1) ДИ: задача, приводящая к понятию ДИ; определение ДИ; классы интегрируемых функций; свойства ДИ; вычисление ДИ для прямоугольной области(вывод); для произвольной области(вывод); изменение 1 страница

1. Двойной интеграл 1) ДИ: задача, приводящая к понятию ДИ; определение ДИ; классы интегрируемых функций; свойства ДИ; вычисление ДИ для прямоугольной области(вывод); для произвольной области(вывод); изменение порядка интегрирования ДИ Задача, приводящая к ДИ – вычисление объема тела, ограниченного непрерывной ф-й z= f (x, y). Пусть: 1) в ограниченной замкнутой области D с площадью s задана ограниченная функция f (x, y); 2) разбиение области на подобласти Dk с площадями Δ Dk и диаметрами dk, – диаметр разбиения и ; 3) зафиксируем точки Mk 4) построим интегральную сумму I(dk, Mk)= . О п р е д е л е н и е. Конечный предел I интегральной суммы In при , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Mk, называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается: In= Классы интегрируемых по Риману ф-й:1)непрер-е на D; 2)кусочно-непрер-е, с конечным числом линий и точек разрыва на D (1-го рода) Свойства ДИ: 1) 2) 3) 4) Если m , то ms s – пл-дь D (теорема об оценке) 5) m , , – ср.точка. (теорема о среднем) 6) Если f(x,y) 0 то 7) Если f(x,y) g(x,y) , то 8) Если	2. Замена переменных в двойном интеграле. х=х(u,v) u=u(x,y) y=y(u,v) (1) v=v(x,y) (2) ÎD ÎP (1) - называется непрерывная, если функции х=х(u,v), u=u(x,y), y=y(u,v), v=v(x,y) непрерывны. Определение: Если существую производные xu, xv, yu, yv то (1)и (2) называются дифференцируемые или гладкими преобразованиями, чтобы преобразования были гладкими необходимо õ= ≠0; õ- Якобиан I- х=х(u,v); y=y(u,v) (u.v)ÎP x1=x(u+Du.v)=x(u,v)+Dux x2=x(u,v+Dv)=x(u,v)+Dvx y1=y(u+Du.v)=y(u,v)+Duy y2=y(u,v+Dv)=y(u,v)+Dvy Ds(MM1M2M3)»(площадь параллелограмма построенного на векторах )= = ( =|x1-x=-x(u,v) + (x(u,v)+ Du)» Du
3. П-Тройной Интеграл Пусть f(x,y,z) определена в VCR^2 1) V={V1,V2,…,Vn} d-диаметр Vi; Vi-объём Vi 2) Mi(ƺ,η,ӡ)ϵVn 3) F(Mi)∆ѵ= d=наиб{d} П- Свойства тройного интеграла Все свойства совпадают со свойствами двойного интеграла П-Вычисление а) повторный интеграл б) Теорема. Если f(x,y,z) интегрируема по Риману в области V Ǝ повторный интеграл (3),то V-правильная в направлении Oz Замечание: если V-правильная в направлении Оx, то	4. Замена переменной в ТИ (геометрический вывод для общего случая); переход в ТИ к цилиндрическим и сферическим координатам. а) переход к цилиндрическим координатам M(x,y,z)=M(ρcos(φ), ρsin(φ),z) (2) (x,y,z)↔(ρ, φ,z) (1) (1’) (2) это знак якобиана если что;) dV=dxdydz= dρdφdz (3) (4)
5. 1^0 Объём тела постоянной плотности m=1 V=∫∫∫dV=∫∫∫dxdydz 2^0 Если m=m(x,y,z) – объёмная плотность, то m=∫∫∫m(x,y,z)dxdydz=∫∫∫mdV	6.криволинейные интегралы: 1)пусть переменная t с помощью отображений x=x(t),y=y(t),z=z(t) отображает [ R’ в Г (1);2) тогда x(t),y(t),z(t) – координаты вектор-функции (2) и определяет некоторую кривую в пространстве,т.е. x=x(t), y=y(t),z=z(t),t параметр.уравнение кривой в пространстве.Если t –время,то (3)-уравнение траектории движения.3)если предшествует точке M(, т.е. M[x( y(,z( ] предшествует M[x( y(,z( ]. Г: t) .если .если M( t x(0)=x(2 ),y(0)=y(2 )=0.
