Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Наименование факультета - ЕНМ

Наименование выпускающей кафедры – Общая физика

Наименование учебной дисциплины - Физика

Лабораторная работа № 1.06

Наименование работы – Определение момента инерции

тела по методу крутильных колебаний

Исполнитель:

Студент, группы 13А61 (_______) Василевская Е.О.

подпись

(_______)

дата

Руководитель: доцент, кандидат физ.-мат. наук (_______) Э.Б.Шошин

Должность, ученая степень, звание подпись

(_______)

дата

Томск –2007

Цель работы: Определение момента инерции тела методом крутильных колебаний, проверка справедливости теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Приборы и принадлежности: Лабораторная установка, грузы сферической формы, секундомер, штангенциркуль, весы и разновески.

Теоретическое введение.

Основной закон динамики поступательного движения описывается выражением:

или (1)

Величина m- масса тела- выражает численно меру инертности тела, т.е. его способность изменять состояние поступательного движения под действием силы F.Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела, вращающегося вокруг оси симметрии тела, записывается в виде:

или (1a)

где - момент импульса тела,

- вектор углового перемещения,

- угловое ускорение,

- момент силы.

Размерность момента инерции в системе СИ-[кг*м²]. Отсюда определение момента инерции материальной точки относительно оси вращения в виде

, (2)

где r_i – радиус вращения материальной точки, а m_i – её масса. Масса реального тела представляется в виде суммы масс материальных точек, её составляющих. Момент инерции тела есть совокупность моментов инерции его частей, рассматриваемых как материальные точки:

(3)

Если необходимо рассчитать момент инерции тела относительно оси AA, не проходящей через центр симметрии, но параллельной ей, можно воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера: “Момент инерции тела J_AA относительно любой оси AA параллельной оси OO, проходящей через центр инерции тела, равен моменту инерции J_OO этого тела относительно оси OO, сложенному с величиной ml²; l – расстояние между осями AA и OO; m – масса тела ”

(4)

Теория метода определения момента инерции твёрдого тела и проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера

Выведенный из состояния равновесия маятник будет совершать колебания с периодом

(5)

здесь c(каппа) называется коэффициентом угловой жёсткости или модулем кручения подвеса(оси). Численно c выражает величину момента силы, возникающего при его закручивании на единичный угол. Для тела момент инерции J_OO которого необходимо определить в опыте, период колебаний будет иметь величину T₀

(5a)

Период колебаний усложнённого маятника равен

(6)

Из уравнений 5а и 6 выражаем искомый момент инерции J_OO

(7)

Если в качестве дополнительного груза используют два одинаковых шара, массой m₀ и радиуса r каждый, расположенные симметрично относительно оси маятника OO, то момент инерции J будет записан, применяя теорему Гюйгенса – Штейнера, в виде

(8)

Здесь m – общая масса двух шаров; l – расстояние между осью OO и центром каждого шара.

С учётом (8) получаем формулу для искомого момента инерции

(9)

Таблица 1

	Т0,с	L1,м	L2,м	L3,м	L4,м	L5,м	L6,м	Примечания
0,21	0,19	0,17	0,15	0,13	0,11	r,м=0,023 m0,кг=0,18 Δt=0,01 c Установка №2
Т1,с	Т2,с	Т3,с	Т4,с	Т5,с	Т6,с
	0,81	1,423	1,43	1,323	1,255	1,176	1,101
	0,824	1,495	1,427	1,338	1,269	1,182	1,089
	0,83	1,548	1,445	1,341	1,261	1,154	1,089
Среднее значение периода	0,82133333	1,488667	1,434	1,334	1,261667	1,170667	1,093
		Расчет момента инерции:
		J01, кг*м^2	J02, кг*м^2	J03, кг*м^2	J04, кг*м^2	J05, кг*м^2	J06, кг*м^2
		0,00349	0,003191	0,003199	0,003007	0,002986	0,002875

Построим зависимость методом наименьших квадратов:

,

Метод наименьших квадратов для графика зависимости :

k	31,92123264
b	0,808402085

Рис.1 Зависимость периода колебаний от длины

Здесь, - экспериментальные значения, а прямая – результат обработки измерений.

В результате построения мы получили прямую, а это доказывает справедливость теоремы Гюйгенса-Штейнера. Наклон данной прямой .Что дает нам возможность экспериментально определить значение модуля кручения подвеса .

,

где tg α равен отношению , .

Таким, образом коэффициент угловой жесткости или модуль кручения равен:

Мы знаем, что tg α равен отношению противолежащего катета к прилежащему, значит расстояние от точки (1) до точки пересечения с осью Т² в проекции равна k= , k =1,408.

Ордината точки пересечения с осью Т² равна .

Так как прямая пересекает ось ординат в точке , отсюда следует, что ^.

Таким образом момент инерции крутильного маятника равен:

кг*м².

Рассчитывая по формуле:

.

Получаем =0,00311 кг*м².

Мы видим, что значения рассчитанные по формуле и значения определенные по графику близки.

Вычисление погрешностей измерений: Таблица 2

Срeднеквадратичная погрешность:
	σТ0	σТ1	σТ2	σТ3	σТ4	σТ5	σТ6
0,005925463	0,036223074	0,005568	0,005568	0,004055	0,008511	0,004
Случайная погрешность:
ΔТсл	0,016472787	0,100700147	0,015478	0,015478	0,011273	0,023662	0,01112
ΔТсл2	0,000271353	0,01014052	0,00024	0,00024	0,000127	0,00056	0,000124
Приборная погрешность:
	ΔТu	0,0475	ΔТu2	0,002256
Полная погрешность:
ΔТ	0,050275269	0,111340781	0,049958	0,049958	0,048819	0,053067	0,048784
	T00	T01	T02	T03	T04	T05	T06
0,82± 0,05	1,49± 0,11	1,43± 0,05	1,33± 0,05	1,26± 0,05	1,17± 0,05	1,09± 0,05
E(T0),%	E(T1),%	E(T2),%	E(T3),%	E(T4),%	E(T5),%	E(T6),%
6,131130412	7,472535637	3,493586	3,756262	3,87456	4,53566	4,475621
Jо=	0,003± 0,001	кг*м^2
Примечания:
h=	0,05		α=	0,95		n=

Вывод: В результате измерений определили момент инерции тела методом крутильных колебаний. Относительная погрешность косвенных измерений периода составила 4,8%. Доказали справедливость теоремы Гюйгенса-Штейнера, так как по рис.1 мы видим, что зависимость линейна.

Сведения об авторах:

Составители:

Студенты группы 13А61:

Гайнутдинова Юлия Идрисовна

Василевская Екатерина Олеговна

Дата добавления: 2015-11-04