1.Прямая на плоскости: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Нормаль прямой. Вычисление угла между прямыми.

1.Прямая на плоскости: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Нормаль прямой. Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

ТЕОРЕМА: В ДПСК любая прямая определяется уравнением 1-ой степени и наоборот любое уравнение 1-ой степени определяет прямую.

Ax + By + C = 0 - общее уравнение прямой на плоскости. Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

-уравнение в отрезках.

-уравнение с угловым коэффициентом (K=tgɑ).

- уравнение прямой проходящей через 2 данные точки.

Доп.

-уравнение прямой проходящей через точку х₀ и у₀ с угловым коэффициентом К.Уравнение прямой l с нормальным вектором.

- каноническое уравнение прямой.

- уравнению удовлетворяют все точки лежащие на данной прямой.

Вектор, перпендикулярный прямой l будем называть нормалью прямой и обозначать n. Итак . Вектор, параллельный прямой l будем называть направляющим вектором этой прямой. Обозначим его

Угол между прямыми:

Общее: . С угловым коэффициентом:

Условие параллельности прямых:

Общее: l1 //l2 <=>A1/A2=B1/B2 С угловым коэффициентом:

Условие перпендикулярности:

Общее: С угловым коэффицентом: k1*k2=-1

Доп.
– условие совпадения прямых.

-точка пересечения прямых находится решением системы их уравнений.

- Расстояние d от точки до прямой .

2.Плоскость в пространстве: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Нормаль плоскости. Вычисление угла между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

- Общее уравнение плоскости.

- Уравнение плоскости в отрезках.(или )

-уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

- уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Нормаль плоскости n (вектор нормали к плоскости) – это любой направленный перпендикуляр к ней (ортогональный вектор).

Угол между плоскостями – углом между плоскостями называется любой из 2-х гранных углов образованный этими плоскостями.

Условие параллельности плоскостей:P1ǁP2 ó

Условие пепенликулярности плоскостей:P1 P2 ó

ДОП.

- расстояние от точки до плоскости

Ур-е х=0 на прямойR-задаёт точку. На плоскости R² –задаёт прямоуюсовпадающую с Оу. В пространстве R³задаёт плоскость yoz/

3.Прямая в пространстве: общие, параметрические и канонические уравнения, их эквивалентность; уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Прямой в пространстве называется линия пересечения 2-х плоскостей.

L:

Общие уравнения прямой в пространстве – НЕ ВЫПОЛНЯЮТСЯ.

Параметрические ур-я прямой в пространстве: t- параметр.

Канонические ур-я прямой в пространстве:

Канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t.

или .

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Углом между 2-мя прямыми в пространстве называется любой из углов образованый 2-мя прямыми проходящими через данную точку параллельно этим прямым.

Угол между прямыми- угол между векторами параллельными этим прямым.

Условие параллельности прямых: L₁ǁL₂ó ǁ

Условие перпенликулярности прямых: L1 L2ó

4.Плоскость и прямая в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью называется любой из 2-х смежных углов между прямой и её проекцией на эту плоскость. =(A,B,C)

Условие параллельности:

LǁPó n ̅ó *n ̅=0 ó =0

Условие пепендикулярности:

P LóS ̅ǁn ̅ ó

P: L:

Для нахождения точки пересечения прмямой и плоскости подставим правые части формумул в общее уравнение плоскости.

5.Эллипс. Его основное геометрическое свойство, фокусы, эксцентриситет.

Элипсом называется кривая имеющая в некоторой ДПСК уравнение (каноническое уравнение).

Где a,b- полуоси элипса. a>0, b>0.

Если a>b, то а- большая, b- малая полуоси. Если a<b, то наоборот.

Точки F_1,2(±c;0) при a>bc= и F_1,2(0;±c) при b>ac= - называется фокусом эллипса.

Основныесв-ва эллипса.

1)Для любых точек эллипса сумма расстояний до 2 фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная и равная 2а если a>bи 2bесли b>a.

2)Отношение расстояния между фокусами к большой оси называется эксцентриситетом эллипса.

Ɛ= <1 (еслиa>b) Ɛ= < 1 (еслиb>a)

3)Параметрические уравнения эллипса: t- любое число.

Замечание: =1 -эллипс с центром в точке С(x₀,y₀).

Доп.

Окружность- кривая имеющая в некоторой ДПСК уравнение x²+y²=R²R- радиус. (Ɛ=0- эксцентриситет) - параметрические ур-я.

Основное св-во окружности – все точки окружности равноудалены от центра.

(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²окружность с центром в точкеС(x0,y0).

6.Гипербола. Ее основное геометрическое свойство, фокусы, эксцентриситет.

Гиперболой называется кривая 2-го порядка имеющая в некоторой ДПСК уравнение: где а-действительная и b- мнимая полуоси или а-мнимая и b-действительная полуоси. F_1.2-фокусы (±с;0) c=

Св-ва гиперболы:

1)Для любых точек гиперболы модулб разности их растояний о 2-х фиксированных точек(фокусов) есть величина постоянная и равная 2а если а- действительнаяи 2b если b- действительная полуось.

IMF₁+MF₂I=2aа-действительная IMF₁-MF₂I=2bb-действительная

2)Эксцентриситет гипперболы -Отношение расстояния между фокусами к большой оси.

