1) О1. Векторное (линейное) пространство – множество V с введёнными на нём операциями +(сложение векторов, бинарная операция) и λ*(умножение вектора на число λєR), удовлетворяющие след.

1) О1. Векторное (линейное) пространство – множество V с введёнными на нём операциями +(сложение векторов, бинарная операция) и λ*(умножение вектора на число λєR), удовлетворяющие след. свойствам:

1) x+y=y+x

2) (x+y)+z=x+(y+z)

3) 0; x+0=x

4) –x=x’; x+(-x)=0

5) λ(µx)=(λµ)R;

6) (λ+µ)x=λx+µx

7) λ(x+y)=λx+λy

8) 1=e; 1*x=x;

(Крит. Сильвестра) Невырожденная кв. форма f(x), f: V->R, является положительно определённой <=> все угловые миноры |∆₁|>0, …, |∆_n|>0

f – отрицательно определённная <=> |∆₁|<0, |∆₂|>0, |∆₃|<0, …, sgn(|∆_n|)=(-1)ⁿ

3) Т5.6. Матрица ЛО в фикс. базисе является диагональной <=> базис состоит из СВ.

Следствие 5.1. Если харак-е ур-е ЛО имеет n корней и попарно различных действительных корней, то сущ-ет базис, в котором матрица этого ЛО диагональна.

Следствие 5.2. Если ур-е матрицы,… матрица подобна диагональной.

Квадратичная форма f(x) наз-ся положительно определённой, если для любого xєV f(x)>0. (q=0); Отрицательной – если f(x)<0 (p=0).

О2. Кв. форма наз-ся знакопеременной или знаконеопределённой, если сущ-ют x,yєV: f(x)>0, f(y)<0.

4) О3. Пусть V – векторное пространство. Система векторов a₁,…,a_n называется базисом пространства V, если

а) Система a­₁,…,a_n ЛНЗ

б) Любой вектор bєV представляется в виде линейной комбинации векторов a₁,…,a_n: сущ-ют x₁,…,x_nєR;

b=x₁a₁+…+x_na_n;

a₁,…,a_n; b₁,…,b_n – 2 базиса(старый и новый).

b₁=c₁₁a₁+c­₂₁a₂+…+c_n1a_n

b₂=c₁₂a₁+c₂₂a₂+…+c_n2a_n (*)

…

b_n=c_1na₁+c_2na₂+…+c_nna_n

– матрица перехода от базиса а к базису b.

АєM_n(R) её хар-м ур-ем наз-ся ур-е вида

det (мA-λE)=0, λ – переменная.

Т.(об инвариантности характ. многочлена).

При изменении базиса, характ. многочлен не меняется.

5) Отображение A: L₁->L₂ наз-ся линейным (линейным оператором, ЛО), если:

1. A(x+y)=A(x)+A(y);

2. A(λx)=λA(x);

С каждым ЛО A: L₁->L₂ связаны 2 множетсва: Ker A=A^-1(0)={xєL₁: Ax=0} – ядро ЛО А.

Im A= A(L)={yєL₂: xєL₁ (Ax=y)} – образ А.

A_b=U^TA_eU – переход квадратичной формы. (e)->U->(b);

6) Отображение A: L₁->L₂ наз-ся линейным (линейным оператором, ЛО), если:

1. A(x+y)=A(x)+A(y);

2. A(λx)=λA(x);

Матрицей оператора A: L->L в базисе (b₁,…,b_n) является матрица мA, столбцами которой являются координаты векторов A(b₁),…,A(b_n) в том же самом базисе.

(неравенство Коши-Буняковского).

(о неравенстве треугольника).

7) Собственным вектором матрицы А наз-ся ненулевой е, т. ч. сущ-ет λєR: Ae=λe. При этом λ – собственной значение матрицы А, соответствующее собственному вектору.

О. Собственным вектором ЛО А наз-ся вектор е, т.ч. сущ-ет λєR: A(e)=λe, λ – собственное значение А.

λ – СЗ <=> AX=λX

xєV, пусть (x₁^a,…,x_n^a) – координаты вектора в базисе а. x^a=(x₁^a,…,x_n^a)^T.

x^b=(x₁^b,…,x_n^b)^T – координаты х в базисе b.

Тогда x^a=T_a->bx^b

Следствие x^b=T^-1_a->bx^a;

8) А*: E_n->E_n наз-ся сопряженным ЛО А: E_n->E_n, если для любых x,yєE_n (Ax,y)=(x,A*y)

А наз-ся самосопр. если A=A*

ЛО, действующий в n-мерном евкл. пространстве, наз-ся ортогональным оператором(ОО), если он сохраняет скаляр произведение.

Т. А – ОО, то ||A(x)||=||x||

м-ца А наз-ся ортогональной, если А^TA=E

Если матрица ЛО в нек. ОНБ(?) базисе ортогональна, то оператор ортогонален.

Если оператор ортогонален, то в любом ОНБ его матрица ортогональна.

В ЕП м-ца перехода от одного ОНБ к ОНБ является ортогональной.

Любая ортогонал. м-ца переводит любой ОНБ в ОНБ.

dim(L₁+L₂)=dimL₁+dimL₂-dim(L₁пересечL₂)

9) f наз-ся билинейной, если она является линейной по каждому аргументу, т.е. фиксируя а:

f(a,x)=f_a(x): L->R – лин. ф-ция.

f_a(x+y)=f_a(x)+f_a(y); f_a(λx)=λf_a(x);

Фикс. вектор b: f_b(x)=f(x,b) – лин. ф-ция.

Для определения билин. ф-ции на LxL достаточно определить значения f(e_i,e_j)=a_ij;

А=(a_ij) наз-ся матрицей билинейной формы.

Билин. ф-ция на-ся симметричной, если для любых x,y выполняется

f(x,y)=f(y,x) и называется кососимметричной, если f(x,y)=-f(y,x);

L – ЛП, базисы (b₁,…,b_n)->(e₁,…,e_n), U – матрица перехода, ЛО А: L->L, мА_b,м A_e – его матрицы

Тогда мА_e=U^-1A_bU

Дата добавления: 2015-11-04