y1-y=(y(u,v)+ Du)-y(u,v)» Du x2-x=(x(u,v)+ Dv)-x(u,v)= Dv 1 y2-y=(y(u,v)+ Dv)-y(u.v)= Dv|= = |DuDv|=| | |DuDv|» »Ds(MM1M2M3) ds(в системе oxy)= dudv(в системе ouv) ds=|õ|dudv Вывод: I- =| х=х(u,v) P(ouv)«D(oxy)|= . y=y(u,v) ds=|õ|dudv Переход к полярной системе координат. x=rcosj r= y=rsinj tgj= х=х(j,r) r=r(x,y) y=y(j,r) j=j(x,y) r=const® =const®x^2+y^2=r^2 Линии j=const в ДСК криволинейных координат. Якобиан преобр.при переходе к ПСК это ДСК. õ= = =|(rcos^2j+rsin^2j)|=|r|1=r Вывод: I- =| x=rcosj P(«D|= . y=rsinj ds=rdrdj	Вычисление ДИ для прям-ой области: Теорема: Пусть задана П= , и 1) ; 2) , тогда Док-во: 0≤k≤n 0≤l≤m (А) ; (В) ; Рассмотрим: – условие существования ДИ ДИ по произвольной области(ДСК) Т. Пусть задана область,прав-я в направлении ОУ: 1) ; 2) , Тогда: Д-во: заключим D в прямоугольник. Введем (С) (D)
б) Переход к сферическим координатам ψ-отсчитывается от Oz по часовой стрелке r-радиус-вектор точки M Пусть -новые координаты, тогда: (5) (5’) dxdydz=
7.Криволинейные интегралы 2 рода Определение: Конечный предел интегральной суммы In при λ→∞,не зависящий от точек Mi,называется криволинейным интегралом второго рода от функций P,Q,R по пути L: In= Определение (еще одно хз какое лучше): Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы: , , ,то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают: = + + (1)	8.Независимость КИ-2 от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Рассмотрим криволинейный интеграл dy Пусть = (1) т.е. - =0 Тогда на основании свойств КИ имеем + =0 т.е КИ по замкнутому контуру L =0 (2) Таким образом, из условия, что для любых точек M и N КИ не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю Теорема Пусть во всех точках области D функции Х(х,у) и Y(x,y) вместе со своими частными производными и непрерывны. Тогда для того чтобы КИ-2 по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, был равен нулю, т.е. чтобы =0, где P= , а Q= Необходимо и достаточно выполнение равенства = (3)
9. Дифференциальным уравнением (ДУ) порядка “n” называется уравнение;, связывающее аргумент х, функцию f и ее производные функции, порядок старшей из которых равен “n”, при этом ДУ относительно функции одной переменной (к=1) называют «обыкновенным ДУ», а ДУ относительно функции нескольких переменных (k>1) и ее частных производных называют «ДУ в частных производных». А) ДУ-(1) будет однородным если f(x) тождественно равен 0, f(x)=0 для всякого x пренадлежащего <а,b> Б)ДУ-(1) неоднородным, если f(х)ǂ0 для всякого х пренадлежащего <а,b> В)y=y(x) решение ДУ-(1) Оператор: L(y)=P0(x)*y(в степени n)+P1(x)*y(в степени n-1)+…+Pn*y T! О структуре общего решения ОЛДУ-n Если y1, y2…yn-ФСР ОЛДУ-n L(y)=0 L()=(…)(в степени n)+A1(…)(в степени n-1)+…An(…), то общее решение имеет вид: y=C1*y1+C2*y2…Cn*yn Т1 Если y1 y2-решение, то y1+y2-тоже решение Т2 Если y1-решение, то С1*y1-тоже решение, где С-const	10. ДУ первого порядка: основные понятия и определения. Теорема о существовании и единственности задачи Коши для ДУ-1(без док-ва) 1. Решение уравнения с разделяющимися переменными 2. Понятие однородной функции n-ого измерения однородные ДУ-1, их решение 3. Линейные ДУ-1: определение, отыскание общего решения методом Бернулли. 4. ДУ-1 Бернулли: определение, отыскание общего решения Основные понятия и определения 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) порядка “n” называется уравнение, связывающее аргумент х, функцию y и ее производные функции. F(x,y,y',y'',..y^(n))=0 2. Старшая производная задана неявно. 3.Порядок старшей производной – порядок ДУ. 4.Если у=у(х), то ДУ- обыкновенное. Если у=у(x,t,ω), то F(x,t,ω, , , )=0-уравнение в частных производных. 5. у=у(х)-решение ДУ, если при подстановке в ДУ получаем тождество. 6. у=у(х,С1, С2….Сn), где С1, С2….Сn- произвольные постоянные- общее решение. 7. у=у(х), х=х(у) удовлетворяющее этому ДУ, но не входящие в общее решение- особое решение 8. Если в общем решении у=у(х,С1, С2….Сn) произвольным постоянным придать конкретное значение, то имеем частное решение. 9. Отыскание решения - интегрирование ДУ. 10. Если решение ДУ записано через интегралы, то говорят, что решение – квадратуры(даже если интегралы неберущиеся) Теорема о существовании и единственности задачи Коши для ДУ-1(без док-ва) а)Пусть дано уʹ=f(x,y): 1. Д-область существования f(x,y) 2. f(x,y), непрерывны в Д, тогда для всякого (х0,у0) существует решение у=у(х), такое что у(х0)=у0 б) Если решениям ДУ-1 у=у1(х) и у=у2(х) совпадают в одной точке, то они тождественны.
