Преобразования в пространстве.

Преобразования в пространстве.

Перемещения.

В планиметрии - преобразование, сохраняющее расстояния называется движение.

Перемещение – отображение, сохраняющее расстояние. Отображение множества М в множество N состоит в том, что каждому элементу из М сопоставляется единственный элемент из N. В планиметрии рассматриваются перемещения плоскости. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то отображение называют взаимно однозначным. Если отображение ¦ имеет обратное ¦^-1, то оно называется обратимым.

1. Параллельный перенос.

Параллельным переносом называется отображение фигуры, при котором все её точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния. Можно сказать, что перенос задаётся вектором.

Например: дана правильная призма ABCDA₁B₁C₁D₁.

→

Перенос задан вектором ½AM, где M – середина AB.

Образом исходной призмы будет призма

A¹B¹C¹D¹A¹₁B¹₁C¹₁D¹₁.

Объединением исходной и полученной призм будет призма AB₁C₁DA₁B₁¹C₁¹D₁.

2. Центральная симметрия.

Центральная симметрия задаётся указанием одной пары соответствующих точек: если А отображается на А₁, то середина отрезка АА₁ – это центр симметрии.

Центральной симметрией фигуры с центром О называется отображение фигуры сопоставляющее каждой её точке точку, симметричную относительно О.

Например: дан правильный тетраэдр. Его образ, полученный центральной симметрией относительно середины высоты – тетраэдр A₁B₁C₁S₁.

3. Зеркальная симметрия.

Зеркальной симметрией фигуры называется отображение фигуры, сопоставляющее каждой её точке точку, симметричную относительно данной плоскости. Точки А и А¹ называются симметричными относительно плоскости a, если отрезок А А¹ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам.

Например: дан правильный тетраэдр АВСS. Его образ, полученный зеркальной симметрией относительно плоскости боковой грани SBC – тетраэдр SBCS₁.

4. Поворот вокруг прямой.

Поворот задается осью, углом и направлением поворота.

Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол j называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вкруг точки её пересечения с прямой a на один и тот же угол j в одном и том же направлении. Прямая a называется осью поворота, а угол j - углом поворота.

Например: выполнив поворот куба ABCDА₁В₁С₁D₁ вокруг прямой, проходящей через центры верхнего и нижнего оснований ОО₁ на 45⁰ против часовой стрелки получим куб

A¹B¹C¹D¹А¹₁В¹₁С¹₁D¹₁.

5. Композиции отражений в плоскости.

Композицией называется операция последовательного отображения и результирующее отображение. Пуст заданы два отображения: отображение ¦ множества М в множество N и отображение g множества N в множество P. Если при отображении ¦ точка ХÎМ перешла в точку Х’ = ¦(X) ÎN, а затем Х’ при отображении g перешла в точку X” ÎP, то в результате Х перешла в Х”. Это записывается так: X’’ = g _° ¦ (X).

Перемещения можно разделить на две группы: перемещения первого рода, сохраняющие ориентацию базисов. Перемещения первого рода могут быть реализованы непрерывными движениями. Перемещения второго рода изменяют ориентацию базисов на противоположную. Перемещения второго рода не могут быть реализованы непрерывными движениями. Из рассмотренных перемещений перенос и поворот вокруг прямой являются перемещениями первого рода, а центральная симметрия и отражение в плоскости – перемещения второго рода. К перемещениям первого рода можно отнести винтовые перемещения - композиция поворота и переноса на вектор, параллельный оси поворота. Поворот и перенос можно считать частными случаями винтового перемещения: винт с нулевым переносом – это поворот, а винт с нулевым поворотом – это перенос.

Например: PABC – правильный тетраэдр. P₁A₁B₁C₁ – тетраэдр, полученный винтовым перемещением

→

на угол 60⁰ и вектор ½ QP c осью поворота PQ, где Q – центр основания.

6. Теорема Шаля.

Перемещение плоскости первого рода является либо поворотом, либо параллельным переносом.

Перемещение плоскости второго рода является скользящим отражением, т.е. композицией отражения в прямой и параллельного переноса в направлении этой прямой.

Любое перемещение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной или зеркальной симметрией. Назовем зеркальным поворотом вокруг оси a на угол j композицию поворота вокруг оси a на угол j и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота. Отражение в прямой – это поворот вокруг прямой на 180⁰.

Например: PABC – правильный тетраэдр.

Рассмотрим зеркальный поворот с осью поворота, углом поворота 60⁰ и плоскостью отражения, перпендикулярной прямой PQ и проходящей через середину высоты PQ.

Перемещение разбивается на два: поворот и зеркальное отражение.

Задачи

1. Докажите, что если есть два равных шара, то один из них можно получить переносом другого. Верно ли это для равных цилиндров? Верно ли это для равных конусов?

2. Дана наклонная треугольная призма АВСА₁В₁С₁. Проводится перпендикулярное сечение этой призмы KLM. Многогранник АВСKLM подвергается переносу,

→

задаваемому вектором АА₁. Какой фигурой является объединение его образа и многогранника KLМA₁В₁C₁?

3. Дана правильная шестиугольная пирамида. Нарисуйте пирамиду, которая получается из данной центральной симметрией относительно середины одного из боковых ребер.

4. Нарисуйте многогранник, имеющий центр симметрии и:

а) одну плоскость симметрии;

в) две плоскости симметрии;

с) три плоскости симметрии

5. Пусть АВСDA₁B₁C₁D₁ – куб. Выполнить перемещения:

а) винт с осью поворота, проходящей через центры О и О₁ граней АВСD и A₁B₁C₁D₁,

→

и вектором АА₁ на угол 45⁰; →

в) винт с осью поворота АВ, углом поворота 90⁰, вектором АВ.

Дата добавления: 2015-11-04