Из хвоста 24,25,26Опр.Пусть y=f(x) с обл. Df и обл. знач.

Из хвоста 24,25,26Опр.Пусть y=f(x) с обл. Df и обл. знач.

Rf и y=фи(х) с обл и знач. Причем RfcDf

Тогда можно оброзовать сложную ф-ю

y=f(фи(x)) Совершено аналогич. Можно

дать опред трёхзвен и n-звен слож ф-и

Т. если ф-я y=f(u) непрерыв в (.) u₀ ф-я

y=фи(x) непрер (.) х₀ u₀=фи(х₀), то сложная

двухзвен ф-я y=f(фи(x)), будет не непрер

в(.) х₀ док-тво

Замеч. Данная теор остаёт верной для трех

4 и n звен слож ф-и прав перехода под знак

Непрер ф-и при вычислении пределов часто

Использ правило если ф-и f(u₀) не прерыв u₀

u₀=lim(x→x₀)фи(х), то u₀=lim f(фи(x))=

=f (lim(x→x₀))

27.Пусть дана ф-я y=f(x) Df опр если ф-я y=f(x)

Не определ в точки х₀ но опред в некоторой

V-окрестн точки х₀ кроме самой точки х₀ назыв

Особой точкой для ф-и y=f(x) опр точка х₀ назыв

Точкой разрыва ф-и f(x) если в это точке ф-я f(x)

Или не является непрерывн или (.) х₀ является

особой точкой для (.)

рассм нарушен опред непрер на языке одностор

пределов Известно что ф-я непрерывн (.)х₀ если

f(x₀-0) = f(x₀) = f(x₀+0) (1) возможны следующ

«нарушения» равен(1) 1) f(x₀-0)= f(x₀+0) ≠f(x₀)

Одностор пределы в (.)х₀ равны друг другу,

но не равны Значению ф-и в(.)х₀ в этом случае

(.)х₀ называется точкой устранимого раздела

Для ф-и f(x₀).

2) f(x₀-0)≠ f(x₀+0) оба одност предела существ

но не равны друг другу в этом случае (.)х₀ назыв

точкой разрыва скачка лям= |f(x₀-0)-f(x₀+0)|-

величина скачка

опр. точки устраним разрыв и скачка называет

точками разрыва первого рода y=f(x)

3) если хотя бы один из одностор предегов

f(x₀-0)илиf(x₀+0) не существ или равен бесконеч

то точка Х₀ назыв точкой разрыва второго рода

для ф-и

28опр последов отрез[a₁;b₁],[a₂;b₂]…[a_n;b_n]

называет послед вложен отрезками или

стягив последов отрезков если для неё

выполн 2 условия 1)[a_n+1;b_n+1]c[a_n;b_n]

(каждый последующ принадл предыд)

2)lim(n→∞)[a_n;b_n]=lim|b_n-a_n|=0 т. сущест

единст точка принад всем отрезк стягив

послед орезк док-во при докоз использ

следующ теорема о существ одностор

пределов огранич монотон ф-ей, а имен

тот факт что всякая огран монот числов

послед имеет предел В условиях теор

имеем а1≤а2≤а3≤…≤а_n≤…≤ b₁ следов

послед {a_n}левых концов наших отрезков

являют монотон (не убывающ) огранич

сверху последовательностью имеем

b_{1 ≥}b₂≥ b₃ ≥…≥b_n ≥…≥a₁ тогда числов послед

{b_n}прав концов наших отрезков будет

являтся монотон не возраст и огранич,

а всякая монот чис послед имеет иредел

пусть lim(n→∞)a_n =с согласно опр стяг

посл отрез

Тк послед{a_n} не убыв то для любого

n€N a_n≤ c тк послед{b_n} не возраст то

для любого n€N с≤b_n и так для любого

n€N a_n≤ c с≤b_n это означ что точ с принад

всем отрез из стягив послед отрезков

существ такой точки мы доказали замечание

теор перес быть верной если место стягив

послед отрез рассматр стягив послед

интервал принцып влож отрезков использ

при докоз многих например матимат

индукции и метод от противн

29Эти две теоремы являются фундомент

\т. если ф-я непрерывна на отрезке [a,b]

и на концах этого отрезка она принимает

значения разных знаков, то существует

точка с €(а,в) такая что f(c)=0 док-во (рис.)

f(a)<0,f(b)>0,f(c)=0 рассмотр отрезок [а,в]