11. Дифференциальные уравнения высшего порядка: основные понятия и определения. Три типа ДУ высшего порядка, допускающие понижение порядка. Основные понятия и определения. 1^0 ДУ- уравнение связывающее независимую переменную х с искомой функцией y(x) и её производными . (1) (1) (2) (1) – ДУ – неразрешённое относительно старшей производной (2) – ДУ – разрешённое относительно старшей производной y^(^n^) (в нормальном виде) 2^0 Порядок старшей производной называется порядком ДУ 3^0 y=y(x), то ДУ называется обыкновенным 4^0 y=y(x, t, ω) - уравнение в частных производных 5^0 y=y(x) – решение, если при подстановке ДУ получится тождество 6^0 y=y(x, C1, C2,…, Cn), где C1, C2,…, Cn – общее решение ДУ-n 7^0 y=y(x), x=x(y) удовлетворяющие данному ДУ, но не входящие в общее решение, называются особым решением 8^0 Если в общем решении y=y(x, C1, C2,…, Cn) произвольные постоянные – конкретные значения C1=C^01, C2=C^02,…, Cn=C^0n, то имеем частное решение ДУ 9^0 Отыскание решений ДУ называется интегрированием ДУ «решить ДУ», «проинтегрировать ДУ» - синонимы 10^0 Если решение ДУ записано через интеграл, то говорят, что решение найдено в квадратурах, даже, если эти интегралы не выражены в элементарных функциях Ф(x, y, C1, C2,…, Cn)=0 – общий интеграл y=y(x, C1, C2,…, Cn) – общее решение ДУ-n, допускающие понижение порядка 1^0 y^(^n^)=f(x) - ДУ-1 относительно y^(^n^-1), с разделяющимися переменными d(y^(^n^-1))=f(x)dx ∫d(y^(^n^-1))=∫f(x)dx+C y^(^n^-1)=∫f(x)dx+C	12)Линейные ДУ высшего порядка(ДУ-n): однородные, неоднородные. Однородные ДУ-n: доказать теоремы о свойствах решений, понятие фундаментальной системы ЛОДУ-n. Доказать теорему о структуре общего решения ЛОДУ-n. (1) Если при всех рассматриваемых значениях x ф-я то уравнение (1) наз-ся линейным однородным, в противном сл-е он наз-ся лин-но неоднородным. Введем оператор: (2) С помощью оператора (2) ур-е (1) примет вид: ЛОДУ-(n) Свойства решений Т1 Если - решения, то - тоже решения Д-во: Тогда: Т2 Если - решение, то -тоже решение, где Д-во: , тогда Понятие ФС ЛОДУ-(n) Т опред. на были лин-но незав-мы, необходимо и достаточно чтобы Вронскиан хотя бы в одной точке на Т Если Вронскиан в точке , то он не равен о ни в одной точке О n - лин-но незав-х решений ЛОДУ-(n) наз-ся фундаментальной системой решений (ФСР)
Доказательство Рассмотрим произвольный замкнутый конутр L, в области D, и для него напишем формулу Грина: )dxdy= Если выполняется (3), то двойной интеграл тождественно равен нулю, и следовательно =0 Таким образом достаточность доказана НУ Если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой L, в области D, то в каждой точке этой области выполняется (3) Допустим напротив, что равенство (2) выполняется, т.е. =0 А условие (3) не выполняется - хотя бы в одной точке. Например в точке Р(x0,y0), имеем равенство - > Т.