Ɛ= –aдействительная Ɛ= b- действительная Ɛ>1

3)Прямые y=± xобладают свойством, что точки гиперболы при х-стремяться к бесконечности, подходят сколь угодно близко к этим прямым. Эти прямые называтются асимтотам гиперболы.

Замечание:

1)Ур-е y= также определяет гиперболы (равнобочную)

2)Ур-е =1 гипербола со смещением в точку C(x₀,y₀).

7.Парабола. Ее основное геометрическое свойство, фокус, директриса.

Параболой называется кривая имеющая в некоторой ДПСК уравнение: или (канонические уравнения)P-параметр параболы.

P>0 P<0 P>0 P<0 d-директриса. F- фокус параболы.P-расстояние между фокусом и директрисой.

Основное св-во параболы.

Все точки параболы равноудалены от фиксированной точки(фокуса) и от фиксированной прямой(директрисы).

Замечание: уравнение (y-y₀)²=2p(x-x₀) (x-x₀)²=2p(y-y₀) задают параболу с вершинами в точке C (x₀,y₀).

8.Параллельный перенос системы координат. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Дано общее уравнение кривой 2-го порядка: Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0(*)

1) B=0 (ур=е не содержит слагаемого с xy)

В этом случае уравнение приводится к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов по переменных х и у. При этом используется формула полного квадрата. (x²±2x_0­x+x_­0²=(x±x₀)² После выделения полных квадратов уравнение(*) принимает вид: A(x-x₀)²+B(y-y­₀)²=G(**)GϵR

Можно показать, что если:1) А*В>0а= а) они одного знака, то при A*G>0ур-е(**) задает эллипс(при A=B-окружность)

б)При G=0ур-е (**) задаёт 1 точку (x₀;y₀)- вырожденный эллипс

в)A*G<0 ур-ю(**) не удовлетворяет ни одна точка (мнимый эллипс)

2)A*B<0 то а)при G≠0 ур-е (**) задаёт гиперболу б)при G=0 – пара прямых пересекающихся в точке (x₀,y₀).

3)A*B=0 ур-е (**) задаёт параболу(или пару параллельных прямых)

2) Случай B≠0 (ур-е (*) содержит слагаемое с xy)

Алгоритм приведения уравнения к каноническому виду:

1) Составляем матрицу

2)Находим собственные числа α₁ и α₂ и соответствующие им собственные векторы (α₁ и α₂ϵR )

3)Нормируем векторы находим их орт векторы и

Пусть

4)Т.к. то и => образует базис на плоскости. Пусть S-матрицы перехода от базиса I,j к . тогда => => => (!)

5)Подставляем в уравнение (*) формулы (!) правые части, после преобразования ур-е(*) принимает вид:

A`x`²+C`y`²+D`x`+E`y`+F`=0гдеA`,C`,D`,E`,F`ϵR

Полученное уравнение задаёт кривую второго порядка для построения который необходимо ввести новую Систему координат x`oy`- связанную с исходной xoyследующим образом: Ox` направлена вдоль вектора , а ось oy` направлена вдоль вектора . O- общее начало координат. Т.е. системы x`Oy` получены из системы xoy и повёрнуты на угол α.

6)Дальнейшее приведение этого уравнения осуществляеться как в пункте (1)

9)Полярная система координат. Ее связь с ДПСК.

ПСК- система координат на плоскости определяемая:1) точкой начало О-полюс 2)Осью Оρ-полярная ось 3)единицеймасштаба.

Произвольная точка плоскости M имеет в ПСК 2 координаты ᵩ-полярный угол (ОМ^Оρ)= Ф иr- полярный радиус(r= )

r≥0 – т.к. это расстояние. Ф ϵ [-π;π] или фϵ[0;2π]

Связь ПСК и ДПСК

Если совместить ПСК и ДПСК направив полярную ось вдоль ось Ох и совместить начало координат (!! здесь нужен рисунок!!)

формулы перехода от ПСК к ДПСК

переход от ДПСК к ПСК

10.Цилиндрические поверхности. Поверхности второго порядка.(здесь картинки будут отличаться с текстом в конспекте разберитесь!!!!)

Пусть L-некоторая линия в пространстве через каждую точку которой проведены прямые параллельные данной промой l.

Множество объединяющих прямых называется цилиндрической поверхностью, при этом L- направляющая цилиндра, а прямые l- называются образующими.

Если направляющая окружность, то цилиндрическая поверхность будет круговой.

К цилиндрическим поверхностям 2-го порядка относиться: круговые, эллиптические, параболические и гиперболические цилиндры. Название цилиндра даёт её название направляющей.

1) Круговой цилиндр. Ур-е - 2)Эллиптический цилиндр.Ур-е -

3) Гиперболический цилиндр. Ур-е 4)Параболический цилиндр. Ур-е

Поверхности второго порядка.

Поверхностью 2-го порядка называется геометрическое место точек в пространства, которые в некоторой ДПСК задаётся уравнением 2-го порядка.

Ax²+By²+Cz²+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Lz+K=0

ГдеA,B,C,C,D,E,F,G,H,L,KϵR- коэффициенты уравнения.

Дата добавления: 2015-11-04