Вказівки до розв’язування задач

Вказівки до розв’язування задач

типового варіанту

До задачі 1

Варіант 0.

Число x = -1 - корінь чисельника і знаменника. Щоб усунути невизначеність необхідно чисельник і знаменник розкласти на множники. Для квадратного тричлена відомо, що

Многочлен ділиться на різницю

Тому маємо

Визначити старші члени в чисельнику та знаменнику. Відп.:

Маємо невизначеність

Перетворивши за допомогою тотожності Далі необхідно користати- ся еквівалентними Відп.:

До задачі 2

Розв’язання. Функція не існує в точці x ₀ = - 1. Легко з’ясувати, що (x - 2)/(x + 1) — додатня н. в. при а при — від’ємна н. в. Тому

Оскільки f (x) неперервна (при x < -1 і при x > -1) і ,то Ескіз графіка див. на рис.

До задачі 3.

Варіант 0.

Розв’язання. Похідною алгебраїчної суми функцій є алгебраїчна сума похідних, тобто:

Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій та формули знаходимо:

Після скорочення і розкриття дужок остаточно отримуємо:

2.

Розв’язання. За правилом диференціювання маємо:

3.

Розв’язання. Для знаходження похідної скористуємось правилом логарифмічного диференціювання.

Спочатку прологарифмуємо функцію за натуральним логарифмом:

Тому що ln y - складна функція, то

До задачі 4.

Варіант 0:

Розв’язання. Використовуючи формулу диференціала функції:

За формулою диференціала

Тоді

До задачі 5.

Варіант 0: Обчислити наближено.

Розв’язання. Покладемо

Тоді за формулою

запишемо

До задачі 6.

Варіант 0: Знайти

.

Розв’язання. Спочатку знаходимо першу похідну

а тоді другу похідну

До задачі 7.

Варіант 0: Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, яка відповідає значенню параметра .

Розв’язання. Рівняння дотичної має вигляд:

Похідну функції, заданої параметрично знаходимо за формулою

Тепер рівняння дотичної матиме вигляд:

До задачі 8.

Варіант 0. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично.

Розв’язання. За правилом диференціювання функції, заданої параметрично маємо:

До задачі 9.

Варіант 0. 1. Дослідити функцію і побудовати графік

Розв’язання. Знайдемо проміжки зростання та спадання функції.

Дана функція має похідну

.

Тепер знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю,

Ці точки розбивають числову вісь на три інтервали

.

Досліджуємо знак похідної на кожному з інтервалів:

Таким чином, на інтервалах функція зростає, а на інтервалі (-1,-2) функція спадає. Це означає, що точка - точка мінімума, ; - точка максимума, . Зау Знаходимо важимо, що

.

Знаходимо

Точка є точкою перегину.

y

2,5 -2 -1 0 х

Побудуємо схематично графік функції.

2. Побудувати графік функції

Розв’язання.

1. Функція визначена та неперервна в інтервалах

Функція невизначена в точці х = 1.

Знайдемо границі:

Точки перетину графіка з віссю Х:

2. Знайдемо асимптоти графіка функції:

а) х=1 - вертикальна асимптота

б)

Горизонтальних асимптот немає.

в)

3. Перевіримо функцію на парність:

Умови не виконуються.

Функція є ні парною, ні непарною.

4. Знайдемо першу похідну.

Знаходимо точки, в яких похідна дорівнює нулю,

. Ці точки розбивають вісь Х на інтервали . Дослідимо знак похідної на кажному з них:

Таким чином, на інтервалах функція зростає, а на інтервалі (0,2) функція спадає; точка - точка мінімума, ; - точка максимума, .

5. Знайдемо другу похідну

Похідна

Таким чином графік функції опуклий для при і угнутий для .

Будуємо на площині X0Y отримані характерні точки: точки перетину з осями , вертикальну асимптоту х=0, похилу асимптоту , точки екстремума . Будуємо графік функції.

Y

9

-1,5

-1 0 1 2 X

До задачі 10

Варіант 0.

Знайти найбільше і найменше значення функції

на проміжку [2,6].

Розв’язання.

1. Знайдемо похідну функції і прирівняємо її до нуля, отримаємо абсциси стаціонарних точок

Значення х=1 не входить в даний проміжок, а значення функції в

точці х=3 буде

2. Знаходимо значення функції на кінцях проміжка:

.

3. Серед отриманих значень функції

Найменшим буде а найбільшим

До задачі 11

Варіант 0.

З бляшаного круга радіуса R вирізають сектор з центральним кутом і з нього скручують конічну лійку. При якому значені кута об’єм лійки буде найбільшим? Знайти його.

Розв’язання.

B

R R

- сектор

h 0

r - конічна лінійка A

Довжина кола основи співпадає з довжиною тобто

Об’єм конуса .

Знайдемо

Тоді

Знаходимо похідну по

Розв’язуємо рівняння

Крім того, похідна V’ визначена для , де

Значення не підходить, бо вибираємо значення

+ -

0 (V’)

В точці маємо максимум

Дата добавления: 2015-11-04