Для стального стержня ступенчато-переменного сечения, защемленного одним концом и нагруженного сосредоточенными силами, требуется:

Оглавление

Задача 1. 2

Задача 2. 6

Задача 3. 11

Задача 4. 16

Задача 5. 19

Задача 6. 23

Задача 7. 29

Литература. 34

Задача 1

Для стального стержня ступенчато-переменного сечения, защемленного одним концом и нагруженного сосредоточенными силами, требуется:

1. Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений и проверить прочность (если условие прочности не выполняется, то подобрать необходимую площадь поперечного сечения;

2. Построить эпюру перемещений ;

3. Определить предельную температуру равномерного нагрева при пожаре, при которой стержень теряет несущую способность.

Дано: Р₁ = 120 кН, Р₂=180 кН, Р₃ = 140 кН; L₁ = 0,3 м, L₂ = 0,2 м, L₃ = 0,2 м, L₄ = 0,3 м, А₁ = 0,0014 м², А₂= 0,0016 м², А₃ = 0,0018 м².

Решение:

Последовательно рассекаем стержень плоскостями 1, 2, 3, 4 и, отбрасывая нижнюю часть, определяем нормальные силы N₁, N₂, N₃ и N₄ в этих сечениях (в сечении 2 нормальное напряжения поменяет своё значение ввиду изменения площади поперечного сечения, а нормальная сила останется без изменения).

Внешнюю продольную силу считаем положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению.

Сечение 1 кН;

Сечение 2 кН;

Сечение 3 кН;

Сечение 4 кН;

Покажем направление нормальных сил:

Построим эпюру изменения нормальных сил;

Рассчитаем нормальные напряжения по выбранным сечениям

Па=66,7 МПа

Па=75 МПа

Па=-37,5 МПа

Па=57,1 МПа

Построим эпюру изменения нормальных напряжений

Проверка прочности стержня.

Условие прочности: , где - расчетное сопротивление. Значение максимального напряжения возьмем из эпюры. МПа. Поскольку материал стержня не задан, возьмем сталь Ст3сп5 для которой МПа и модуль упругости при растяжении-сжатии Е = 2 × 10⁵ МПа. Условие выполняется.

Построение эпюры перемещений.

Рассчитаем абсолютное удлинение бруса на каждом участке:

;

м;

м;

м;

м;

Рассчитаем величину перемещения каждой границы соседних участков и определим общую деформацию стержня:

;

м;

м;

м;

м;

8) построим эпюру удлинений участков;

Определение предельной температуры равномерного нагрева стержня при пожаре. Стержень теряет несущую способность тогда, когда при увеличении температуры предел текучести снизится настолько, что станет равным МПа. По графику приложения определяем предельную температуру нагрева - .

Задача 2.

Для стального вала круглого поперечного сечения, нагруженного скручивающими моментами и вращающегося с постоянной угловой скоростью, требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов М_к и из условия прочности подобрать диаметр, округлив до ближайшего значения из стандартного ряда размеров;

2. Построить эпюру углов закручивания ;

3. В поперечном сечении с максимальным крутящим моментом построить эпюру напряжений; в точке, расположенной в этом сечении на поверхности вала, вычислить главные напряжения;

4. Определить предельную температуру равномерного нагрева при пожаре, при котором вал теряет несущую способность.

Дано: кН м, м, м, м.

Решение:

Разобьем вал на три характерных участка (I,II,III)

Определим величины и направления внутренних крутящих моментов. Для этого рассекаем последовательно вал в пределах каждого расчетного участка и уравновешиваем заданные моменты моментом внутренних сил, действующим в плоскости поперечного сечения. При этом крутящий момент считаем положительным, если, глядя на сечение, мы видим М_к направленным по часовой стрелке.

На первом расчетном участке: кН м

На втором расчетном участке кН м;

На третьем расчетном участке кН м;

По полученным результатам построим эпюру крутящих моментов.

Определим диаметр вала из условия расчета на прочность

, здесь

М_max – максимальный крутящий момент. В нашем случае он действует на третьем расчетном участке кН/м;

n – коэффициент запаса прочности ;

W_p – полярный момент сопротивления сечения.

Для круглого сечения

[τ] – допускаемое касательное напряжение МПа.

Исходная формула имеет вид , отсюда выразим диаметр d

м

Округляя до большего стандартного размера, выберем мм.

Построим эпюру углов закручивания участков вала. Расчет величин углов выполняем по формуле: , здесь

M_i – крутящий момент в рассматриваемом сечении;

L_i – длина расчетного участка вала;

G – модуль упругости при сдвиге. МПа

I_p – полярный момент инерции сечения. Для круглого сечения

После подстановки исходная формула выглядит так: ; постоянный множитель вычислим один раз

Примем поворот левого сечения равным нулю.

