13. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

13. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

При решении многих задач требуется найти функции которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент х, искомые функции y_1, y₂,…y_n и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка

Где у₁, у₂,…, у_n – искомые функции, х – аргумент. В левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных. Такую систему называют нормальной. Решить систему, это значит определить функции у₁, у₂,...,у_n, удовлетворяющие системе уравнений и данным начальным условиям.

Поступаем следующим образом.

Дифференцируем по х первое уравнение из системы

Заменяя производные их выражениями f₁, f₂,…,f_n из систем уравнений , получим

Дифференөируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, получим

Продолжая далее таким же образом, получим уравнение

Итак, мы получим систему уравнений

Из первых (n – 1) уравнений определим у₂, у₃,..., у_n через х, у₁, :

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений , получим уравнение n-ого порядка для определения

Решая его определим

Дифференцируя последнее выражение (n-1) раз, найдем производные

как функции от . Подставляя эти функции в уравнения , определяем

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям ,

остается найти из уравнений и соответствующие значения постоянных .

Замечание Если система линейна относительно искомых функций, то и уравнение будет линейным.

Примеры.

1) Найти частное решение системы

при t=0 x=0

y=0

t - независимая переменная, х, у – функции

подставим

Из первого уравнения системы = , подставим

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными

коэффициентами.

корни комплексные

и - общие решения системы

Найдем и удовл. начальным условиям

При t=0 т.к. =1, =1

получим =1, - =2, = -2= -1, = -1.

Частное решение

2) Найти общее решение системы

из первого уравнения системы

Второе уравнение системы продифференцируем по t

подставим

линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэф.

, корни действ. и разные

1

Из второго уравнения системы -

=-3 -

+ + (2)

1 и 2 – общие решения системы

14. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть мы имеем систему дифф-ых ур-ний

где коэффициенты - постоянные.

t- аргумент

- искомые функции.

Система называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Решим эту систему другим методом (не тот метод, что мы рассматривали в предыдущем параграфе).

Будем искать частное решение системы в виде:

Требуется определить постоянные и так, чтобы удовлетворяли системе уравнений .

Подставляя их в систему получим

……………………………………..

Сократим на и перенесем все члены в одну сторону

(3)

Эта есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно

Составим определитель системы (3)

(4)

Если таково, что определитель ,то система (3) имеет только нулевые решения

а следовательно формулы (2) дают только тривиальные решения

Таким образом, нетривиальные решения (2) мы получаем при таких , при которых определитель (4) обращается в нуль

(5)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни – корнями характеристического уравнения.

1) Корни характеристического уравнения действительные и различные.

корни уравнения

Для каждого напишем систему (3) и определим коэффициенты

Записывая решения системы (1) для получаем решение системы (1)

Пример. Решить систему

Будем искать решение в виде

Подставим в систему уравнений и сократим на

Характеристическое уравнение

Корни уравнения:

Подставим в систему и решим относительно p,q,r

принимая

Получим первое частное решение

Подставим в систему

2-ое частное решение

При , получим

пусть

3-е частное решение

Общее решение системы

2) Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные.

Пусть среди корней характеристического уравнения имеются два комплексных сопряженных корня:

,

им соответствуют частные решения

Пример.

Будем искать решение системы в виде

,

(*)

Характеристическое уравнение

Подставим в систему (*)

Частные решения будут

(1)

подставим в систему (*)

частные решения будут

(2)

из решений (1) и (2) получим решения

Общее решение системы будет

Дата добавления: 2015-11-04