0,245

15,5 = 15,5067 (Вт)

С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.

6) Результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить.

Ток в ветви	I1,A	I2,A	I3,A	I4,A	I5,A	I1,A
Метод контурных токов
Метод Наложения

Расчет токов ветвей обоими методами с учетом ошибок вычислений практически одинаков.

6) Определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора.

Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи.

Для решения задачи методом эквивалентного генератора разделим электрическую цепь на две части: потребитель (исследуемая ветвь с сопротивлением R₁, в которой требуется определить величину тока) и эквивалентный генератор (оставшаяся часть цепи, которая для потребителя R₁ служит источником электрической энергии, т. е. генератором). Получается схема замещения.

На схеме искомый ток I₁ определим по закону Ома для замкнутой цепи:

I₁ = E_э/(R₁+R_э)

где Е_э - ЭДС эквивалентного генератора, ее величину определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода, E_э = U_хх.

r_э - внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, его величина рассчитывается как эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника относительно исследуемых зажимов.

Изображаем схему эквивалентного генератора в режиме холостого хода, т. е. при отключенном потребителе R₁ от зажимов. В этой схеме есть контур, в котором течет ток режима холостого хода. Определим его величину:

I_xx = E₂/(R₂+R₅+r_o2) = 10/60 = 0,166 (A)

Зная I_хх, величины сопротивлений и ЭДС, в схеме можно определить U_хх как разность потенциалов между клеммами а и б. Для этого потенциал точки б будем считать известным и вычислим потенциал точки а.

а = б+Е₁-I_xxR₅

U_xx = а- б = E₁-I_xxR₅ = 20-0,166*15 = 20-2,49 = 17,5

Для расчета внутреннего сопротивления эквивалентного генератора необходимо преобразовать активный двухполюсник в пассивный, при этом ЭДС Е₂ и E₁ из схемы исключается, а внутренние сопротивления этих источников r₀₁ и r₀₂ в схеме остаются.

Вычисляем эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов а и б.

r_э=r_o1+(((R₃+R₆)*R₄)/(R₃+R₆+R₄))–(((R₂+ro₂)*R₅)/(R₂+ro₂+R₅))= =2+((79*31)/(79+31)) – ((45*15)/(45+15))=2+22,26-11,25=13 (A)

Зная ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, вычисляем ток в исследуемой ветви:

I₁=E_э/(R₁+r_э)=17,5/(56+13)=17/69=0,246 (A)

т. е. ток в этой ветви получился таким же, как и в пунктах 2 и 3.

Задание 2

Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока

Построить входную вольтамперную характеристику схемы. Определить токи во всех ветвях схемы и напряжения на отдельных элементах, используя полученные вольтамперные характеристики.

Дано: Нэ₁ – а; Нэ₂ – б

R₃ = 54 (Ом)

U = 220 (В)

Определить: I₁, I₂, I₃, U₁, U₂, U₃.

Вольтамперные характеристики элементов.

Расчет цепи производим графическим методом. Для этого в обшей системе координат строим вольтамперные характеристики (ВАХ) линейного и нелинейных элементов: I₁=f (U₁), I₂=f (U₂), I₃=f (U₃)

ВАХ линейного элемента строим по уравнению I=U_R/R₃. Она представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Для определения координаты второй точки ВАХ линейного элемента задаемся произвольным значением напряжения. Например, U_R=220В, тогда соответствующее значение тока I₃ = 220/54 = 4 (A) Соединив полученную точку с началом координат, получим ВАХ линейного элемента.

Далее строится общую ВАХ цепи с учетом схемы соединения элементов. В нашей цепи соединение элементов смешанное. Поэтому графически "сворачиваем" цепь. Начнем с элемента I₁=f (U₁) (нэ₁), он подсоединен параллельно цепи и его ВАХ будет таким же, как и при дано. Далее делаем характеристики линейного элемента I₃=f (U₃) и нелинейного элемента (нэ₂) I₂=f (U₂), которые соединены между собой последовательно. Строим для них общую ВАХ. В данном случае задаемся током и складываем напряжения. Проделываем это многократно. По полученным точкам строим общую ВАХ цепи I₂,₃=f (U₂₃). Затем строим ВАХ нелинейного элемента I₁=f (U1) и I₂₃=f (U₂₃), они подсоединены в цепи параллельно, значит, их ток будет равен сумме токов I₁=f (U₁) и I₂₃=f (U₂₃), значит складываем на графике их общий ток I=f (U).

(A)20 + (B) 110 = 130 (В)

(С)25 + (D)130 = 155 (В)

(E)30 + (F)160 = 190 (В)

(F)35 + (G)190 = 225 (В)

I_экв = 3,4 + 3,5 = 6,9 (A)

Дальнейший расчет цепи производим по полученным графикам.

Чтобы найти токи и напряжение на всех элементах цепи поступим так: по оси напряжение находим напряжение равное 220В (точка а). Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения I₁=f (U₁), получаем точку "в". Из точки "в" опустим перпендикуляр на ось тока и получим точку "о", и получим ток (нэ₁). Iнэ₁=3,4. Так же восстановим перпендикуляр из точки "а" до пересечение I₂,₃=f (U₂₃) и опустим его на ось тока, получим ток во второй ветви, I₂,₃=3,5А. Так же восстановим перпендикуляр из точки "а" до пересечение I₂ (U₂) и опустим его на ось тока, получим ток I₂=7,5А. Отрезке "нд" пересекает ВАХ I₃=f (U₃) и I₂=f (U₂) в точках "з" и "г", опустим там перпендикуляры мы получим напряжение на элементах R₃ (U3=190В) и (нэ₂) (Uнэ₂=35В).

Задание 3

Расчет однофазных линейных электрических цепей переменного тока

Дано: R₁ = 1 (Ом) XL₁ = 10 (Ом) XL₂ = 10 (Ом) XC₁= 3(Ом) XC₂ = 8 (Ом) S = 70 (ВА)

Решение:

XL = XL₁ + XL₂ = 10+10 = 20 (Ом)

XC = XC₁ + XC₂ = 3 + 8 = 11 (Ом)

Преобразовываем схему:

Z= = = 9 (Ом)

Sin = = = 1 (90 )

cos = = = 0,1

I= = 0,9 (А)

S = 70 (ВА)

P= S * cos = 70*0.1 = 7 (Вт)

Q = S * Sin = 70 * 1 = 70 (Вар)

UR = I * R = 0.9 * 1 = 0.9 (В)

UXL = I * XL = 0.9 * 20 = 18 (B)

UXC = I * XC = 0.9 * 11 = 9.9 (B)

M (I) = 1: 0.1

M (U) = 1: 1

Дата добавления: 2015-11-04