Механические колебания и волны

II семестр

Механические колебания и волны

Общая черта колебательных процессов – высокая степень повторяемости процесса.

Колебания подразделяются:

– по природе: механические, электромагнитные;

– по степени повторяемости: периодические, непериодические;

– по свойствам: гармонические, ангармонические;

– по способу возникновения: свободные, вынужденные.

Механические колебания

Колебательные системы

Колебания – физические процессы, которые происходят с определённой повторяемостью во времени.

Периодические колебания – колебания, при которых значения характерных параметров системы повторяются через равные промежутки времени.

Полное колебание – процесс, проходящие в системе за период.

Период – минимальный период времени, через который все параметры системы повторяются.

Частота – число полных колебаний, происходящих в единицу времени.

Циклическая частота – число полных колебаний за единиц времени.

Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону изменения гармонических функций.

Линейные колебания – колебания, возникающие в линейных системах.

Линейная система – система, реакция которой линейно зависит от воздействия.

Свободные (собственные) колебания – колебания, которые происходят в отсутствие внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы из состояния её устойчивого равновесия под действием внутренних сил системы.

Вынужденные колебания – колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Равновесие в механических системах и возникновение колебаний

Условие равновесия точечного тела: , протяжённого тела: , .

Характерным свойством колебательной системы является наличие возвращающей (квазиупругой) силы.

, ; . Необходимое условие колебательной системы: . Достаточность: .

Свободные незатухающие колебания

у

Пружинный маятник: , , , , где .

Математический маятник: . , . , , , , , , где .

Физический маятник: , , , , , , , где .

Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника, .

Центр качания – математическая точка, отстоящая от точки подвеса на приведённую длину и лежащая на маятнике.

Если физический и математический маятники с приведённой длиной колеблются около одной оси, то материальная точка математического и центр качания физического маятника движутся синхронно, если вначале их отклонили на одинаковый угол и одновременно отпустили.

Точка подвеса и центр качания обратимы (можно подвесить за любую из них, период колебаний будет одинаков).

Уравнение колебаний

Все системы описываются уравнением , где (пружинный), (математический), (физический).

Переменная колебаний – параметр, характеризующий отклонение системы от положения равновесия. (x).

Решение уравнения колебаний.

.

Линейный гармонический осциллятор – любая колебательная система, в которой возникают малые линейные гармонические колебания.

Основные характеристики гармонических колебаний

Амплитуда – максимальное значение переменной колебания (максимальное отклонение системы от положения равновесия). Амплитуда всегда положительна. , A – амплитуда.

Фаза – параметр, характеризующий относительное значения отклонения системы от положения равновесия ().

Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени ().

Период: , частота , - циклическая частота.

Свойства гармонических колебаний:

1. Частота и период гармонических колебаний определяются свойствами самой системы.

2. Амплитуда и начальная фаза зависят от способа возбуждения колебаний.

3. Период и частота не зависят от амплитуды.

Скорость и ускорение при колебаниях:

Пусть . Тогда , .

Начальные условие – задание смещение и скорости в начальный момент времени.

1. , , - колебания отсутствуют.

2. , , .

3. , , .

4. , , .

Задание начальных условий определяет амплитуду и начальную фазу.

Кинетическая и потенциальная энергия системы:

. Для пружинного маятника - закон сохранения энергии при свободных незатухающих колебаниях.

. , .

Энергия и вычисление периода колебаний:

1. . .

2. Пружинный маятник: .

3. Математический маятник: /

Представление колебаний с помощью векторных диаграмм и комплексных чисел.

Пусть , где . Возьмём , . Тогда , а уравнение описывает движение проекций конца вектора по соответствующим осям. Пусть теперь xy – комплексная плоскость. Тогда .

Фазовая плоскость (пространство) – геометрический образ, представимый множеством состояний системы или .

Фазовая точка – точка фазовой плоскости, определяемая скоростью и координатой и соответствующая определённому состоянию системы.

Фазовая траектория – линия, которую описывает точка на фазовой плоскости при изменении состояния системы.

Фазовый портрет маятника – фазовая траектория маятника: или ( или ­ ).

Фазовый портрет для гармонических колебаний: .

Свободные затухающие колебания

Пружинный маятник: . , где g - параметр (коэффициент) затухания, .

Математический маятник: .

Решение уравнения свободных затухающих колебаний:

Предположим, что . Тогда , . , . Отсюда . Обозначив , получим: - решение уравнения свободных затухающих колебаний.

Если трение мало , то .

Основные характеристики затухающих колебаний.

Время релаксации – время, в течение которого значение параметра убывает в e раз: .

Декремент затухания характеризует, во сколько раз амплитуда колебаний убывает за один период: .

Логарифмический декремент затухания характеризует, во сколько раз изменяется логарифм убывания амплитуды: .

Пусть и совершается N колебаний, т.е. . Тогда , .

Скорость и ускорение затухающих колебаний: , , .

Добротность системы .

Энергия , .

. При .

Вынужденные колебания

Для пружинного маятника: , где m – масса тела, F – амплитуда силы, W - циклическая частота силы.

Для математического маятника: .

Длительность переходного режима совпадает со временем релаксации.

- амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний, - фазо-частотная характеристика вынужденных колебаний.

Общее уравнение: , где первое слагаемое представляет собой начальное колебаний системы, которое из-за затухания постепенно сходит на нет, а второе – установившийся режим вынужденных колебаний.

Резонанс.

Найдём максимум амплитуды колебаний в зависимости от частоты воздействующей силы. Для этого решим уравнение . Получим: .

Резонанс – явление резкого возрастания (убывания) амплитуды вынужденных колебаний при стремлении частоты воздействия внешней силы к частоте собственных колебаний (точнее, к величине , где g - коэффициент затухания, но обычно ).