к. в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа >0 во всех точках достаточно малой области G. Содержащей точку Р(x0,y0). Возьмем двойной интеграл по этой области от разности - . Он будет иметь положительное значение. Действительно: )dxdy> dxdy= = G>0 Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна нулю, что противоречит условию (2), а значит предположение - неверно, отсюда вытекает, что - = во всех точках области D	Свойства КИ-2: 1) Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (1) существует 2) При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак: = - Про работу: Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода: A= , где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение * означает скалярное произведение векторов и . Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую L Вычисление КИ-2: Если линия AB задана в параметрической форме:x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2, где x(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от t1 к t2 кривая описывается именно от точки A к точке B, то = Причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл
Решение уравнения с разделяющимися переменными уʹ=f(x)*g(y) = f(x)*g(y) |* = f(x)*g(y)* |/g(y)≠0 = f(x)* = - общее решение Понятие однородной функции n-ого измерения однородные ДУ-1, их решение f(x,y)- однородная измерения m, если f(tx, ty)=t^m*f(x, y) Метод решения однородного ДУ-1: f(x, y)=f(tx, ty) уʹ= f(x, y)=f(tx, ty) => уʹ= f(tx, ty) Пусть t= уʹ= f( *x, *y)=f(1, ) уʹ= f(1, ) =>однородное ДУ-1 можно сделать зависимым только от отношения () (5) =u(x) y=u(x)*x уʹ= = *x+u (6) (6) в (5): *x+u= f(1, u) – ДУ-1 с разделяющимися переменными. Вывод: однородные ДУ-1 подстановкой =u(x) сводятся к уравнению с разделяющимися переменными. Линейные ДУ-1: определение, отыскание общего решения методом Бернулли. Если q(x) 0 для всякого х Д, то уʹ+p(x)*y=0- однородное линейное ДУ-1. Если q(x) , то уʹ+p(x)*y= q(x)- неоднородное линейное ДУ-1. общего решения методом Бернулли у=u(x)*v(x) (10) = *v+u* *v+u* +p(x)*u*v= q(x) a) =- p(x)*v |* v= (11) Подставим v в б: * =q(x) |* (12) Ответ: (11), (12) в (10) ДУ-1 Бернулли: определение, отыскание общего решения уʹ+p(x)*y= q(x)*у^m|/ у^m≠0 m≠0 + p(x)* = q(x) = z = => => + p(x)*z = q(x) – НЛДУ-1 Замечание: у=u*v – подстановка.	Задачи для L(y)=0 1)Найти общее решение (1): y=f(x,C1,c2,…Cn) 2)Задача Каши L(y)=0 y(x0)=y0 y`(x0)=y1 … y(в степени n-1)(xt)=y(n-1) Геометрический смысл задачи Коши (НС), (НУ) заключается в том, чтобы во множестве всех интегральных кривых системы (НС) найти ту, которая проходит через точку (t0, x0) Функция y=φ(x,c), зависящая от аргумента x и произвольной постоянной с называется общим решением ДУ в некоторой области Д, если она удовлетворяет двум условиям: 1. Она удовлетворяет уравнению при любых конкретных значениях с 2. Каково бы ни было задано условие y(x0)=y0, можно найти такое значение с = с0, что функция y=φ(x,c0) удовлетворяла этому условию. Если общее решение ДУ задано в неявном виде, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения. Частным решением ДУ называется любая функция y=φ(x,c0), которая получается из общего решения y=φ(x,c), при конкретном значении с. Задача нахождения частного решения ДУ, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.
