Вопросы к экзамену по курсу “Программирование и математическое моделирование: Численные методы”

Вопросы к экзамену по курсу “Программирование и математическое моделирование: Численные методы”

1. Численные методы в схеме вычислительного эксперимента. Виды погрешностей в численных методах. Устойчивость, корректность, сходимость.

2. Метод Гаусса решения СЛАУ и его модификации. Вывод алгоритма метода исключений.

3. Вычисление определителей методом Гаусса.

4. Контроль точности и уточнение приближенного решения прямого метода решения СЛАУ. Понятие невязки.

5. Обращение матриц. LU-разложение

6. Обусловленность СЛАУ. Понятие нормы матрицы и нормы вектора. Оценка погрешности решения СЛАУ.

7. Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя). Матричная запись итерационных методов.

8. Итерационный метод Зейделя решения СЛАУ. Матричная запись метода. Теоремы о сходимости итерационного процесса Зейделя к точному решению СЛАУ.

9. Исследование сходимости итерационных методов решения СЛАУ. Необходимые и достаточные условия сходимости. Приведение систем к виду, пригодному для итераций. Априорная и апостериорная оценки погрешности.

10. Метод прогонки для решения квазидиагональных СЛАУ (вывод формул пересчета коэффициентов). Устойчивость метода прогонки.

11. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации. Метод Ньютона.

12. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Метод Якоби, Зейделя. Гибридные методы.

13. Решение нелинейных алгебраических уравнений. Основные этапы решения. Отделение корней (графический метод, метод бисекции).

14. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона (касательных). Геометрическая интерпретация метода. Условие сходимости итерационного процесса.

15. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций. Геометрическая интерпретация метода. Условие сходимости итерационного процесса.

16. Постановка задачи интерполирования. Применение интерполяции в численных методах. Интерполяция и экстраполяция. Интерполяция каноническим полиномом. Нелинейная интерполяция.

17. Интерполяционный полином Лагранжа. Вывод коэффициентов.

18. Интерполяционный полином Ньютона. Разделенные и конечные разности. Вывод коэффициентов.

19. Погрешность интерполирования. Сходимость процесса интерполяции.

20. Минимизация остаточного члена интерполяционной формулы. Оптимальный выбор узлов интерполирования. Многочлены Чебышева.

21. Интерполяция сплайнами. Вывод уравнений для сплайн-коэффициентов. Преимущества сплайн-интерполяции.

22. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Методы численного интегрирования Ньютона-Котеса: Общая схема. Вычисление коэффициентов.

23. Формулы (локальные и составные) численного интегрирования прямоугольников и трапеций с выводом и оценкой точности.

24. Формулы (локальные и составные) численного интегрирования Симпсона с выводом и оценкой точности.

25. Апостериорные оценки погрешности. Формулы Рунге и Эйткена.

26. Методы Гаусса-Кристоффеля для вычисления определенных интегралов: общая схема определения узлов и весов квадратур Гаусса. Полиномы Лежандра.

27. Примеры построения формул Гаусса-Кристоффеля для различных весовых функций. Ортогональные многочлены.

28. Методы вычисления несобственных интегралов. Мультипликативное и аддитивное выделение особенностей.

29. Использование полиномов Чебышева для вычисления несобственных интегралов.

30. Методы Монте-Карло вычисления кратных интегралов. Оценка погрешности.

31. Постановка задачи для интегрирования ОДУ. Типы задач для ОДУ. Основные понятия и определения.

32. Методы Эйлера (явный, неявный, усовершенствованный) решения задачи Коши для ОДУ. Определение порядка метода. Физическая и геометрическая интерпретация метода Эйлера.

33. Усовершенствованный метод Эйлера в применении к задаче Коши для систем ОДУ. Физическая интерпретация решения.

34. Решение задачи Коши для ОДУ-2 усовершенствованным методом Эйлера. Физическая интерпретация решения.

35. Общая схема методов Рунге-Кутты. Выбор коэффициентов. Таблица коэффициентов. Практическая оценка погрешности. Геометрическая интерпретация метода на примере одной из схем 4-го порядка

36. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка в применении к системам ОДУ. Геометрическая интерпретация.

37. Общая схема многошаговых методов. Основные определения. Пример многошагового метода.

38. Экстраполяционный метод Адамса. Вывод схемы трехэтапного метода Адамса. Интерполяционные методы Адамса (схема прогноз-коррекция).

39. Методы Гира. Вывод схемы трехэтапного метода Гира. Выбор начального приближения.

40. Жесткие системы уравнений. Проблема устойчивости. Чисто неявные разностные методы (на примере метода Гира).

41. Граничные задачи для ОДУ. Разностные аппроксимации производных. Построение разностных уравнений.

42. Решение граничной задачи для ОДУ-2 с выводом схемы пересчета коэффициентов.

43. Дифференциальные уравнения в частных производных. Их классификация и типы задач. Постановка разностной задачи для ДУ в частных производных.

44. Сеточные методы для решения ДУ в частных производных. Сетки и сеточные функции. Шаблоны разностных схем. Разностные аппроксимации производных. Порядок аппроксимации.

45. Сеточные методы для ДУ эллиптического типа. Решение двумерной задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Аппроксимация граничных условий.

46. Сеточные методы для ДУ эллиптического типа. Решение двумерной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике. Метод релаксации.

47. Сеточные методы решения ДУ параболического типа. Устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности.

48. Сеточные методы решения ДУ гиперболического типа. Порядок аппроксимации начальных условий. Устойчивость разностных схем.

49. Моделирование дискретной случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

50. Моделирование дискретной случайной величины с заданной вероятностью. Алгоритм моделирования дискретных случайных величин, равномерно распределенных в заданном интервале.

51. Построение гистограмм различных распределений.

Дата добавления: 2015-11-04