% используем метод неопределённых коэффициентов:

%Первая задача вариант 1

% f(x-h) = f(x) - h*f'(x) + h*h*f''(x)/2 - h^3*f'''(x)/6 +...

% f(x-2h) = f(x) - 2*h*f'(x) + 4*h*h*f''(x)/2 - 8*h^3*f'''(x)/6 +...

% используем метод неопределённых коэффициентов:

% f''(x) = c0*f(x) + c1*f(x-h) + c2*f(x-2h) Отсюда:

% с0 + с1 + с2 = 0

% -h*c1 - 2*h*c2 = 0

% h*h*c1/2 + h*h*2*c2 = 1

% отсюда: c0 = c2 = 1/(h^2); c1 = - 2/(h^2);

% f''(x) = (f(x)+f(x-2h)-2f(x-h))/h^2;

% неустранимая погрешность: d1 = (eps+2*2*eps+3*eps)/h^2 = 8*eps/h^2

% устранимая погрешность (метода): d2 = abs(M3*(0 - 8*h^3/6 +

% 2*h^3/6)/h^2) = M3*h = h

% суммарная погрешность: d(h) = h + 8*eps/h^2; Найдём экстремум:

% d'(h) = 1 - 16*eps/h^3 = 0; hopt = (16*eps)^(1/3)

% Вторая задача вариант 1

x5_1 = 7*pi/24;

Px2_1 = ((x5_1-pi/6)*(x5_1-pi/3))/(pi*pi/18)+sqrt(3)*x5_1*(x5_1-pi/3)/(-pi*pi/18)+0.5*x5_1*(x5_1-pi/6)/(pi*pi/18);

Delta1_2_1 = abs(Px2_1 - cos(7*pi/24));

Delta2_2_1 = (10^(-2))*(abs(((x5_1-pi/6)*(x5_1-pi/3))/(pi*pi/18))+abs(x5_1*(x5_1-pi/3)/(-pi*pi/36))+abs(x5_1*(x5_1-pi/6)/(pi*pi/18)));

Delta3_2_1 = abs(x2_1*(x2_1-pi/6)*(x2_1-pi/3)/6);

% Третья задача вариант 1

a_3_1 = 0;

b_3_1 = 1;

M2_3_1 = 6*exp(1);

Delta_3_1 = (((b_3_1-a_3_1)^3)/12)*M2_3_1;

N_3_1 = sqrt(Delta_3_1*10^4);

% Четвёртая задача вариант 1

t1_4_1 = 0;

t2_4_1 = sqrt(0.6);

t3_4_1 = -sqrt(0.6);

x1_4_1 = 1.5*(t1_4_1+1);

x2_4_1 = 1.5*(t2_4_1+1);

x3_4_1 = 1.5*(t3_4_1+1);

% оценку берём по справочной формуле n = 3

n_4_1 = 3;

M6_4_1 = 1;

maxdelta_4_1 = M6_4_1*(((factorial(n_4_1))^4)*3^(2*n_4_1+1))/((2*n_4_1+1)*(factorial(2*n_4_1))^3);

% система уравнений для коэффициентов на [-1,1] имеет вид:

% С1 + С2 + С3 = 2

% -С3 + С2 = 0

% 0.6*(С2 + С3) = 2/3

% Решаем эту систему:

% C1 = 8/9; C2 = 5/9; C3 = 5/9;

% Пересчитываем коэффициенты на наш отрезок, так как dx = 1.5*dt:

% С1_4_1 = 1.5*8/9 = 4/3; C2_4_1 = 1.5*5/9 = 5/6; C3_4_1 = 5/6;

%пример расчёта погрешности в одной точке

del_4_1 = abs(1-exp(-3)-(4/3)*exp(-x1_4_1)-(5/6)*abs(exp(-x2_4_1)+exp(-x3_4_1)));

% Пятая задача вариант 1

x5_1 = 0;

Px5_1 = -3.8*((x5_1-0.2)*(x5_1+0.3)*(x5_1+1))/(0.8*1.3*2)-1*((x5_1-1)*(x5_1+0.3)*(x5_1+1))/(-0.8*0.5*1.2)+0.4*((x5_1-1)*(x5_1-0.2)*(x5_1+1))/(-1.3*(-0.5)*0.7)+2.6*((x5_1-1)*(x5_1-0.2)*(x5_1+0.3))/(-2*(-1.3)*(-0.7));

ОТВЕТЫ:

В первой задаче f''(x) = (f(x)+f(x-2h)-2f(x-h))/h^2; hopt = (16*eps)^(1/3)

Во второй задаче 0.0045 – точное значение ошибки 0.0119 - оценка погрешности через 10^(-2)

0.0079 – погрешность метода.

В третьей задаче Nmin = 117

В четвёртой задаче I =(4/3)*f(1.5) + (5/6)*(f(1.5*0.6^0.5+1.5)+ f(-1.5*0.6^0.5+1.5)); maxdel = 1.1*10^(-3)

В пятой задаче х = -0.4253

Дата добавления: 2015-11-04