разобьём его полам а+в/2 точка разбиения

если окажется в этой точке деления ф-я

обращается в 0, т. е. f(a+b)=0 то теорема

док. Если (а+b/2)≠0 то на концах хотябы

одного из 2 получившив отрезков непрер

(продолжение29) ф-я f(x) будет иметь значение разных знаков

это отрезок обозначим [a_1, b₁] c[a,b] отрезок

[a₁,b₁] сова разделиться пополам, если

в новой точке деления f(x) окажется равна0,

то теорема доказана в противном случае обозн

через [a₂,b₂] отрезок –тот из 2 отрезков на

концах которого ф-я будет принимать знач

разных знаков. Во втором случае мы получим

послед вложенных отрезков согласно теории

существует единс точка принадл всем отрезкам

с f(c)=0, предположим, что f(c)≠0 пусть f(c)>0

тогда в некоторой окрестности точки

с (с-٧; с+٧) значение не прерывн ф-и тоже

будет полож., но при любом достаточ больш

n [a_n,b_n]с(с-٧; с+٧), но на концах отрезка [a_n,b_n]

ф-я принимает значения разных знаков получ

противор значит f(c)≠0 неверно замечание ф-я

не является непрерывной

30Если ф-я не прерывна на отрезке [a,b] то

эта ф-я на этом отрезке принимает все

знач заключённые м/у числами f(a) u f(b)

док-во теорема имеет смысл если f(a) ≠ f(b)

(рис.) пусть f(a) ≠ f(b) возмем любые числа

y удовлетв условию f(a) <y< f(b) образуем

новую ф-ю фи(х)=f(x)-y эта ф-я не прерывна

на отрезке причём фи(a)= f(a)-y<0 фи(b)-y>0

=> f(x) удовлет т1 сущес точ с такая что фи(х)=0

фи(с)=f(c)-y=0 => f(c)=y

33,34Если ф-я непрерывна на отрезке то на этом

отрезке она будет являться ограниченной ф-ей

Док-во метод от противного пусть ф-я неогран

на отрез (рис.) отрезок [a,b] разобьём попалам

полус 2 нов хотябы на одном из них ф-я будет

не ограничена. если бы ф-я оказалось огран

на каждом из получив отрезков то она была бы

ограничена на всём промежутке обозначим через

∆2 ту половину отрезка∆1 на котором ф-я f(x) не

отраничена ∆2=b-a/2 отрез ∆2 разобьём пополам

при этом хотябы на лдном из получи отрезков ф-я

будет не отраничена этот отрезок обозначим через

∆3 продол так рассужд мы получим последов влож

отрезков след сущ точка принад всем этим отрезкам

х₀ ф-я непрерыв на отрезке => это ф-я будет непрер

в точке х_0, а => она будет ограничен в некоторой ٧

окр точки х₀ но такого не было ∆ при достат большом

n отрезок ∆nс(х₀-٧, х_{0+ ٧}) получим противоречие

значитф-я будет огранич на отрезке [a,b]

Если ф-я непрерывна на отрез [a,b] то f(x) на этом

отрезке будет принимать своё наибол и наимень знач

док-во f(x₁) =M=sup f(x), f(x₂)=m=inf f(x) т к ф-я f(x) нерер

на отрезке [a,b] то по теореме2 она огранич на

этом отрезке следов сущест точная верхняя и

точная нижняя m грани ф-и на отрезке [a,b] Покажем

что ф-я достигает М,т е существ такая точка х,€ [a,b],

что f(x₁)=M. Будем рассужд от против пусть ф-я не

приним им в одной точке [a,b] значения, равного М.

тогда для всех х€[a,b] справедлива неравенство f(x)<M.

Рассмотрим на [a,b] вспомог, всюду положит ф-ю

F(х)=1/М-f(x) по теореме ф-я F(x) непрерывна как

частное двех непрерывных ф-й. в этом случае ф-я F(x)

ограничена. Т.е найдется положительное число

М такре что для всех х€[a,b] F(х)=1/М-f(x)≤М

откуда f(x)≤M-1/М то число М-1/1 меньше М

является верхней гранью f(x) получили противореч

=> х₁ €[a,b] в котором f(x₁)=M

37Пусть дана числ послед{a_n} опр числ послед

назыв сходящ числ послед если существ конеч

предел эсли же этот предел не существ или равен

бесконеч то эта числов последов назыв расходящ

т. для того чтобы числовая последоват сходил

необход и достат выполн след условия(дописать

от руки)

