Тема. Математический маятник математический маятник — это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник — модель обычного (реального)

Тема. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник — модель обычного (реального) маятника, представляющего собой небольшое тело, подвешенное на длинной нити. Выведем тело маятника (шарик) из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила упругости нити - ynp, направленная вдоль нити (рис. 3.5). Конечно, при движении маятника на него еще действует сила сопротивления. Но мы будем считать ее пренебрежимо малой. Для того чтобы отчетливо представить себе динамику движения маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие: n. направленную вдоль нити, и t, направленую перпендикулярно нити по касательной к траектории шарика. Силы n. и t сумме составляют силу t. Сила упругости нити yпp и составляющая силы тяжести n перпендикулярны скорости маятника и сообщают ему центростремительное ускорение. Это ускорение направлено к центру дуги окружности — траектории движения маятника. Работа этих сил равна нулю. Поэтому, согласно теореме о кинетической энергии, они не меняют скорость маятника по модулю. Их действие приводит лишь к тому, что вектор скорости непрерывно меняет направление, так что в любой момент времени скорость шарика направлена по касательной к дуге окружности. Под действием составляющей силы t тяжести маятник начинает двигаться по дуге окружности вниз с нарастающей по модулю скоростью. При движении маятника эта составляющая силы тяжести, направленная к положению равновесия, уменьшается по модулю, и в момент, когда маятник проходит через положение равновесия, она становится равной нулю. Вследствие своей инертности маятник продолжает движение, поднимаясь вверх. При этом t уже будет направлена против скорости. Поэтому модуль скорости маятника станет уменьшаться. В момент остановки маятника в верхней точке его траектории модуль t максимален и она будет вызывать движение шарика в сторону положения равновесия. Далее скорость маятника увеличивается по модулю, и он снова движется к положению равновесия. Пройдя положение равновесия, он возвращается в исходное положение, если только сила сопротивления мала и ее работой в течение небольшого интервала времени можно пренебречь. Опустив маятник и сосуд с вязкой жидкостью, мы тут же обнаружим, что колебания не происходят совсем или затухают очень быстро. Математический маятник свободно колеблется при двух условиях: 1) при выведении его из положения равновесия в системе возникает сила, направленная к положению равновесия; 2) трение в колебательной системе достаточно мало. Как правило, при рассмотрении механического движения тела (например, движения космического корабля или планеты под действием сил всемирного тяготения) нужно бывает определить положение тела и его скорости в любой момент времени. Но при изучении периодических колебательных процессов особый интерес представляют общие признаки, характеризующие повторяемость в движении, а не положение и скорость колеблющегося тела в любой момент времени. Важно знать амплитуду, период и фазу колебаний, т. е. величины, характеризующие процесс в целом. При вынужденных колебаниях надо знать отношение частоты вынуждающей силы ю и частоты свободных колебаний . Именно оно определяет амплитуду и фазу колебаний. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Сколько колебаний совершает математический маятник длиной I = 4,9 м за время t = 5 мин? Решение. Период колебаний определяется но формуле Искомое число колебаний можно найти так: Задача 2. Вертикально подвешенная пружина растягивается прикрепленным к ней грузом на = 0,8 см. Чему равен период Т свободных колебаний груза? (Массой пружины пренебречь.) Решение. Период колебаний груза, прикрепленного к пружине, определяется формулой где m — масса груза; k — жесткость пружины. На груз действуют сила тяжести т и сила упругости ynp. Когда груз находится в равновесии, эти силы равны по модулю: Fт = Fупр. Задача 3. Груз, прикрепленный к пружине, колеблется на горизонтальном гладком стержне (см. рис. 3.3). Определите отношение кинетической энергии груза к потенциальной энергии системы в момент, когда груз находится в точке, расположенной посредине между крайним положением