Тема: Критерий Стьюдента проверки гипотез сравнения средних для нормальной статистической модели в случае равных (неравных) дисперсий. Критерий (Хи-квадрат) для нормальной статистической модели.

Лекция №9 - 10.

Тема: Критерий Стьюдента проверки гипотез сравнения средних для нормальной статистической модели в случае равных (неравных) дисперсий. Критерий (Хи-квадрат) для нормальной статистической модели.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Например, по выборкам малого объема нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий. По этой причине метод сравнения средних, изложенный ранее, неприменим. Однако если дополнительно предположить, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой, то можно построить критерий (Стьюдента) сравнения средних. Например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке, то естественно допустить, что дисперсии контролируемых размеров одинаковы. Возможен и случай, когда нет оснований считать дисперсии одинаковыми. Тогда перед тем как сравнивать средние, нужно, пользуясь критерием Фишера-Снедекора, проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Основная задача выглядит следующим образом. В предположении, что генеральные дисперсии одинаковы. требуются проверить нулевую гипотезу . Т.е. требуется выяснить, значимо или незначимо различаются выборочные средние и , найденные по независимым малым выборкам объемов n и m .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы рассмотрим случайную величину

.

Величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет t – распределение Стьюдента с степеням свободы.

Как и ранее, в зависимости от вида конкурирующей гипотезы будем строить критическую область.

В первом из рассматриваемых случаев при гипотезе H_o: MX = MY конкурирующей будет гипотеза .

В этом случае строят двустороннюю критическую область. При этом, исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия Т в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости . Наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда «левая» и «правая» критические точки выбраны так, что

, .

Поскольку случайная величина Т имеет распределение Стьюдента (симметричное относительно нуля), то и критические точки симметричны относительно нуля. Т.о., если обозначить правую границу двусторонней критической области через , то левая граница равна . Cледовательно, достаточно найти правую границу двусторонней критической области, чтобы найти саму двустороннюю критическую область: , При этом область принятия нулевой гипотезы определяется симметричным относительно нуля отрезком[- t_{двуст.кр} (α; k), t_{двуст.кр} (α; k)].

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (случай независимых малых выборок) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

Затем по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложения 6) при заданном уровне значимости α и числу степеней свободы найти критическую точку . Если окажется, что , то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

Пример 5. По двум независимым малым выборкам с объемами , , которые извлечены из нормальных генеральных совокупностей X, Y, найдены выборочные средние , и исправленные выборочные дисперсии , . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе

Решение. Т.к. выборочные дисперсии различны, проверим предварительно нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, пользуясь критерием F Фишера-Снедекора.

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

Дисперсия значительно больше дисперсии , поэтому в качестве конкурирующей примем гипотезу . В этом случае критическая область – правосторонняя. По таблице критических точек распределения F Фишера-Снедекора при заданном уровне значимости и числам степеней свободы и находим критическую точку . Т.к. , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Поскольку предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, сравним средние. Для этого вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид поэтому критическая область – двусторонняя. По уровню значимости (двусторонняя критическая область) и числу степеней свободы

находим из приложения 6 по таблице критических точек распределения Стьюдента .

Т.к. , то отвергать нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних нет оснований. Иными словами, выборочные средние различаются незначимо.

Вместо таблицы можно использовать и программные средства. Например, в Maple 6 для нахождения критической точки (при двусторонней критической области) следует применять функцию

stats[statevalf,icdf,studentst[ k ]](1-α/2).

Если же использовать Microsoft Excel, то

СТЬЮДРАСПОБР(α;k).

Пример выполнен.

Рассмотрим второй случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят правостороннюю критическую область. При этом, исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия Т в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости:

Критическую точку находят по таблице приложения 6, по уровню значимости α, помещенному в нижней строке таблицы, и по числу степеней свободы . Если окажется, что , то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

В Maple 6 для нахождения критической точки (при односторонней критической области) следует применять ту же функцию, но с другим аргументом:

=stats[statevalf,icdf,studentst[k]](1-α).

Если же использовать Microsoft Excel, то

= СТЬЮДРАСПОБР

Третий случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае левостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы

Т.к. распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, то . Нахождение критической точки описывалось во втором случае. Если окажется, что , то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

4.Рассмотрим задачу сравнения выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности.

