§ 3. Свойства преобразования лапласа

§ 3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

1. Свойство линейности

,

где А и В – постоянные числа.

Это свойство следует из определения: преобразование Лапласа определяется интегралом, а интеграл обладает линейными свойствами, т.е. интеграл суммы есть сумма интегралов, и постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Если показатели роста для функций соответственно равны s ₁ и s ₂, то изображение линейной комбинации существует при Re p > max(s ₁, s ₂).

Пример. Найдем изображения гиперболических косинуса и синуса:

,

.

Получили формулы, которые внесены в таблицу:

2. Теорема подобия

где α > 0, Re p > max(s ₀, α s ₀).

Сжатие оригинала по оси t дает преобразование подобия на плоскости (p).

Доказательство.

Пример. Зная изображения для cos t и sin t, найдем изображения для cosβ t и sinβ t по теореме подобия:

,

.

Получили формулы, которые внесены в таблицу:

3. Теорема смещения изображения

где Re (p – α) > s ₀.

Умножению оригинала на e^αt (α R) соответствует смещение аргумента изображения на α.

Доказательство.

Пример. Зная изображения для cos t и sin t, найдем изображения для e^αt cosβ t и e^αt sinβ t, применяя теорему смещения изображения:

=>

=>

Получили формулы, которые внесены в таблицу:

4. Теорема запаздывания

f(t)

f(t – t₀)

t

0 t₀

где Re p > s ₀.

Запаздыванию оригинала на t ₀ соответствует умножение изображения на .

Доказательство.

f(t)

0 t ₀ t

Пример 1. Найдем изображение для функции Хевисайда с запаздыванием f (t) = η(t – t ₀):

η(t) => η(t – t ₀)

Пример 2. Пусть функция f (t) задана графиком.

f(t)

t

0 2 5

Запишем ее аналитическое задание с помощью функции Хевисайда:

f (t) = 4η(t – 2) – 3η(t – 5).

Изображение этой функции:

5. Дифференцирование изображения

,

где n = 1, 2, …

Умножение оригинала на множитель t соответствует умножению изображения на (– 1) и дифференцированию его по аргументу p.

Доказательство.

Следовательно, .

Пример. Воспользуемся изображением функции Хевисайда η(t) и свойством дифференцирования изображения.

t ·η(t) , …, tⁿ ·η(t)

6. Дифференцирование оригинала

Если функция f (t) и ее производные являются оригиналами, то

где Re p > s ₀.

Без доказательства.

7. Интегрирование оригинала

где Re p > s ₀.

Без доказательства.

Пример. Найти изображение функции .

8. Интегрирование изображения

Если является оригиналом, то

Без доказательства.

Следствие:

Пример. Найти изображение функции .

Так как , то по свойству интегрирования изображения и его следствию

9. Теорема о свертке

Определение. Сверткой двух функций f ₁(t) и f ₂(t) называется

Теорема. Свертке оригиналов соответствует произведение изображений

Без доказательства.

Дата добавления: 2015-11-04