1.2 Расчет токов по законам Кирхгофа

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………..….

1Основная часть…………………………………………………………………….

1.1Упростить схему………………………………………………….…………….

1.2 Расчет токов по законам Кирхгофа………………………………………......

1.3 Определение токов методом контурных токов…………………………………

1.4 Определение токов методом узловых напряжений…………………………

1.5 Результаты расчетов тока……………………………………………………….

1.6 Составление баланса мощностей…………………………………………………

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………………

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ ……………………………………

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина "Основы теории цепей" (ОТЦ) является базовой для специальности 11.03.01 – Радиотехника. Она имеет исключительно важное значение для формирования научного круго­зора специалиста по радиотехнике. В процессе ее изучения студенты получают базовую теоре­тическую подготовку, необходимую для дальнейшего изучения специальных дисциплин.

Предметами изучения дисциплины ОТЦ являются физические процессы, происходящие в электро- и радиотехнических цепях, и их математические модели, описываемые с помощью ко­нечного числа взаимосвязанных алгебраических, дифференциальных, интегральных или разно­стных уравнений.

Основной задачей здесь является обучение студентов современным методам расчета ра­диотехнических цепей, а также методам анализа по временным и частотным характеристикам установившихся и неустановившихся процессов в них.

После изучения дисциплины ОТЦ студент должен уметь составлять и решать уравнения электрического равновесия цепи любой разумной сложности, а также определять и анализиро­вать системные функции и временные характеристики линейных цепей.

В свете перспектив развития радиоэлектроники (применение больших интегральных схем, внедрение цифровых методов обработки сигналов и т.п.) все большую роль играет широ­кое применение вычислительной техники в анализе, синтезе и моделировании цепей, что требу­ет от студента умения применять различные вычислительные методы при решении типовых за­дач основ теории цепей на ЭВМ.

Целью курсовой работы является ….

1 основная часть

1. Упростить схему;

2. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений;

3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов;

4. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых напряжений;

5. Результаты расчёта токов, проведённого двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой;

6. Составить баланс мощностей.

Схематическое изображение анализируемой электрической цепи и значения сопротивлений и ЭДС представлены ниже на рисунке 1 и в таблице 1, соответственно.

Рисунок 1 – Графическое представление анализируемой цепи

Таблица 1 – Таблица значений сопротивлений и ЭДС элементов цепи

R1	R2	R3	R’4	R”4	R5	R’6	R”6	E2	E3
19,5 Ом	7,5 Ом	3Ом	1 Ом	11 Ом	16,5Ом	30Ом	90 Ом	24 В	30 В

1.1 Упростим схему

Упростим электрическую схему, представленную на рисунке 1, заменив последовательно и параллельно соединённые резисторы четвёртой и шестой ветвей эквивалентными.

Рисунок 2 – Графическое представление эквивалентной цепи

Таким образом, получим эквивалентную электрическую схему (рисунок 2) со следующими значениями эквивалентных сопротивлений четвертой и шестой ветвей:

,

Для простоты дальнейших вычислений составим таблицу значений сопротивлений и ЭДС эквивалентной электрической цепи (таблица 2).

Таблица 2- Таблица значений сопротивлений и ЭДС эквивалентной цепи

R1	R2	R3	R4	R5	R6	E2	E3
19,5 Ом	7,5 Ом	3 Ом	12 Ом	16,5 Ом	22,5 Ом	24 В	30 В

1.2 Расчет токов по законом Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов, входящих в любой узел любой электрической цепи, с учетом того, что значения вытекающих токов берутся с обратным знаком, равна нулю.

(1)

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Слагаемые, включающие ток или ЭДС, текущие противоположно направлению произвольно выбранного обхода контура, берутся с обратным знаком.

. (2)

Первоначально, рассчитаем количество уравнений, необходимых для определения значений всех токов анализируемой цепи по правилам Кирхгофа. Общее количество необходимых уравнений равно количеству неизвестных токов или количеству ветвей, носящих неизвестные токи. Таким образом, общее количество уравнений N = 6.

(3)

где p - количество ветвей, носящих неизвестные токи.

Определим количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, используя формулу:

(4)

где q – количество узлов, входящих в анализируемую цепь. То есть, по первому закону Кирхгофа необходимо составить n ₁ = 3 уравнения.

Следовательно, по второму закону Кирхгофа необходимо составить n ₂ = 3 уравнения, количество которых вычисляется по формуле:

. (5)

Перед составлением системы уравнений необходимо расставить предполагаемые направления текущих токов (рисунок 3).

Рисунок 3 – Графическое представление цепи с

теоретическими направлениями токов

Система уравнений, содержавшаяпредставления первого закона Кирхгофа для узлов 1,2,3 и представления второго закона Кирхгофа для контуров I, II, III для анализируемой цепи, в общем виде будет иметь вид:

(6)

Подставив значения сопротивлений и ЭДС в (6), получим:

(7)

Если какое-либо значение тока, в последствие решения, окажется отрицательным, это говорит лишь о том, что он имеет противоположное направление относительно ранее присужденного.

1.3 Определение токов методом контурных токов

Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей, заключающейся в том, что токи всех ветвей цепи связаны между собой (q-1) уравнением баланса токов, и, следовательно, из р токов ветвей только (p-q+l) ток может быть задан независимо. Следовательно, для анализируемой цепи необходимо составить 3 уравнения.