Резонансная частота – частота внешней возбуждающей силы, при которой достигается максимум амплитуды вынужденных колебаний.

Наложение колебаний

Сложение колебаний одного направления

Пусть , . Тогда .

Векторная диаграмма:

, , . Тогда ,

.

Таким образом, .

Биения: Рассмотри два колебания: и , где . Результирующее колебания будет описываться уравнением .

Частота биения: , период .

Взаимно перпендикулярные колебания

Рассмотрим два колебания, происходящие во взаимно перпендикулярных направлениях: , .

1. Если и , то график представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

2. Если , и , то график представляет собой эллипс, полуоси которого равны A и B.

3. , - график представляет собой параболу.

4. Общий случай: , .

Фигура Лиссажу - эта линия, которую описывает тело, одновременно колеблющееся в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Свойства фигур Лиссажу:

1. Если колебания происходят с амплитудами A и B, то фигуру Лиссажу можно вписать в прямоугольник со сторонами и .

2. Если - величина рациональная, то фигура Лиссажу замкнута, иначе – незамкнута.

3. Отношение частот колебаний в горизонтальном и вертикальном направлениях равно отношению числа касаний фигуры вертикальных и горизонтальных сторон.

Механические волны

Распространение волн в упругой среде

Волны – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.

Упругие волны – волны, распространяющиеся в упругой среде.

Волновая поверхность – геометрическое место точек среды, колеблющихся в одной фазе.

Волновой фронт – поверхность, разделяющая возмущённую и невозмущённую части среды.

Виды волн:

1. Поперечные – колебания в которых происходят поперёк направления распространения.

2. Продольные – колебания в которых происходят вдоль направления распространения.

В газообразной и жидкой среде колеблется плотность или, что то же, давление. В твёрдой среде и на границе раздела фаз – деформация или, что то же, механическое напряжение.

Волновое уравнение

Исследуем колебания струны. Пусть в какой-то момент времени струна деформирована так, как показано на рисунке. Тогда уравнение движения для этой струны выглядит так: . Т.к. и , то . Спроектируем это уравнение на ось y: и на ось z: . Т.к. и очень малы, то , . Тогда . Введём линейную плотность , тогда . Таким образом мы получили волновое уравнение поперечной волны: , где .

Волновое уравнение для продольной волны выглядит так: , где , p – давление в среде распространения волны.

Анализ механических волн

Пусть . Тогда , и , , , . Подставим это в волновое уравнение: .

Общее решение волнового уравнения: , где и - произвольные функции.

Гармоническое решение волнового уравнения: .

Период волны , фаза волны .

- фазовая скорость волны.

Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за один период,

Волновое число .

Волновой вектор: , сонаправлен с направлением распространения волны.

Фазовая скорость волны – скорость, с которой движутся точки волны, колеблющиеся в одной фазе. .

Геометрические свойства волн

Для трёхмерного случая выражение , где D - это оператор Лапласа, в декартовой системе координат .

Плоские, цилиндрические и сферические волны – волны, волновой фронт которых представляет собой соответственно плоскость, цилиндр и сферу.

В случае плоской волны в волновом уравнении достаточно заменить , т.е. .

Для цилиндрической волны или, для гармонических колебаний, . Здесь - проекция волнового вектора на ось .

Уравнение сферической волны: , . Здесь - проекция волнового вектора на радиус-вектор.

Бегущие и стоячие волны

Если , то направление распространения волны сонаправленно с осью z. Если же , то направление распространения волны противоположно направлено оси z.

Рассмотрим сложение двух одинаковых волн, двигающихся навстречу друг другу. Т.е. пусть , . Тогда - уравнение стоячей волны.

Узлы – это точки, амплитуда колебаний которых равна 0 (т.е. ).

Пучности – это точки, амплитуда колебаний которых максимальна (т.е. ).

Длина стоячей волны .

Граничные условия для стоячих волн:

1. Пусть струна закреплена с обеих сторон. Тогда и , где L – длина струны, откуда и , т.е. или .

2. Пусть теперь струна закреплена с одной стороны. Тогда и , откуда и .

3. Наконец, пусть струна не закреплена ни на одном конце. Тогда и , откуда и .

Стоячие волны возбуждаются на струне или в акустической трубе только при соблюдении одного из этих условий.

Основной тон – колебание с максимальной длиной волны: . Остальные колебания называются обертонами.

Энергия механической волны

Скорость точек волны . Тогда кинетическая энергия колеблющейся точки , а плотность кинетической энергии , где V – объём, занимаемый рассматриваемой частью волны, а - плотность среды до волнового возмущения.

Рассмотрим волны на струне. Согласно закону Гука, , где s - механическое напряжение, E – модель Юнга и e - относительное удлинение струны. Тогда , где l – длина стержня. Изменение потенциальной энергии , откуда . Плотность потенциальной энергии . Плотность суммарной энергии .

Пусть . Тогда и средняя за период плотность энергии .

Потоком энергии через поверхность называется энергия волны, проходящая через единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную вектору скорости волны: .

, где a - угол между площадью и вектором скорости. Тогда . Здесь - нормальный вектор рассматриваемой площади, - вектор Умова, .

Интенсивность волны , для гармонической волны .

Эффект Доплера в акустике

Эффект изменения частоты или длины волны, регистрируемой приёмником волн в сравнении с частотой или длиной волн, испущенной источником вследствие относительного движение приёмника и источника, называется эффектом Доплера.

Пусть источник испускает волны с частотой и длиной , а приемник принимает волны с частотой n и длиной l.

1. Пусть система координат связана с источником. Тогда , , .

2. Пусть теперь система координат связана с приёмником. Тогда .

В общем случае .

Дата добавления: 2015-10-21