1 вопрос. Линейная модель множественной регрессии. Эмпирическая форма записи

1 вопрос. Линейная модель множественной регрессии. Эмпирическая форма записи

Множественная регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой переменной Y рассматривается как функция нескольких независимых переменных X_j:

Рис. 4.1. Геометрическая интерпретация.

, где

Y-общая величина расходов на питание;

X₁- располагаемый личный доход;

X₂- цена продуктов питания.

Экономическая интерпретация: При каждом увеличении располагаемого личного дохода X₁ на 1 единицу собственного измерения, расходы на питание (Y) увеличиваются на b₁ единиц измерения при сохранении постоянных цен. На каждую единицу индекса цен X₂ эти расходы уменьшаются на b₂ единиц измерения при сохранении постоянных доходов. Если a₀>0, то вариация расходов меньше вариации факторов; если a₀<0, то вариация расходов больше вариации факторов.

Рис. 4. 2. Проблемы спецификации модели. Линейная модель множественной регрессии:

Факторы, включаемые во множественную регрессию:

- должны быть количественно измеримы;

- не должны быть коррелированы между собой и тем более находиться в точной функциональной связи.

Нелинейные модели множественной регрессии:

2 вопрос. Оценка параметров модели с помощью МНК

МНК-оценки множественной регрессии:

Стандартизованные коэффициенты регрессии:

Благодаря тому, что в стандартизованном уравнении все переменные заданы как центрированные и нормированные, β-коэффициенты сравнимы между собой. Сравнивая друг с другом β-коэффициенты, можно ранжировать факторы по силе их влияния на зависимую переменную Y. Коэффициенты «чистой» регрессии (b_j) несравнимы между собой.

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор x_j изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов.

В парной зависимости стандартизованный коэффициент регрессии есть линейный коэффициент корреляции:

Во множественной регрессии зависимость следующая:

Частное уравнение регрессии связывает результативный признак Y с соответствующим фактором X_j при закреплении других факторов на среднем уровне и характеризует изолированное влияние фактора X_j на результат.

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько % изменяется в среднем результативный признак Y при изменении фактора Xj на 1% и при неизменных других факторах, включенных в модель.

3 вопрос. Показатели качества множественной регрессии

Индекс множественной корреляции независимо от формы связи оценивает тесноту совместного влияния факторов на результативный признак Y:

При линейной регрессии:

Коэффициент детерминации:

Скорректированный коэффициент детерминации:

Когда m - число параметров при X_j – приближается к объему наблюдений (n), то остаточная дисперсия будет близка к нулю и R² приблизится к 1 даже при слабой связи факторов с результатом. Скорректированный R² содержит поправку на число степеней свободы, что не допускает возможного преувеличения тесноты связи.

Рис. 4.3. Частные коэффициенты корреляции.

где, R²yx₁x₂…x_j…x_m – множественный коэффициент детерминации всего комплекса факторов с результатом;

R²yx₁x₂…x_j-1,х_j+1…x_m – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора xj.

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка.

Коэффициенты частной корреляции первого порядка:

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

Мерой для оценки включения дополнительного фактора в модель служит частный F-критерий:

Частный F-критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по модели в целом.

Если наблюдаемое значение частного F-критерия больше критического, то дополнительное включение фактора x_j в модель статистически оправданно и коэффициент bj статистически значим в предположении, что соответствующий фактор xj был введен в уравнение множественной регрессии последним.

Оценка значимости коэффициентов регрессии выполняется с помощью t- статистики Стьюдента:

4 вопрос. Мультиколлинеарность.

Мультиколлинеарность - это линейная взаимосвязь двух или нескольких объясняющих переменных (х₁, х₂, … х_m). Если объясняющие переменные связаны строгой функциональной зависимостью, то говорят о совершенной мультиколлинеарности.

Мультиколлинеарность не позволяет однозначно разделить вклады объясняющих переменных x₁,x₂,…x_m в их влияние на зависимую переменную Y.

Рис. 4.4. Диаграмма Венна.

Последствия мультиколлинеарности:

- увеличиваются стандартные ошибки оценок;

- уменьшаются t-статистики МНК-оценок регрессии;

- МНК-оценки чувствительны к изменениям данных;

- возможность неверного знака МНК-оценок;

- трудность в определении вклада независимых переменных в дисперсию зависимой переменной.

Признаки мультиколлинеарности:

- высокий R²;

- близкая к 1 парная корреляция между малозначимыми независимыми переменными;

- высокие частные коэффициенты корреляции;

- сильная дополнительная регрессия между независимыми переменными.

Методы устранения мультиколлинеарности:

- исключение из модели коррелированных переменных (при отборе факторов);

- сбор дополнительных данных или новая выборка;

- изменение спецификации модели;

- использование предварительной информации о параметрах;

- преобразование переменных.

Рис. 4.5. Методы отбора факторов для включения в модель.

Дата добавления: 2015-10-21