Геометрическим способом найти решение задач линейного программирования:

Геометрическим способом найти решение задач линейного программирования:

1. Найти максимум или минимум функции F при заданных ограничениях

№ варианта	Целевая функция F	Ограничения
	F=x + y ®max
	F=2x1+3x2 ® max	x1+3x2 ≤ 18 2x1+x2 ≤ 16 x2 ≤ 5 3x1 ≤ 21 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
	F=4x1+6x2 ® min	3x1+x2 ≥ 9 x1+2x2 ≥ 8 x1+6x2 ≥ 12 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
	F=3x1+3x2 ® max	x1+x2 ≤ 8 2x1-x2 ≥ 1 x1-2x2 ≤ 2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
	F=2x1-3x2 ® min	x1+x2 ≥ 4 2x1-x2 ≥ 1 x1-2x2 ≤ 1 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
	F=x + y ® min
	F = 4 x + 6 y → max	x+y≤18 0,5x + y ≤ 12 x≤ 12 y≤9 x, y ≥ 0
	F = 5x1+6x2 → max,	2x1+2x2≤13 3x1+4x2≤22 x1≥0 x2≥0
	F = -2x1+4x2 → max	6x1-2x2≤12 -x1+2x2≤5 x1+x2≥1 x1≥0 x2≥0
	F = -2x1+4x2 → min	6x1-2x2≤12 -x1+2x2≤5 x1+x2≥1 x1≥0 x2≥0

2 Для следующих задач составить математическую модель и решить задачу линейного программирования графическим способом.

1 Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в табл. 1. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Таблица 1

Вид сырья	Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие	Общее количество сырья (кг)
	А	В
I II III
Прибыль от реализации одного изделия (руб.)

Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий является максимальной,

2. Пусть имеется два станка (S₁, S₂), на каждом из которых можно производить два вида продукции (P₁, P₂). Станок S₁ производит единицу продукции P₁ за 1 час, а единицу продукции P₂ - за 2 часа. Станок S₂ затрачивает на единицу продукции P₁ - 2 часа, а на единицу продукции P₂ - 1 час. Станок S₁ может работать в сутки не более 10 ч., а станок S₂ - не более 8 ч. Стоимость единицы продукции P₁ составляет 1 руб., и стоимость единицы продукции P₂ - 1 руб.

Требуется определить такие объемы выпуска продукции P₁ и P₂ на станок, чтобы выручка от реализации производственной продукции была максимальной.

3. Даме необходимо похудеть, за помощью обратилась к подруге.Подруга посоветовала перейти на рациональное питание, состоящее из двух продуктов P и Q.

Суточное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на упаковке с продуктом Q - 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 килограмма продукта Р равна 15 руб., а 1 кг продукта Q - 25 руб.

Так как дама была стеснена в средствах, но ее интересовал вопрос: в какой пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?

4. Фирма выпускает два вида древесно-стружечных плит - обычные и улучшенные. При этом производится две основные операции - прессование и отделка. Требуется указать, какое количество плит каждого типа можно изготовить в течение месяца так, чтобы обеспечить максимальную прибыль при следующих ограничениях на ресурсы (материал, время, затраты), представленных в таблице 2:

Таблица 2

Затраты	Партия из 100 плит	Имеющиеся ресурсы на месяц
обычных	улучшенных
Материал (фунты) Время на прессование (часы) Время на отделку (часы) Средства (деньги)	20 4 4 30	40 6 4 50	4000 900 600 6000
Прибыль			max

5. Лесхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц вещества A и 12 единиц B. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальны (по данным табл. 3).

Таблица 3

Питательные вещества	Количество питательных веществ в 1 кг корма вида:
A B
Цена 1 кг корма, руб

6. Производство двух видов лесопродукции должно пройти три операции. Затраты времени на каждой операции на одно изделие, прибыль от реализации одного изделия в табл. 4. Сколько изделий каждого вида должно произвести предприятие, чтобы получить максимум прибыли, причем число изделий A должно быть не менее 10, а B - не более 70 единиц.

Таблица 4

Изделия	Затраты на одно изделие	Прибыль, руб
A B
Фонд времени на каждую операцию

7. Колхоз имеет возможность приобрести не более 19 трехтонных автомашин и не более 17 пятитонных. Отпускная цена трехтонного грузовика - 4000 руб., пятитонного - 5000 руб. Колхоз может выделить для приобретения автомашин 141 тысяч рублей. Сколько нужно приобрести автомашин, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной?

8. Небольшая семейная фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка — "Pink Fizz" и "Mint Pop". Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена, однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л "Pink Fizz" требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л "Mint Pop" —• 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л "Pink Fizz" и "Mint Pop" соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Доход фирмы составляет 0,10 ф. ст. за 1 л "Pink Fizz" и 0,30 ф. ст. за 1 л "Mint Pop". Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневного дохода?

9. Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей: X и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y — 2 чел.-ч.

Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа X требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла.

Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа X составляет 30 ф. ст., а от производства одной детали типа Y — 40 ф. ст.?

10. Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.

Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?

Дата добавления: 2015-10-21