38.Пусть дана числов последов {a_n} опр послед

этой числовой последов назыв последоват

любых членов n послед с возраст номером

т любая огранич последов имеет сходящ подпослед

39При исследов поведения ф-и на бесконечн

т.е х→+∞,х→-∞ или в близи точек разрыва

2-го рода, часто оказывается, что график ф-и

(продолжение 39) сколько угодно близко приближается к той

или иной прямой такие прямые называются

асимптотами сущ вертик горизон наклон

орп1 прямая х=х₀ нахыв вертикальн ассимпт

графика ф-и, если хотя бы одна из предельн

значений lim(x→x₀₊) f(x) или lim(x→x_0-) f(x)

равна к+∞,-∞ рассмотрим от точки М (х;f(x)) до

прямой х=х₀ d=√(x-x₀)²+(f(x)-f(x₀))²=|x-x₀|=>

d→0,x→x₀ опр2 прямая y=A назыв горизон

ассимпт графика ф-и при х→+∞(-∞) если

lim (х→+∞(-∞)) f(x)=A d=√(x-x₀)²+(f(x)-A)²⁼ |f(x)-A|

=> d→0 x→∞ т.к. lim(x→∞)|f(x)-A|=0 опр3

прямая y=kx+b(k≠0) назыв наклонной асимпт

графика ф-и или (х→+∞(-∞)), если ф-я представ

в виде f(x)= kx+b+£(x), £(x)→0, (х→+∞(-∞))

Гл 5§1 Опр. роизвод ф-и в точке х₀ называет предел

при∆х→0 отношение проиращения ф-и в этой

точке к приращению аргумента (при услов что

этот предел сущест) (дописать от руки)

Если для некоторого значен х₀ выполн услов

(дописать от руки)

То говор что в точ х₀ ф-я имеет бесконеч произв

знака плюс или минус геометр смысл произв

(рис) опр касатель s к граф ф-и в точкеМ буде

т называться предельное положение секущей

МР при∆х→0 или что то же при Р→М физ

смысл связан со скоростью и мгновен скоростью

правая и левоя производная опр правой (левой)

производн ф-и (.)х₀ назыв правый(л) предел

отношения∆y/∆х ∆х→0 при условии что этот пред сущ

гл5§2Опр ф-я назыв диф-ой в (.) х₀, если ее приращ ∆y

в этой точке можно представить в виде

гдеА некоторое число не зависящ от ∆х

а £(∆х) –ф-я аргумента ∆х являющаяся бм при

∆х→0, т.е. lim(∆х→0) £(∆х)=0 т. для того чтобы

ф-я была диф-ой в точ х0 необход и достаточ

чтобы она имела в этой точке конечную производ.

Т. если ф-я диф-ма в данной точке х0 то она и

непрерывна в этой точке

гл5§3Пусть ф-я диф-ма в точкех0 т.е ее приращен ∆y

в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаем

(допис от руки)

Опр диф-ой ф-и в точ х0 назыв главная линейная

относит ∆х часть приращен ф-и в этой точке

(доп от руки)

Гл5§4Т если ф-я u=u(x) и v=v(x) диф-ма в точ х0, то сумма

разность произв и частн этих ф-й также диф-мы в

этой точке и имеет место след формулы(допис от руки)

гл5§6Если ф-я имеет в точке х0 произв то обратная

ф-я также имеет в соответсв точке

производную причём (допис от руки)

гл5§7Если ф-я имеет производ в (.) t0 а ф-я

имеет производн в соответ (.) то

сложная ф-я имеет произ-ю в (.) t0 и справ

следущ формула

Гл6§1(теор Ферма) Пусть ф-я f(x) определ на интервале

(a,b) в некоторой точке х0 этого интервала

имеет наибольш или наименьш значение. Тогда если

в точке х0 существ производн то она равна нулю

док-во (теорема ролля) пусть на (а b) определ ф-я причем

1) ф-я определ на [ab]2)ф-я диф-ма на (ab)3)f(a)-f(b)

2) тогда существ (.) c€(ab) в которой f ‘(c)=0 док-во

(теорема лагранжа) пусть на [ab]определена ф-я причем 1) f(x)

Непрерывна на[ab] тогда существ точка с€(ab) такая что

Справедлива формула (дописать от руки)

Дата добавления: 2015-10-21