Т о структуре общего решения ОЛДУ-(n) Если – ФСР ОЛДУ-(n) , то общ. Решение ОЛДУ-(n) имеет вид: , (2) Д-во: имеем А) Тогда Б) Покажем, что задача Коши имеет единственное решение: (3) (2) в (3): (4) (4) – система лин-х неодн-х алгебр-х ур-й. Она имеет единственное решение, если опред-ль системы не равен 0. Значит (4) – единственное решение Подставляя найденное значение в (2) получаем решение задачи коши. Теор. Доказана	снова понижаем порядок - ДУ-1 с разделяющимися переменными ∫d(y^(^n^-2))=∫(∫f(x)dx+C1)dx+C2 y^(^n^-2)=∫(∫f(x)dx)dx+xC1+C2 и т.д. 2^0 F(x, y^(k), y^(k+1),…, y^(n))=0 (1) Нет явно k=1,2,…,n k=n случай 1^0 y^(^n^)=f(x) (2) ,…, (3) (2) и (3) в (1): ДУ-(n-k) (4) Замечание: вопрос о решении (4) остался открытым; хорошо, если оно сводится к известным ДУ. 3^0 (5) Нет явно «х» Можно понизить порядок на единицу (6) = = (7) (8) (9) (6)-(9) в (5): (10) Решение (10) P=f(y,C1,C2,…,Cn-1) – общее решение (10) =f(y,C1,C2,…,Cn-1) – ДУ-1с разделяющимися переменными - общий интеграл ДУ (5)
14. Структура общего решения НЛДУ-n. (1) Теорема: Если уоо-общее решение ОЛДУ-n L(y)=0 (2) и учн-частное решенне ОЛДУ -n L(y)=f(x), то уон=уоо+учн (3) Доказательство: Дано:а) L(yoo)=0; L(yчн)=f(x), тогда L(yoo+yчн)= L(yoo)+ L(yчн)=0+f(x)=f(x) б) Покажем, что для (1) задача Коши имеет единственное решение. з.Коши: L(y)=f(x) (1) y(x0)=y0 y^’(x0)=y1 …………. (4) y^(^n^-1)(x0)=yn-1 Дано: yoo=C1y1+C2y2+…+Cnyn yон= C1y1+C2y2+…+Cnyn+yчн (5) Подставим (5) в (4): C1y1(x0)+C2y2(x0)+…+Cnyn(x0) +yчн(x0)=y0 …………………………………………… C1y1^(^n^-1) (x0)+C2y2^(^n^-1) (x0)+…+Cnyn^(^n^-1) (x0) +yчн^(^n^-1) (x0)=yn-1 C1y1(x0)+C2y2(x0)+…+Cnyn(x0)= y0 -yчн(x0) …………………………………………… (6) C1y1^(n-1) (x0)+C2y2^(n-1) (x0)+…+Cnyn^(n-1) (x0) = yn-1 -yчн^(n-1) (x0) (6) - Система линейных неоднородных алгебраических уравнений для нахождения С1,С2,…,Сn. (6) - имеет единственное решение, если определитель системы ≠0. =W(y1,y2,…,yn)|x=x0 Вывод: Задача Коши имеет единственное решение.	15. П-ОЛДУ с постоянными коэффициентами L(y)=y^n+a1y^n^-1+…+an-1y’+any=0 (11) a1,a2,…,an-const Метод Эйлера: ищем решение в виде y=e^λx λ-const (12) y’=λe^λx,y”=λ^2e^λx…y^n=λ^ne^λx (13) (12) и (13) в (11) L(e^λx)= λ^ne^λx+a1 λ^n-1e^λx+…+an e^λx L(e^λx)= (λ^n+a1 λ^n-1+a2 λ^n-2+…+an) e^λx L(e^λx)=P(λ) e^λx≡0 (14) e^λx≠0 xϵ(-∞;∞) Из (14) следует P(λ)≡λ^n+a1 λ^n^-1+…an=0 (15) Характеристическое уравнение(ху) Задача. Интегрирование диф. уравнения свелось в Случаи: 1. ХУ(15) имеет n различных вещественных корней n решений λ1, λ2,.., λn y1= e^λ^1^x,y2= e^λ^2^x,…,yn= e^λx(16) W(e^λ^1^X,…, e^λnX)= e^λ^1^Xe^λ^2^X … e^λnX λ1 e^λ^1^Xx2 e^λ^2^X… λn e^λnX ……………………… λ1^n-1 e^λ1X… λn^n-1 e^λnX = e^λ1X* e^λ2X*… e^λnX * I I …. I λ1 λ2 …. λn ≠0 xϵ(-∞;∞) λ1^n-1 λ2^n-1… λn^n-1 определитель Вандер Монда т.е (16)-ФСР Тогда yоо=с1y1+ с2y2+…+ сnyn= c1e^λ^1^X+ c2 e^λ^2^X+…+ cn e^λnX (17) 2. Среди корней XУ имеется комплексный корень λ1=α+iβ Тогда имеется обязательно сопряжённый корень λ2=α+iβ y1= e^α+^iβ^)^x=e^αx(cosβx+isinβx)= e^αxcosβx+ ie^αxsinβx=u(x)+iv(x)=y1(c волнистой чертой) y2(c волн.ч)= e^α-^iβ=e^αxcosβx-ie^αxsinβx= u(x)+iv(x)
