3. Евклидово пространство

3. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

3.1. Определение евклидова пространства.

Говорят, что в п -мерном вещественном линейном пространстве определено скалярное умножение, если любой паре векторов и этого пространства поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое и называемое скалярным произведением векторов и . При этом и любого вещественного числа должны выполняться условия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) если , то , если , то .

Из свойств 2) и 3) следует формула для скалярного произведения линейных комбинаций двух систем векторов: если , , то

. (3.1)

Например, если , , то по формуле (3.1):

.

Определение. Произвольное п -мерное линейное пространство называется п -мерное евклидовым пространством, если в нем определено скалярное произведение.

При любом значении п в п -мерном линейном пространстве можно определить скалярное умножение, т. е. можно превратить это пространство в евклидово.

Выберем в базис , ,…, . Если , , то скалярное произведение определим следующим образом:

. (3.2)

Проверим выполнение условий 1) – 4):

1) ;

2) ;

3) ;

4) , если , т. е. .

Таким образом, равенство (3.2) определяет скалярное умножение.

Определение. Пусть в произвольном п -мерном линейном пространстве задано произвольным способом скалярное умножение, дано произвольное евклидово пространство . Векторы и из пространства называются ортогональными, если .

Из определения ортогональности векторов следует, что нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Определение. Система векторов называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны между собой.

Теорема. Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть система ненулевых векторов , , …, принадлежит произвольному евклидовому пространству , причем (). Тогда существуют вещественные числа , не равные одновременно нулю, такие что . Умножим обе части этого равенства скалярно на : . Так как , то и поэтому . С учетом того, что - произвольный вектор из системы , , …, , приходим к равенству , следовательно, система векторов линейно независима. Теорема доказана.

3.2. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Процесс ортогонализации - способ перехода от любой линейно независимой системы из векторов , , …, произвольного евклидового пространства к ортогональной системе, также состоящей из ненулевых векторов. Эти векторы обозначим , , …, .

1. Пусть , т. е. первый вектор войдет в ортогональную систему.

2. . Найдем из условия ортогональности векторов и : . Так как , векторы и линейно независимы, то при любом значении и , следовательно, .

3. Пусть уже построена система ненулевых векторов , , …, . Дополнительно предположим, что , , . Представим вектор в виде: . В этом случае вектор может быть также представлен и в виде линейной комбинации векторов , , …, . Так как система векторов , , …, линейно независима, вектор не входит в векторы , , …, , то . Коэффициенты , , …, подберем таким образом, чтобы вектор был ортогонален векторам , , …, , т. е. , , выполняется равенство . Так как векторы , , …, ортогональны между собой, то , т. е. , . Продолжая этот процесс, построим искомую ортогональную систему.

Таким образом, применяя процесс ортогонализации к произвольному базису в евклидовом пространстве можно построить систему из п ненулевых векторов, которая будет линейно независима, т. е. будет ортогональным базисом.

П р и м е р. Показать, что в векторы , , образуют базис. С их помощью построить ортогональный базис.

Решение. Найдем ранг матрицы , столбцами которой являются координаты векторов , , : ~ ~ ранг матрицы равен 3, следовательно, ее столбцы и линейно независимы, т. е. , , линейно независимы и образуют базис. Построим ортогональный базис: , поэтому . Вектор ищем в виде: , где . Так как , то . Для вектора найдем значения коэффициентов и : , . Тогда . Векторы , , линейно независимы и ортогональны, т. е. они образуют ортогональный базис.

3.3. Неравенство Коши-Буняковского.

Теорема. Для любых векторов , произвольного евклидового пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского:

. (3.3)

Доказательство. А. Если один из векторов , является нулевым, то обе части в (3.3) равны нулю и утверждение справедливо. Б. Пусть , . Тогда , R выполняется неравенство . Преобразуем левую часть последнего неравенства: .

Получили квадратный трехчлен относительно вещественного параметра . Этот трехчлен неотрицательный для любого , следовательно дискриминант уравнения меньше нуля, т. е. , т. е. . Объединяя оба рассмотрен случая, придем к доказываемому неравенству. Теорема доказана.

В случае линейного арифметического п -мерного пространства неравенство Коши-Буняковского преобразуется в неравенство Коши, которое имеет вид:

.

3.4. Нормированные пространства.

Норма является обобщением длины свободного вектора. Длину вектора в линейном пространстве или можно рассматривать как функцию, определенную на множестве или , которая каждому вектору рассматриваемого линейного пространства ставит в соответствие его длину.

Норму вектора в линейном пространстве иногда называют длиной.

Определение. Заданная на линейном пространстве функция, которая каждому вектору из ставит в соответствие действительное число , называется нормой, если она удовлетворяет аксиомам нормы:

a) , причем , если ;

b) , , R;

c) - неравенство треугольника.

