Строгое определение касательной:

1. Определение.

Строгое определение касательной:

Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке x_о, - это прямая, проходящая через точку (x_о; f (x_о)) и имеющая угловой коэффициент f ′(x_о).

Угловой коэффициент имеет прямая вида y =kx +b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.

Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс

2. Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.

3. Достаточное условие существование экстремума функции в точке.

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс - то есть точка минимума.

Доказательство:

Рассмотрим -окрестность точки . Пусть и . Тогда функция возрастает на интервале , а на интервале она убывает. Отсюда следует, что значение в точке является наибольшим на интервале , т.е. для всех . Следовательно есть точка максимума.

4. Уравнение касательная к графику функции.

Выведем уравнение касательной к графику функции f в точке A (x₀; f(x₀)).

Касательная – прямая. Любая прямая может быть задана уравнением y=kx+b/

K= f’(x₀) – угловой коэффициент наклона касательной к графику функции.

Уравнение прямой с угловыми коэффициентом f’(x₀) имеет вид:

y = f’(x₀)*x + b

Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f(x₀) = f’(x₀)*x₀ + b, выразим b = f(x₀)-f’(x₀)*x₀, подставим в уравнение вместо b это выражение

значит, уравнение касательной таково:

y=f’(x₀)x-f’(x₀)*x₀+f(x₀),

или

y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀). (1)

Дата добавления: 2015-11-04