21) Задача о массе стержня. Если стержень однороден, то его истинная плотность одинакова во всех его точках и равна его средней плотности. У неоднородного же стержня истинная плотность p меняется от

21) Задача о массе стержня. Если стержень однороден, то его истинная плотность одинакова во всех его точках и равна его средней плотности. У неоднородного же стержня истинная плотность p меняется от точки к точке. Если определять положение каждой точки M стержня с помощью расстояния x ее от одного из концов стержня, то его плотность p в точке x будет функцией от x, p = p (x). II. Задача о площади криволинейной трапеции Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями y = 0, x = a, x = b и y = f (x), где f (x) есть непрерывная положительная функция, заданная при a ≤ x ≤ b. Такая фигура называется криволинейной трапецией. Определенный интеграл как предел интегральной суммы!! называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки, а высоты равны соответственно. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка (лямда);

22) Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. где х, t – любые буквы. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций. Формула Ньютона-Лейбница Ф-первообразная

23) Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме. Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t₁; t₂], причем φ([t₁; t₂])=[a; b] и φ(t₁)=a, φ(t₂)=b, то справедлива формула: Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]:

24) Площадь: 1) Пусть функция F (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a, b ]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле 2) Если на отрезке [ a, b ], - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычисляется по формуле 3) Если функция F(x) на отрезке [ a, b ] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна Длинна дуги: 1) Если функция y = f (x) непрерывна вместе с её производной f' (x) на отрезке [ a, b ], то длина дуги AB, где A (a, f (a)), B (b, f (b)), выражается формулой 2) Если кривая задана параметрическими уравнениями , где x (t), y (t) - дифференцируемые функции, то длина дуги 3) Если дуга задана в полярных координатах , , то длина дуги Объем:1) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b (a < b) вокруг оси OX, то объем тела 2) если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем

25) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом I рода от функции f(x) по промежутку [a;+∞) называется предел функ-ции I(b) при b → + ∞...Пусть функция F(x) интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежутке , и бесконечно большая в точке x=b. Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции f(x) по (a,b) и обозначают его .

26) Числовые ряды: основные понятия, необходимые условия. Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .a_k называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда. Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. называют также n-ой частичной суммой числового ряда.Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, Выражение называется остатком ряда.

27) Ряды с положительными членами и признаки их сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши. В общем виде положительный числовой ряд можно записать так: . Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: 2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу S: . Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При D<1 ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При D>1 ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При D=1 признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения. Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При D<1 ряд сходится. В частности, ряд сходится при D=0.
б) При D>1 ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При D=1 признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком. Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

28) Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда:Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: (монотонное убывание {a_n}); .Тогда этот ряд сходится.

29) Степенные ряды и область их сходимости. Степенным рядом называется функциональный ряд вида где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ – постоянные числа. (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится при некотором , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что

30) Разложение функций в степенной ряд. Разложение некоторых элементарных функций. Теорема 1. Если функция f (x) в некотором промежутке (a - r, a + r) представляется степенным рядом, расположенным по степеням x - a, то эта функция имеет в упомянутом промежутке производные всех порядков, а само разложение обязательно таково: Написанный здесь ряд называется рядом Тейлора функции f (x).

Дата добавления: 2015-11-04