Определение. Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным пространством.

Евклидовы и нормированные пространства являются линейными пространствами с дополнительными структурами: скалярным умножением и нормой соответственно.

Теорема. Всякое скалярное умножение в евклидовом пространстве определяет норму согласно формуле:

. (3.4)

Доказательство. Так как , то функция определена для любого вектора евклидова пространства . Проверим выполнение аксиом нормы:

a) , так как причем , если ;

b) ;

c) из неравенства Коши-Буняковского следует, что или . Тогда . Таким образом, . Теорема доказана.

Введение нормы по формуле (3.4) опирается только на общие свойства скалярного произведения, поэтому норму, определяемую равенством (3.4) называют евклидовой или сферической.

3.5. Ортогональное дополнение.

Любое линейное подпространство Н в линейном пространстве L имеет прямое дополнение такое, что . Такое линейное подпространство не является единственным. Однако евклидово пространство представляет собой особый случай.

Определение. Ортогональным дополнением линейного подпространства Н в евклидовом пространстве Е называется множество всех векторов евклидова пространства, ортогональных каждому из векторов линейного подпространства Н, т. е.

.

Теорема. Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом пространстве является линейным подпространством в , причем и .

Доказательство. Рассмотрим произвольные векторы и произвольный вектор линейного подпространства . Имеем: , , т. е. и . Следовательно, является линейным подпространством в евклидовом пространстве . Пусть . Этот вектор ортогонален самому себе, так как, с одной стороны, , а с другой, - , т. е. вектор ортогонален любому вектору из . Таким образом, . По свойству скалярного произведения только в том случае, если . Получили, что . Это означает, что .

Пусть - ортонормированный базис в линейном подпространстве . Учитывая, что , дополним базис до базиса во всем евклидовом пространстве векторами . Используя процесс ортогонализации Грама-Шмидта, построим ортонормированный базис во всем евклидовом пространстве. Так как первые т векторов попарно ортогональны и имеют единичную длину, то в процессе ортогонализации их оставим без изменения. Векторы ортогональны каждому из векторов базиса линейного подпространства , поэтому они ортогональны всему подпространству , так как его оболочкой являются векторы . Следовательно, все векторы принадлежат . Рассмотрим произвольный вектор из евклидового пространства и разложим его по базису : , где , , т. е. , следовательно, . Теорема доказана.

Следствие. Каково бы ни было линейное подпространство в евклидовом пространстве , любой вектор евклидового пространства можно представить в виде , где , .

Это утверждение и означает, что .

Определение. Разложение вектора на две составляющие и называется суммой ортогональных прое кций вектора на линейные подпространства и . Вектор называется ортогональной составляющей вектора относительно линейного подпространства .

3.6. Построение ортогонального дополнения.

Пусть линейное подпространство определено как линейная оболочка некоторой системы векторов .

По определению ортогонального дополнения произвольный вектор должен быть ортогонален любому вектору , , т. е. .

Верно и обратное. Нетрудно показать, что если , то вектор ортогонален любой линейной комбинации векторов , ,…, . Поэтому вектор , ортогональный любому вектору из линейного подпространства , принадлежит линейному подпространству . Таким образом, система уравнений , описывает ортогональное дополнение линейного подпространства . Запишем эту систему по координатам в некотором ортонормированном базисе евклидового пространства . Пусть (). Координаты произвольного вектора в этом базисе обозначим , т. е. . Поэтому в ортонормированном базисе имеем: , а для всей системы векторов получим алгебраическую систему т линейных однородных уравнений с п неизвестными:

Строки матрицы этой системы совпадают с наборами координат векторов , ,…, . Поэтому матрица имеет ранг, совпадающий с размерностью линейного подпространства . Множество решений этой системы линейных алгебраических уравнений описывается при помощи фундаментальной системы решений.

П р и м е р. Пусть линейное подпространство представляет собой линейную оболочку системы векторов , , , , заданных координатами в некотором фиксированном ортонормированном базисе пространства . Найти базис ортогонального дополнения .

Решение. Пусть вектор в этом же ортонормированном базисе имеет координаты . Составим система линейных однородных уравнений относительно координат вектора :

Фундаментальная система решений состоит из векторов ( - число переменных, - ранг матрицы ). Строками матрицы являются координаты векторов , , и , поэтому . Найдем ранг этой матрицы, используя элементарные преобразования: ~ ~ ~ , т. е. . Фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов, например, и . Эти векторы принадлежат , но не являются ортонормированными. Применяя процесс ортогонализации, перейдем от базиса к ортогональному базису : , . Учитывая, что , получим . Базис ортогонален, но не является ортонормированным. Ортонормированным будет базис, состоящий из векторов , , т. е. , .

Дата добавления: 2015-11-04