В качестве первого будет рассмотрен случай, когда дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная средняя а хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому значению а ₀. Например, если Х – совокупность размеров партии деталей, изготовляемых станком-автоматом, то можно предположить, что генеральная средняя а этих размеров равна проектному размеру . Для того, чтобы проверить это предположение, нужно найти выборочную среднюю и установить, значимо или незначимо различаются и . Если различие окажется незначимым, то станок обеспечивает в среднем проектный размер. В том случае, если это различие значимое, то станок требует наладки.

Пусть дисперсия генеральной совокупности известна, например, из предшествующего опыта, или найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема.

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия известна. Нужно по выборочной средней при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральной средней гипотетическому значению . Т.к. выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней, т.е. , то нулевую гипотезу можно записать в виде: .

Следовательно, нам требуется проверить, что математическое ожидание выборочной средней равно гипотетической генеральной средней. Иными словами, нам надо установить, значимо или незначимо различаются выборочная и генеральная средние.

Роль критерия проверки нулевой гипотезы будет играть случайная величина

которая распределена нормально, причем при справедливости нулевой гипотезы и .

В силу того, что критическая область будет строиться в зависимости от вида конкурирующей гипотезы, то ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу

о равенстве генеральной средней нормальной совокупности с известной дисперсией гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе

надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

Из таблиц интегральной функции Лапласа Найти критическую точку и_кр двусторонней критической области по условию

Если окажется, что

,

то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе

критическую точку правосторонней критической области находят по равенству

Если окажется, что

то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе

находят критическую точку по правилу 2 и полагают границу левосторонней критической области

.

Если оказывается, что

,

то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае ее отвергают.

Пример 6. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением извлечена выборка объема п =40

и по ней найдена выборочная средняя . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе

Решение. Рассчитаем наблюдаемое значения критерия:

По условию критическая область – двусторонняя. Найдем критическую точку:

По таблице приложения 2 получим . О том, как это делается программными средствами см. пример 1 данного параграфа. Т.к. , то нулевая гипотеза отвергается. Иными словами, выборочная и гипотетическая генеральная средние различаются значимо.

До настоящего момента мы не рассматривали примеров на нахождение мощности критерия. В силу того, что такие задачи возникают на практике, приведем следующий пример.

Пример 7. По выборке объема п =27, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением , найдена выборочная средняя . При уровне значимости требуется: 1) найти критическую область, если проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральной средней гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе ; 2) найти мощность критерия проверки .

Решение. 1) Т.к. конкурирующая гипотеза имеет вид , критическая область левосторонняя. Используя правило 3, найдем критическую точку. Определим сначала правосторонней критической области. Для этого воспользуемся равенством

По таблице приложения 2 получим . Поэтому критическая точка при левосторонней критической области: . Т.о. левосторонняя критическая область определяется неравенством , а именно

Решив неравенство, получим . При этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергается. В этом смысле можно рассматривать как критическое значение выборочной средней.

2) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т.е. при =19), положив :

Видно, что если , то . Т.к. при нулевая гипотеза отвергается, то при она тоже отвергается. При этом конкурирующая гипотеза справедлива, так как мы положили .

Найдем теперь, пользуясь интегральной функцией Лапласа (приложение 2), мощность критерия, т.е. вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если справедлива конкурирующая гипотеза:

.

Мощность рассматриваемого критерия в обозначениях параграфа 11.1:

. Зная мощность, можно найти вероятность ошибки второго рода . Пример решен полностью.

Отметим, что при увеличении объема выборки мощность увеличивается. Например, при получим и, соответственно, мощность критерия

Если увеличить уровень значимости, то мощность также увеличится.

Рассмотрение первого случая окончено.

Вторым случаем в рамках поставленной задачи будет случай, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

где – исправленное среднее квадратичное отклонение. Величина Т имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Опишем правила проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу

о равенстве неизвестной генеральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисперсией) гипотетическому значению а ₀ при конкурирующей гипотезе

надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

Затем по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6), по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы находят критическую точку . Если окажется, что

то отвергнуть нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе

по уровню значимости α, помещенному в нижней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы находят критическую точку правосторонней критической области. Если окажется, что

то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе

сначала находят «вспомогательную» критическую точку и полагают границу левосторонней критической области

Если окажется, что

то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

Пример 8. По выборке объема , извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя и исправленное среднее квадртическое отклонение . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе .

Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

.

По условию критическая область – двусторонняя. Из приложения 6, по таблице критических точек распределения Стьюдента, при уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы находим критическую точку (о соответствующих статистических функциях пакетов см. пример 5). Получилось, что . Поэтому отвергать нулевую гипотезу нет оснований. Следовательно, выборочная средняя незначимо отличается от гипотетической генеральной середине.

Замечание 2. Отыскивая двустороннюю критическую область при уровне значимости α, тем самым находят и соответствующий доверительный интервал с надежностью . Например, проверяя нулевую гипотезу при , мы требовали, чтобы вероятность попадания критерия

в двустороннюю критическую область была равна уровню значимости . Следовательно, вероятность попадания критерия в область принятия гипотезы равна . Т.е. с надежностью выполняется неравенство

или, что равносильно

где . Т.о. получен доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения при известном с надежностью (см. параграф 10.3).

Замечание 3. При решение конкретных задач практики часто известна точность , которую не должна превышать абсолютная величина разности между выборочной и гипотетической генеральными средними. Можно потребовать, например, чтобы средний размер изготовляемых деталей отличался от эталона не более чем на величину . Каким должен быть минимальный объем выборки, чтобы это требование выполнялось с вероятностью ? Подобный вопрос рассматривался в главе 10, и при известном σ точность равнялась , откуда . В том случае, если σ неизвестно, но имеются его несмещенная оценка , получим

5.Рассмотрим задачу сравнения двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями. Причем на этот раз нас будут интересовать зависимые выборки. В предыдущих задачах выборки предполагались независимыми. Будем рассматривать выборки одинакового объема, варианты которых попарно зависимыми. Пусть, например, х_і, i= 1,2,…, n – результаты измерений деталей первым прибором, а у_і, і =1,2,…, п – результатом измерений этих же деталей, произведенные в том же порядке вторым прибором. Тогда х_і и у_і попарно зависимы и в этом смысле сами выборки зависимые. Поскольку, как правило , то возникает необходимость установить, значимо или незначно различаются пары этих чисел. Подобная задача возникает и при сравнении двух методов исследования, осуществленных одной лабораторией (или исследование произведено одним и тем же методом двумя различными лабораториями).

Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Необходимо при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями при конкурирующей гипотезе по двум зависимым выборкам одинакового объема.

Наша цель – перейти от задачи сравнения двух средних к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением генеральной средней. Напомним, что такая задача решилась в данном параграфе (см. пример 8). Введем случайные величины . Обозначим их среднюю как

.

Если нулевая гипотеза справедлива, то и, следовательно, .

Итак, нулевую гипотезу можно записать , а конкурирующую .

Замечание 4. В дальнейшем наблюдаемые неслучайные разности будем обозначать через в отличии от случайных разностей

Аналогично выборочную среднюю этих разностей обозначим через в отличие от случайной величины . В итоге, задача сравнения двух средних и сведена к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением средней В уже известной формуле

надо положить

, ,

и, тогда

Сформулируем правило проверки гипотезы.

Чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями при конкурирующей гипотезе (по двум зависимым выборкам одинакового объема), надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

Затем по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6), при заданном уровне значимости , помещенном в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы найти критическую точку . Если окажется, что , то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

Пример 9. Некоторое исследование проведено одним и тем же методом в двух разных лабораториях. Результаты исследований оказались следующими (табл.1):

Табл.1. Результаты исследования в двух лабораториях

При уровне значимости установить, значимо или незначимо различаются результаты исследований.

Решение. Вычитая из чисел первой строки табл.1 числа второй, получим: ₁=-1, ₂ = 0, ₃ = -1, ₄ = -1, ₅ = 1.

Выборочная средняя и исправленное среднее квадратическое отклонение, соответственно, равны: , . Вычислим наблюдаемое значение критерия:

По таблице критических точек распределения Стьюдента(приложение 6), при уровне значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы

находим критическую точку .Т.к. , то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. Т.е. результаты исследований различаются незначимо.

Дата добавления: 2015-11-04