Построение графика функций

Построение графика функций

1. Построим график функции по известному графику функции . Рассмотрим, как можно осуществить это построение на примере функции , то есть по графику функции построим график функции

При функция принимает значение . Это же значение функция принимает при . При функция принимает значение , которое функция принимает при (рис. 1). Мы видим, что то же значение, что и функция принимает при противоположном значении аргумента . Это верно для всех допустимых значений : то значение, которое функция принимает при , то есть , функция принимает при . Действительно, .

Рисунок 1

Рисунок 2

Это означает, что точка , симметричная относительно оси ординат точке , принадлежит графику функции . Кроме того, для любой точки этого графика найдется симметричная ей точка графика функции . Поэтому график функции получается в результате симметрии относительно оси ординат графика функции .

Все приведенные выше рассуждения применимы и в общем случае для построения по известному графику функции графика функции . Рассмотрим точку графика с абсциссой . Симметричная ей относительно оси ординат точка плоскости принадлежит графику функции . Это следует из того, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению , так как . Значит, при симметрии точки графика функции получится точка графика функции . Осталось показать, что таким образом мы можем получить любую точку этого графика. Для точки искомого графика с координатами симметричная ей точка имеет координаты , а, значит, принадлежит графику функции . Это завершает доказательство следующего способа построения графика функции :

Чтобы получить график функции из графика функции необходимо

ü отразить симметрично относительно оси ординат Oy график функции

I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AC9AmiK9AAAA2wAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET82KwjAQvi/4DmEEb2vqFlapRhFB8eJh 1QcYmrE/NpPSzGr16c1B8Pjx/S9WvWvUjbpQeTYwGSegiHNvKy4MnE/b7xmoIMgWG89k4EEBVsvB 1wIz6+/8R7ejFCqGcMjQQCnSZlqHvCSHYexb4shdfOdQIuwKbTu8x3DX6J8k+dUOK44NJba0KSm/ Hv+dgemW6vD0O5G67XdpfUgnKKkxo2G/noMS6uUjfrv31kAa18cv8Qfo5QsAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEABKs5XgABAADmAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAIwxik1AAAAJMBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAADEBAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAASAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvcGljdHVy ZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAL0CaIr0AAADbAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACfAgAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9wAAAIkDAAAAAA== " stroked="t" strokecolor="#d8d8d8 [2732]">

2. Поскольку симметрия относительно оси ординат не изменяет ординату точки, то множество значений функции совпадает с множеством значений функции (рис.3). Ордината точки при этой симметрии приобретает противоположное значение, поэтому область определения функции симметрична области определения функции относительно начала координат (рис.3).

Рисунок 3

3. Пример. Построить график функции .

Решение. Построим сначала график функции , сдвинув влево на 2 единицы вдоль оси график функции . Затем график функции симметрично отразим относительно оси ординат и получим график функции (рис.4). Последовательность построения графиков можно записать в следующем виде: .

Рисунок 4

Упражнения

1. Приведите примеры функций , для которых графики функций и совпадают. Как называются такие функции?

2. На рисунке изображен график функции . Построите график функции

3. Постройте схематически график функции.

4. Найдите функцию, график которой симметричен относительно оси ординат графику функции .

5. Найдите область определения функции , если известна область определения функции .

Дата добавления: 2015-11-04