Квадратичные формы и их применения

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Определение. Квадратичной формой переменных , принимающих числовые значения, называется числовая функция вида

где - числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.

Определение. Матрицей квадратичной формы переменных , называется симметрическая матрица порядка , элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в ой строке ом столбце, равен половине коэффициента при в квадратичной форме.

Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде где матрица квадратичной формы и .

Определение. Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэффициенты при , то есть, если матрица квадратичной формы диагональная и, следовательно

где не все коэффициенты равны нулю.

Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .

Определение. Квадратичная форма называется положительно

(отрицательно) определённой, если при всех

и положительно (отрицательно) полуопределённой, если при всех .

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны, то есть, чтобы

Здесь - угловые миноры матрицы квадратичной формы.

Следствие. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом:

Примеры

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

Сделаем в этом выражении замену и подставим его в квадратичную форму. Получим:

Далее выделим в члены, содержащие и проделаем с ними анало-гичную процедуру:

Если положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда

канонический вид квадратичной формы есть

Соответствующее преобразование от переменных к переменным имеет вид:

2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:

Решение. В исходном базисе матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть

Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их.

Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид

Откуда следует

и .

Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений

Для случая имеем:

Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.

Как видно из данной системы, величина принимает произвольные значения, а величины связаны соотношением . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы

Эти векторы ортогональны: (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор к тому же и нормирован. Откуда следует - . Нормируем теперь вектор :

Для случая уравнение, определяющее собственный вектор есть

Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно, она имеет одно линейно независимое решение, например, Отнормируем этот вектор: .

Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования:

Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид

При этом переменные связаны с переменными соотношением

или

3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду

Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму . Это три первых слагаемых уравнения .

Матрица квадратичной формы равна . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид

Его корни таковы: .

Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора , соответствующего

, имеем

В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде

Аналогичная процедура для собственного вектора даёт:

Откуда:

После нормировки полученных векторов имеем:

Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду , есть

Связь старых и новых координат определяется соотношением .

Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду

Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат , которая получается из исходной её поворотом на угол и переносом начала координат в точку .