9. Решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
Решение.
Проверка:
19. Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол B в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы AE; 5) уравнение и длину высоты CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне AB.
A (-1;1), B (2;5), C (3;3)
Решение.
1) длина стороны AB
Расстояние между двумя точками
2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты
Уравнение прямой, проходящей через две точки
3) внутренний угол B в радианах с точностью до 0,01
Угол между прямыми
Уравнение АВ 
Уравнение ВС
Уравнение ВС 
4) уравнение медианы AE
Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Поэтому определяем координаты т. Е как середины отрезка ВС.
Е (2,5; 4)
Уравнение АЕ
5) уравнение и длину высоты CD
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой
Уравнение АВ
Определяем т. D – точку пересечения прямых АВ и СD
D (1,4; 4,2)
Длина СD
6) уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне AB
Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно другой прямой
Уравнение АВ
29. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:
1. записать векторы 
в системе орт 
и найти модули этих векторов;
2. найти угол между векторами 
3. найти проекцию вектора 
на вектор 
4. найти площадь грани ABC;
5. найти объём пирамиды ABCD;
A (2;3;1), B (0;6;1), C (0;3;7), D (2;6;9).
Решение.
1. векторы в системе орт и модули этих векторов
2. угол между векторами
Угол между векторами
3. проекция вектора на вектор
4. площадь грани ABC
5. объём пирамиды ABCD
39. Найти указанные пределы
1) 
а) x0= -2; б) x0= -1; в) x0=¥.
2) 
Решение.
1. а) 
б) 
в) 
2. 
49. Найти производные 
пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
а) 
б) 
в) 
г) 
Решение.
а) 
б) 
в) 
59. 1) Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. 2). Для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке [a;b].
а) 
a=1, b=4; б) 
Решение.
а) 
1) Область определения (-∞; +∞), то вертикальных асимптот нет
2) Функция общего вида, т. к. f(x)≠f(-x) и f(-x)≠-f(x)
3) Определяем экстремумы функции
При х<2 первая производная положительная, при 2<х<3 первая производная отрицательная, при х>3 первая производная положительная
Т. о., 
4) Точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости
При х<5/2 вторая производная отрицательная, при х>5/2 вторая производная положительная, следовательно 
- точка перегиба, на интервале (-∞; 2,5) график выпуклый, а на интервале (2,5; +∞) – вогнутый
5) Уравнение асимптот
Следовательно, график функции асимптот не имеет
6) График функции
Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [1; 4].
Значения в критических точках были найдены в пункте 3, определяем значения функции на концах интервала
Т. о., 
б) 
1) Область определения 
, х=3 – вертикальная асимптота
2) Функция общего вида, т. к. f(x)≠f(-x) и f(-x)≠-f(x)
3) Определяем экстремумы функции
При х<1 первая производная положительная, при 1<х<5 первая производная отрицательная, при х>5 первая производная положительная
Т. о., 
4) Точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости
Т. к. 
, то точек перегиба нет
5) Уравнение асимптот
Получаем наклонную асимптоту у=х+3
6) График функции
69. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей
Решение.
Х – одно слагаемое, 8-Х – второе слагаемое
При 
При 
Т. о., первое слагаемое 
, второе слагаемое 
79. Найти приближённое значение функции y=f(x), заменяя приращение функции Dyсоответствующим дифференциалом dy.
x= -4,03
Решение.
Предположим, что х1=-4 х2=-4,03
89. Для кривых в указанной точке A (x1,y1) найти радиус кривизны и координаты центра кривизны.
, A (1;1)
Решение.
Радиус кривизны 
Координаты центра кривизны
Т. о., имеем координаты (7/2; 6)
99. Найти неопределённый интеграл способом подстановки (методом замены переменной).
Решение.
109. Найти неопределённый интеграл, применяя метод интегрирования по частям
Решение.
119. Найти неопределённый интеграл, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие
Решение.
129. Вычислить определённый интеграл
Решение.
139. Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.
Решение.
Х | -2 | -1 | ||||||||
Y | -3 | -7 | -9 | -9 | -7 | -3 |
Х | -2 | -1 | ||||||||
Y | -17 | -6 | -1 | -2 | -9 | -22 | -41 | -66 | -97 | -134 |
Пределы интегрирования
149. Найти длину дуги кривой
Решение.
159. Вычислить несобственный интеграл и установить их расходимость.
Решение.
Следовательно, интеграл сходящийся
169. Вычислить частные производные первого и второго порядков от заданной функции.
Решение.
179. Задана функция z= f(x,y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке M(x0, y0) в направлении вектора 
составляющего угол a с положительным направлением оси OX.
M (1,1), 
Решение.
a=60°, тогда b=30°
189. Найти экстремум заданной функции
Решение.
Определяем критические точки
М (0; 1)
и 
, следовательно, т. М – точка минимума
199. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).
Решение.
Найдем площадь сегмента:
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 22 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Завдання до контрольних робіт з курсу товарна інноваційна політика | | | Введем переменные для элементарных высказываний: |