и положением равновесия. Решение. Координата указанной точки равна половине амплитуды колебаний: . Потенциальная энергия системы в момент прохождения груза через эту точку равна: В любой момент времени выполняется равенство Поэтому кинетическая энергия груза в момент прохождения им указанной точки определяется так: 3. На горизонтальном стержне находится груз, прикрепленный к пружине (см. рис. 3.3). Другой конец пружины закреплен. В некоторый момент времени груз смещают от положения равновесия на хm = 10 см и отпускают. Определите координату груза спустя 1/8 периода колебаний. (Трение не учитывать.) Решение. Зависимость координаты груза от времени выражается так: КРАТКИЕ ИТОГИ ГЛАВЫ 1. Колебания различной природы (механические, электрические и др.) описываются одинаковыми уравнениями. Различают свободные, затухающие и вынужденые колебания. 2. Свободные колебания возникают в системе под влиянием внутренних сил после того, как она выведена из состояния равновесия. С течением времени свободные колебания вследствие трения затухают. 3. Вынужденные колебания возникают при действии на систему внешней периодической силы. Эти колебания не затухают до тех пор, пока действует внешняя сила. Пример вынужденных колебаний: раскачивание качелей с помощью периодических толчков. 4. Свободные колебания груза, прикрепленного к пружине, можно описать вторым законом Ньютона. Его следствием применительно к данному случаю является уравнение где х — смещение груза от положения равновесия; х" — ускорение груза; — постоянная, зависящая от свойств системы. 5. Решение уравнения, описывающего свободные колебания, выражается через косинус: или синус. Колебания, происходящие по закону косинуса или синуса, называются гармоническими. 6. Модуль максимального смещения тела хm от положения равновесия называется амплитудой колебаний. Величина называется циклической частотой колебаний и выражается через частоту колебаний v так: = 2 v 7. Промежуток времени, за который система совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. Период можно выразить через циклическую частоту: 8. Величину, стоящую под знаком косинуса или синуса, называют фазой колебаний. Фаза определяет положение колеблющегося тела в произвольный момент времени при заданной амплитуде колебаний. 9. Собственная циклическая частота колебаний груза, прикрепленного к пружине, зависит от его массы т и жесткости пружины k: Собственная циклическая частота колебаний математического маятника определяется формулой где g — ускорение свободного падения, а I — длина маятника. Частота (как и период) гармонических колебаний не зависит от амплитуды. 10. Энергия колеблющегося тела при отсутствии сил трения сохраняется: Вынужденные колебания совершаются при воздействии на систему, в которой могут происходить колебания, периодической силы. При этом может наблюдаться резонанс: резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы с собственной частотой колебаний системы. Резонанс проявляется отчетливо лишь в системах с малым трением.

Домашее задание:

1. Законспектировать лекцию.

2. Ответить на вопрос:

Два маятника представляют собой шарики одинакового радиуса, подвешенные на нитях разной длины. Массы шариков одинаковы. Колебания какого из маятников прекратятся быстрее: на длинной нити или на короткой?

3. Решить задачи:

1. Груз массой 100 г совершает колебания с частотой 2 Гц под действием пружины. Определите жесткость пружины.

2. В Санкт-Петербурге в Исаакиевском соборе висел маятник Фуко, длина которого была равна 98 м. Чему был равен период колебаний маятника?

3. Шарик на пружине сместили на расстояние 1 см от положения равновесия и отпустили. Какой путь пройдет шарик за 2 с, если частота его колебаний v = 5 Гц? (Затуханием колебаний можно пренебречь.)

4. Тело массой 200 г совершает колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой 2 см под действием пружины жесткостью 16 Н/м. Определите циклическую частоту колебаний тела и энергию системы.

5. Автомобиль движется по неровной дороге, на которой расстояние между буграми приблизительно равно 8 м. Период свободных колебаний автомобиля на рессорах 1,5 с. При какой скорости автомобиля его колебания в вертикальной плоскости станут особенно заметными?

Дата добавления: 2015-11-04