Сокращенная система уравнений электрического равновесия цепи, составленная относительно неизвестных контурных токов, называется системой контурных уравнений цепи и, в нашем случае, имеет вид:

, (8)

где Z_ii–собственное сопротивление i-го контура, равная сумме сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур, Z_ij–общее, или взаимное, сопротивление i-го и j-го контуров, равное сумме сопротивлений ветвей, общих для этих контуров. Общее сопротивление Z_ij, берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении; если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления, то общее сопротивление берут со знаком минус. Если контуры цепи не имеют общих ветвей, то их общее сопротивление равно нулю, E_ii– алгебраическая сумма ЭДС всех идеализированных источников напряжения, входящих в i-ый контур. Если направление ЭДС какого-либо источника, входящего в данный контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая ЭДС входит в сумму с положительным знаком, в противном случае — с отрицательным.

Проведем расчеты собственных и взаимных сопротивлений и алгебраических сумм ЭДС контуров анализируемой цепи, требуемые для составления сокращенной системы уравнений электрического равновесия цепи относительно контурных токов:

Таким образом, подставив в систему (1) ранее рассчитанные величины, получим систему уравнений следующего вида:

(9)

Методом Крамера рассчитаем значения контурных токов:

Рассчитаем значения токов всех ветвей анализируемой цепи.

Значение токов I_1,I₅ отрицательны, это указывает на то, что истинные направления течений токов по ветвям 1 и 5 противоположны ранее присужденным.

Следовательно, рассматриваемая цепь будет иметь вид (рисунок 4).

Рисунок 4 – Графическое представление цепи с

истинными направлениями токов

1.4 Определение токов методом узловых напряжений

Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи, в котором в качестве независимых переменных используются неизвестные напряжения независимых узлов относительно базисного, называется методом узловых напряжений (УН).

Определим количество уравнений, которое необходимо составить для определения всех токов анализируемой цепи методом узловых напряжений, используя формулу:

(10)

где q – количество узлов, входящих в анализируемую цепь.

Система уравнений, составленная из 3 уравнений относительно неизвестных контурных токов, имеет вид:

, (11)

где Y_ii– собственная проводимость i-го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, подключенных к данному узлу, Y_ij– общая (взаимная) проводимость i-гo и j-го узлов, равная сумме проводимостей всех ветвей, включенных непосредственно между этими узлами, взятая с противоположным знаком. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные непосредственно между i-м и j-м узлами, то Y_ij = 0;J_ii- узловой ток i-гo узла, равный алгебраической сумме токов всех источников тока, подключенных к данному узлу. Если ток какого-либо источника тока направлен к i-му узлу, то он входит в выражение для J_ii со знаком плюс, если ток направлен от i-го узла, то — со знаком минус.

Проведем расчеты собственных и взаимных проводимостей и узловых токов анализируемой цепи, требуемые для составления системы уравнений электрического равновесия цепи относительно узловых напряжений:

Таким образом, подставив в систему (2) ранее рассчитанные величины, получим систему уравнений следующего вида:

(12)

Методом Крамера рассчитаем значения узловых напряжений:

Рассчитаем значения токов всех ветвей анализируемой цепи.

1.5 Результаты расчетов тока

Результаты расчетов тока рассчитаны методами контурных токов и узловых напряжений и представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Таблица результатов расчетов токов методами контурных токов и узловых напряжений

I1, А	I2, А	I3, А	I4, А	I5, А	I6, А
метод контурных токов
метод узловых напряжений
∆I1	∆I2	∆I3	∆I4	∆I5	∆I6
0,003	0,014	0,031			0,002

Из таблицы 3 видно, что определение токов методами контурных токов и узловых напряжений имеют довольно малые погрешности.

1.6 Составление баланса мощностей

Составим баланс мощностей, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность:

;

15,7599+0,169+1,683+2,419+1,436+4,638

;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе заменой последовательно и параллельно соединенных резисторов эквивалентными была упрощена схема электрической цепи; по первому и второму законам Кирхгофа была составлена система уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.

При расчете методом контурных токов была составлена система уравнений, рассчитаны взаимные и собственные сопротивления и алгебраические суммы ЭДС. Затем методом Крамера были рассчитаны токи и, в зависимости от получившихся результатов, определены их истинные направления.

Используя метод узловых напряжений, составлена система уравнений электрического равновесия цепи; рассчитаны собственные и взаимные проводимости и узловые токи анализируемой цепи. Методом Крамера были рассчитаны значения узловых напряжений и определены токи всех ветвей анализируемой цепи.

Результаты расчетов двумя методами были сведены в таблицу, и на основании малой абсолютной погрешности вычислений составлен баланс мощностей.

Все значения по всем трем частям сошлись, значит, курсовая работа была выполнена верно.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Попов, В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов спец. "Радиотехника" [Текст] /В.П. Попов. - М.: Высшая школа, 2007. – 575 с.

2. Бирюков, В.Н. Сборник задач по теории цепей [Текст] /В.Н. Бирюков, В.П. Попов, В.И. Семенцов. - М.: Высшая шко­ла, 1985. - 239 с.

3. Шебес, М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей [Текст] /М.Р. Шебес. - М.: Высшая школа, 1990. - 488с.

4. Бессонов, Л.А. Линейные электрические цепи [Текст] /Л. А. Бессонов. - М.: Высшая школа, 1983. - 336 с.

5. Лосев, А.К. Теория линейных электрических цепей [Текст] /А. К. Лосев. - М.: Высшая школа, 1987. - 512 с.

6. Пудовкин, А.П. Основы теории цепей: учебное пособие [Текст] /А.П. Пудовкин, Т.И. Чернышова Т.И. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2009. – 80 с.

Дата добавления: 2015-11-04