Углы φ будем считать положительными, если при взгляде слева направо вдоль оси вала внешний момент поворачивает сечение по часовой стрелке. Примем поворот крайнего правого сечения равным нулю, то есть φ_о = 0.

I участок

рад;

II участок

рад;

III участок

рад.

Определим ординаты эпюры углов закручивания сечений вала, проходящих через точки O,E,D,B

рад;

рад;

рад;

По полученным результатам построим эпюру углов поворота φ, поперечных сечений вала.

Построение эпюры напряжений и определение главных напряжений для точки, лежащей на поверхности сечения с максимальным крутящим моментом.

Максимальный момент действует на первом расчетном участке кН/м;

Для определения наибольшего касательного напряжения воспользуемся формулой:

, здесь

W_p – полярный момент сопротивления сечения.

Для круглого сечения

Па=130 МПа.

В точках бруса, работающего только на кручение, возникает плоское напряженное состояние – чистый сдвиг. Главные напряжения имеют следующие значения:

МПа.

Определение предельной температуры равномерного нагрева вала при пожаре.

При пожаре вследствие нагрева снижается предел текучести стали при сдвиге.

Условием определения предела текучести является зависимость:

, здесь

– пластический полярный момент сопротивления при кручении.

Для круглого сечения

Па=97,4 МПа.

По графику приложения определяем предельную температуру нагрева:

Задача 3

Для стальной балки постоянного поперечного сечения, нагруженной внешней нагрузкой, требуется:

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать сечение в форме двутавра;

3. Определить предельную температуру равномерного нагрева при пожаре, при котором вал теряет несущую способность.

Дано: P = 55 кН; q = 25 кН/м; М = 90 кН×м; L=4,8 м.

Решение:

1) опоры А и В являются связями для нашей балки, поэтому освобождаемся от этих связей и заменяем их реакциями R_А и R_В, соответственно; Распределенную нагрузку заменяем сосредоточенной силой, приложенной в середине участка.

2) составим уравнения равновесия и найдем из них неизвестные силы:

(1)

(2)

(3)

3) решим систему уравнений и найдем неизвестные величины:

из (1)

кН

из (2)

кН

4) сделаем проверку. Для этого спроектируем все силы на ось OY

0 = 0, следовательно реакции связей рассчитаны верно;

5) разобьем брус на три характерных участка (I, II, III)

6) применяя метод сечений, рассчитаем значения поперечных сил Q_Y и изгибающих моментов M_Z на каждом участке:

Участок I

Участок II

На этом участке стержня поперечная сила Q_{Y II}, убывая, проходит через нулевое значение. Определим расстояние х, м от левого края стержня в котором Q_{Y II} = 0, для этого приравняем уравнение поперечных сил на этом участке к нулю и выразим из него значение х:

, отсюда

, м

Подставив х = 4,25 м в уравнение моментов, рассчитаем максимальное значение изгибающего момента M_{Z IV} на этом участке:

Участок III

7) проверим правильность построения эпюр, используя следствия из дифференциальных зависимостей между q, Q_Y и M_Z.

Видно, что построенные эпюры не содержат принципиальных ошибок:

- На участке I поперечная сила Q_Y = const и Q_Y < 0, соответственно эпюра изгибающих моментов M_Z линейно убывает;

- в точке приложения сосредоточенной силы Р эпюра Q_Y изменяется скачкообразно на значение P = 55 кН, а на эпюре M_Z происходит резкое изменение направления;

- в точке приложения пары сил с моментом М = 90 кНм на эпюре M_Z произошел скачок, равный значению момента пары;

- на участках II и III, где приложена равномерно-распределенная нагрузка q, поперечная сила Q_Y изменяется по линейному закону, а изгибающий момент M_Z – по квадратичному закону и выпуклость дуги параболы обращена в сторону, противоположную направлению действия нагрузки;

8) из сравнения всех ординат эпюры моментов видно, что максимальный изгибающий момент M_Zmax = -72.8 кНм;

9) используя максимальный изгибающий момент M_Zmax и допускаемое нормальное напряжение [s], рассчитаем момент сопротивления площади поперечного сечения

м³ см³

10) по таблице подберем ближайший профиль двутавра с моментом сопротивления не меньшим, чем . Это – двутавр № 24а. Для него см³

11) найдем наибольшее нормальное напряжение в изогнутой балке:

Определение предельной температуры равномерного нагрева балки при пожаре.