16. ЛНДУ-n с постоянными коэффициентами: отыскание частного решения методом неопределенных коэффициентов по виду правой части специального вида (все случаи доказвыать). (1) L(y)=0 (2) ОЛДУ-n (3) XY: (4) (5) 1.А - не корень ХУ ( в (1)) yчн=Qm(x)=C0x^m+C1x^m^-1+…+Cm, yчн^’=C0mx^m^-1+…+Cm-1=Q^’m(x), Q^’m(x)-многочлен степени (m-1) y^’’чн=………..=Q^’’m(x), Q^’’m(x)-многочлен степени (m-2) y^(^n^)чн=…..=Q^(^n^)m(x) (6) и (7) в (1) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях получим: (m+1) – алгебраических выражений для определения C1……… 1.Б λ1,2,3….,s=0-корень ХУ (4) кратности s, тогда уравнение (1) будет иметь вид: a0y^(n)+a1y^(n-1)+…+an-sy^(s)=f(x) (8) ХУ: a0λ^n+a1λ^n-1+….+an-sλ^s=0 λ(a0 λ^n-s+a1 λ^n-1-s+…+an-s-1)=0 (8)-ДУ-n, допускающие понижение порядка, тип 2^0 (9) a0p^(n-s)+a1p^(n-s-1)+….+an-sp=f(x) НЛДУ-(n-s) порядка ХУ: a0 λ^n-s+a1 λ^n-s-1+….+an-s=0 (11) при чем λ=0 – не корень ХУ (11), тогда по случаю 1.А Pчн=Qm(x)=C0x^m+Cm, но Pчн=y^(^s^)чн (смотри (9), тогда y^(^s^)чн=Qm(x) ДУ, допускающее понижение порядка (тип 1) Достаточно: yчн=x^sQm(x)	17.Числовые ряды: § . (1), , остаток ряда (3).Теорема: если ряд(1) сх-ся то остаток ряда тоже сх-ся. Дано: – конечное число( -сх-ся).доказать что: = -Конечное число слагаемых. . мысл:отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на сходимость.Теорема:если ряд сходится,то остаток стремится к нулю. Доказательство: Дано: ,
18.Доказать теоремы: (1) Sn= = a1+a2+a3+….+an (2) rn= = an+1+an+2+… остаток ряда (3) Теорема о сходимости остатка ряда: Если ряд (1) сходится, то остаток ряда (3) тоже сходится. Дано: Sn=S-конечное число ( - сходится) Доказать: lim rn,k= конечное число a1+a2+a3+….+an + an+1+an+2+… a1+a2+a3+….+ak+ak+1+ak+2+… Sk= a1+a2+a3+….+ak Sn= a1+a2+a3+….+an rk= ak+1+ak+2+… rn= an+1+an+2+… Sn= Sk+ rn,k rk= Sn- Sk, Sk-конечное число слагаемых rn,k= (Sn- Sk)= Sn- Sk=S- Sk – конечное число,(я не знаю как сделать пояснения по ходу,в лекции в кружок обводили, Поэтому буду в скобках писать Sn=S, Sk= Sk,и еще не уверен насчет того к чему стремятся пределы) rn,k-остаток,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!) Смысл теоремы: отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на сходимость этого ряда Теорема о сходимости ряда к нулю: Если ряд (1) сходится, то остаток rn стремится к 0 Доказательство: Sn=S = a1+a2+a3+….+an + an+1+an+2+… (Sn и rn те же что и выше, rk- остаток,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!)) Дано S= Sn+ rn=> rn=S- Sn rn= (S- Sn)=S- Sn=S-S=0	19.Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Модифицированный признак сравнения(доказать).Доказать достаточные признаки сходимости.\ Даламбера, Коши (радикальный, интегральный) an (1) (1) Всегда имеет сумму А) Если S – конечна

Дата добавления: 2015-11-04