Потеря несущей способности при изгибе с повышением температуры происходит вследствие образования в опасном сечении балки пластического шарнира.

,

здесь

– пластический момент сопротивления балки при изгибе. - статический момент полусечения относительно нейтральной оси; для двутавра № 24а см³.

Па =208 МПа.

По графику приложения определяем предельную температуру нагрева:

Задача 4

Для короткого стального стержня двутаврового сечения, сжимаемого (растягиваемого) продольной силой F, приложенной внецентренно, требуется:

1. Найти положение нейтральной линии;

2. Из условия прочности по нормальным напряжениям найти максимально допустимую величину силы F;

3. Построить эпюру нормальных напряжений в поперечном сечении стержня.

Дано: Двутавр № 14, сила сжимает стержень, , .

Решение:

Из сортамента прокатной стали выписываем для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-72: h=140 мм; b=64 мм; A=17,4 см²; I_x=572 см⁴; I_y=41,9 см⁴.

Определяем положение нейтральной линии.

Определяем координаты точки приложения силы F.

мм;

мм;

Отрезки, отсекаемые нейтральной линией n-n на осях координат, определяем по формулам:

м=8 мм;

м=- 48 мм;

Опасными будут точка 1 (-32;70) в сжатой зоне и 2(32;-70) - в растянутой.

Определение максимально допустимой силы.

Так как материал стержня пластичный ( МПа), условие прочности примет вид:

.

Наиболее удаленной от нейтральной линии является точка 1. Условие прочности для неё:

=

=66,4 кН.

Построение эпюры .

Нормальные напряжения в максимально удаленных от нейтральной линии точках сечений определим по формуле:

Па=238,2 МПа.

Па=-163,6 МПа.

По полученным данным строим эпюру .

Задача 5

На стальной вал ременной передачи постоянного кругового сечения, вращающийся с частотой n, посажены три шкива. Шкив с диаметром и углом наклона ветвей к горизонту передает мощность P поровну двум шкивам диаметрами и углами наклона ветвей ремня к горизонту .

Требуется:

1. По заданным P и n определить моменты, приложенные к шкивам;

2. Построить эпюру крутящих моментов ;

3. По найденным моментам и заданным диаметрам шкивов и определить окружные усилия и , действующие на шкивы;

4. Определить давления на вал, принимая их равными трем окружным усилиям ; ;

5. Определить вертикальные и горизонтальные составляющие сил и , построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил - и от вертикальных сил - ;

6. Построить эпюру суммарных изгибающих моментов ;

7. Определить из расчета на прочность диаметр вала.

Дано: кВт, об/мин, м, м, м, м, м, , . Сталь 40Х; МПа.

Решение:

Определение крутящих моментов.

Крутящие моменты, приложенные к шкивам:

Н м;

Н м;

По полученным значениям, используя метод сечений, строим эпюру крутящих моментов.

Определение окружных усилий.

Определим усилия и , действующие на шкивы. Направим ось Y поперечного сечения вертикально, а X – горизонтально.

Тогда:

Н.

Аналогично:

Н.

Определение составляющих нагрузки, действующих со стороны шкивов на вал.

Н.

Н.

Н.

Н.

Н.

Н.

Определяем опорные реакции.

Н.

Н.

Н.

Н.

Строим эпюры изгибающих моментов от горизонтальных и вертикальных сил отдельно методом сечений..

Построив эпюры от горизонтальных и вертикальных сил, далее строим эпюру суммарного изгибающего момента, вычисляя его в характерных сечениях по формуле: .

Определим значение эквивалентного момента по критерию Сент-Венана.

Н м;

Из условия прочности при расчете вала на изгиб с закручиванием:

м

Принимаем d=75 мм.

Задача 6

Для статически определимой плоской стальной фермы требуется:

1. Произвести кинематический анализ;

2. Определить усилия во всех стержнях;

3. Из условия прочности и устойчивости подобрать поперечные сечения всех стержней в виде двух уголков;

4. Проверить условие устойчивости для стержня, испытывающего наибольшее сжимающее усилие и, в случае его выполнения, определить предельную температуру равномерного нагрева этого стержня в условиях пожара.

Дано: м, кН.

Решение:

Проведем кинематический анализ.

Проверка необходимого условия геометрической неизменяемости:

N=2У-С-С_оп

Число узлов – У=5;

Число стержней, соединяющих узлы – С=7;

Число опорных связей С_оп=3;

N=2 5-7-3 . Условие выполняется.

Проверка соблюдения правил образования геометрически неизменяемых систем.

Ферма образована креплением семи стержней, не лежащих на одной прямой. К опорным поверхностям ферма крепиться тремя опорными связями, оси которых не параллельны и не пересекаются в одной точке. Значит, ферма геометрически неизменяема и статически определима.

Расчет усилий в стержнях фермы.

Составим уравнения равновесия.

Получаем:

=550 кН

кН;

кН.

Усилия в стержнях определяем способом вырезания узлов.

Вырежем узел C.

кН.

кН

Вырежем узел B.

кН

кН

Вырежем узел D.

кН

кН

Вырежем узел Е.

кН

Для проверки вырежем узел D:

Так как условия равновесия выполняются, то усилия в стержнях фермы определены верно. Помести найденные значения в таблицу.

№
N, кН	-275	-275		-550	-389

Отрицательное значение указывает на то, что стержень сжат.

Проведем подбор сечения.

Условие прочности имеет вид:

м².

Выбираем по сортаменту уголок 100х100х15 общей площадью

см².

м².

Выбираем по сортаменту уголок 60х60х6 общей площадью

см².

Проверка сжатых стержней на устойчивость.

По сортаменту радиусы инерции выбранных уголков:

см

см

Коэффициент приведения длины для шарнирного закрепления концов ;

Гибкости стержней:

По таблице методом линейной интерполяции находим:

Сниженные расчетные сопротивления:

МПа.

МПа.

Фактические напряжения в стержнях:

МПа.

МПа.

Условия устойчивости выполняются

При нагреве изменяются механические свойства материала, что может привести к потере устойчивости даже при неизменной сжимающей силе.

Условие потери устойчивости при упругих деформациях:

определяется из условия .

определяется из формулы Эйлера для критических напряжений потери устойчивости.

ГПА

По графику находим

Окончательно принимаем

Задача 7

Для плоской статически определимой стальной рамы требуется:

1. Провести кинематический анализ и определить опорные реакции;

2. Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов, проверить их правильность и из условия прочности подобрать поперечные сечения элементов рамы в виде двух швеллеров.

3. Определить горизонтальное перемещение сечения К при повышении температуры внутренней поверхности на и проверить условие жесткости.

Дано: м, кН, кН/м, кН м, м, .

Решение:

Кинематический анализ и определение опорных реакций.

Необходимое условие:

n=3Д-2Ш-С_оп=3 2-2 1-4=0 выполняется. Достаточное условие: три диска АС, СВ и диск «земля» соединены тремя шарнирами по правилу треугольника. Значит, система статически определима и геометрически неизменяема.

Вертикальные составляющие опорных реакций определим из условия равновесия:

кН

кН

Проверка:

Для определения горизонтальных составляющих применим метод расчленения по шарниру С.

Уравнение равновесия левой части рамы:

кН

Уравнение равновесия правой части рамы:

кН.

Проверка:

Построение эпюр M, N и Q.

Эпюры строим по характерным участкам рамы, вычисляя внутренние усилия M, N и Q в крайних сечениях каждого участка.

Участок AD.

, кН, кН.

кН м, кН, кН.

Участок BK.

, кН, кН.

кН м,

кН, кН.

Участок DC.

кН м,

кН,

кН.

кН м,

кН,

кН.

Участок КC.

кН м,

кН,

кН.

,

кН,

По полученным данным строим эпюры M, N и Q.

Проведем статическую проверку узлов D и K.

Условия равновесия узлов D и K выполняются.

Расчет на прочность.

Из условия прочности по нормальным напряжениям изгиба

м³

С учетом вида сечения момент сопротивления одного швеллера:

см³

Из сортамента прокатной стали принимаем швеллер № 24.

см³, см².

Проверим условие прочности с учетом продольной силы в опасном сечении N=55.5 кН

Па Па.

Литература

1. Прикладная механика: Учеб.пособие/А.Т. Скойбеда, А.А. Миклашевич, Е.Н. Левковский и др.; Под общ. ред. А.Т. Скойбеды. – Мн.: Выш.шк., 1997.- 552 с.

2. Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов. - М.: Высшая школа, 1988.

3. Беляев Н.М. Учебник по сопротивлению материалов. - М.: Высшая школа, 1988

4. Долинский М.Н. Краткий курс сопротивления материалов; М: Высшая школа, 1988 г.

5. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 1975.

6. Дарков А.В. и др. Строительная механика. - М.: Высшая школа, 1976.

7. Курмаз Л.В., Скойбеда А.Т. Проектирование. Детали машин. Мн.: Вышэйшая школа, 2001.

8. Анурьев В.И. Справочник конструктора машиностроителя, т. 1-3 М.: Машиностроение, 1982.

Дата добавления: 2015-11-04