Механические колебания

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания - это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени. Свободные (собственные) – колебания, происходящие только под действием внутренних сил системы. Вынужденные - колебания, совершающиеся под действием внешней силы. Если в механической колебательной системе не действуют силы трения и сопротивления, то колебания являются незатухающими (происходящими с постоянной амплитудой). При наличии сил трения и сопротивления колебания становятся затухающими (амплитуда таких колебаний уменьшается с течением времени).
Гармонические колебания - движение, совершающееся по закону синуса (sin) или косинуса (cos).
Дифференциальное уравнение гармонических незатухающих колебаний	Пружинный маятник- груз массой m прикреплен к невесомой пружине с коэффициентом жесткости k. Колебания происходят под действием силы упругости . По II закону Ньютона из равенства действующих на груз сил следует: ma=-kx ma + kx =0 /: m a + x =0. Зная, что и обозначив , получим дифференциальное уравнение незатухающих колебаний:
Уравнение гармонических незатухающих колебаний	Решениями предыдущего уравнения являются выражения: или .
Характеристики гармонических колебаний
Ü X, [ X ]= м; Ü А, [ A ]= м; Ü (w0 t +j0), [w0 t +j0]=[φ0]=рад; Ü w0, [ω0]= с^-1; Ü T, [ T ]= с; Ü , (Герц)	Ü смещение от положения равновесия; Ü амплитуда - максимальное смещение от положения равновесия; Ü фаза колебаний - определяет значение изменяющейся величины в данный момент времени t, j0 - начальная фаза - фаза колебаний в начальный момент времени; Ü циклическая частота - число колебаний за секунд; Ü период - время совершения полного колебания; Ü частота колебаний - число колебаний в единицу времени.
Связь между периодом, частотой и циклической частотой колебаний
Кинематические характеристики незатухающего колебательного движения
Графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени гармонического колебания, совершающегося по закону , :
В реальных условиях всегда существуют силы трения и сопротивления. Механическая энергия частично будет расходоваться на преодоление этих сил, поэтому энергия системы будет уменьшаться во времени. Амплитуда такого движения не сможет оставаться постоянной, и тоже будет уменьшаться. Тогда подобные свободные колебания с течением времени затухают.
Дифференциальное уравнение гармонических затухающих колебаний	Колебания происходят под действием силы упругости и силы сопротивления . По II закону Ньютона из равенства действующих на груз сил следует: ma = r V – kx. Аналогично незатухающим колебаниям, разделим все выражение на массу: ma + r V +kx =0 /: m. Зная, что , и обозначив , получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний: , где β- коэффициент затухания, характеризующий быстроту процесса затухания колебаний, [β]=с^-1.
Уравнение гармонических затухающих колебаний	Решениями предыдущего уравнения являются выражения: или .
	Амплитуда затухающих колебаний является функцией, зависящей от времени.
График затухающего колебательного движения. Пунктирной линией обозначен график изменения амплитуды колебаний.
В зависимости от значения коэффициента затухания будет меняться и величина амплитуды. На графике представлены кривые амплитуд двух колебаний с разными β: β2> β1.
Для затухающих колебаний введены еще две дополнительные количественные характеристики быстроты затухания.
Декремент затухающего колебательного движения d - это отношение значений двух амплитуд, разделенных по времени на период: . Логарифмический декремент затухающего колебательного движения λ: . [ d ]=[ λ ]=1.
Энергия колебательного движения
При гармонических колебаниях происходит непрерывное взаимное превращение кинетической (W k) и потенциальной (W р) энергии. А полная энергия определяется их суммой: W = W k+ W p.
W = W k+ W p= , [ W ]=Дж (Джоуль).
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Процесс распространения энергии колебаний в среде называется механической волной. Волновой фронт - это воображаемая поверхность, до которой дошли колебания в данный момент времени. Механические волны бывают: · поперечными, если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения. Такие волны возможны только в твердых телах. · Продольными, если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны. Продольные волны могут распространяться в твердых, жидких и газообразных веществах. Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.
Уравнение волны, распространяющейся вдоль оси x Ü y, [ y ]= м Ü А, [ A ]= м Ü (w t - kx), [w t - kx ]= рад Ü x, [ x ]= м Ü , [ k ]=м^-1 Ü l,[l]=м Ü , [ ]=м/с	Ü смещение точки волны от положения равновесия; Ü амплитуда волны; Ü фаза волны в данной точке среды; Ü расстояние от источника колебаний до наблюдаемой точки; Ü волновое число; Ü длина волны – это расстояние, которое проходит волна за время, равное периоду . Ü Скорость распространения возмущения
График волны («моментальный снимок волны»).
Разность фаз между двумя точками волны	.
Процесс распространения волны фактически означает процесс переноса энергии колебаний в пространстве. Поток энергии волны- Отношение энергии, переносимой волной через некоторую поверхность, ко времени.
Вектор Умова	-характеризует направление распространение волны. Равен энергии, которую переносит волна за единицу времени через перпендикулярно ориентированную к ней поверхность.
Значение вектора Умова соответствует интенсивности волны.
Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом. Диапазон звуковых частот лежит в пределах от 20 Гц до 20 кГц. Волны с частотой менее 20 Гц называются инфразвуком, а с частотой более 20 кГц – ультразвуком. Волны звукового диапазона могут распространяться не только в газе, но и в жидкости (продольные волны) и в твердом теле (продольные и поперечные волны). Изучением звуковых явлений занимается раздел физики, который называют акустикой.
Для акустических волн вместо интенсивности используют понятие звукового давления- давления, оказываемого звуковой волной на препятствие.
Связь интенсивности волны и звукового давления	- величина звукового давления, - волновое сопротивление, зависящее от плотности среды и скорости распространения звука в этой среде.
Эффект Доплера	Позволяет оценить изменение частоты сигнала воспринимаемого наблюдателем при относительном движении источника звука и наблюдателя.
	- частота звука, воспринимаемого наблюдателем, - частота звука, издаваемого источником, - скорость звука в данной среде. Верхние знаки в числителе и знаменателе соответствуют движению наблюдателя и источника навстречу друг другу, нижние знаки – при взаимном удалении друг от друга.
Примеры решения задач
Задача 1. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если известно, что амплитуда колебаний равна 4 см, период – 2 с, а начальная фаза колебаний равна .	Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид x = А sin (ω t + φ0). Циклическую частоту колебаний определим из соотношения . Подставив данные, переведенные в систему в СИ в уравнение колебаний, получим ответ: (м).
Задача 2. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид: Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии x=2 м от источника колебаний через t=1с после начала колебательного движения. Скорость распространения колебаний V=150 м/с.	Решение. Уравнение волнового движения имеет вид . Волновое число , подставим его в уравнение волны: . Расчеты дают х =9,4^.10^-3 м.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. 1. Записать дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний. 2. Записать решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний. 3. Нарисовать график зависимости смещения от времени для гармонического свободного незатухающего колебания. 4. Что называется амплитудой? Укажите амплитуду на графике, приведенном Вами в ответе на вопрос 3. 5. Что называется фазой колебания? Как ее рассчитать? 6. Что называется периодом колебаний Т? Единицы измерения периода Т. 7. Связь между циклической частотой w и периодом колебаний Т. (Формула) 8. Запишите формулы для расчета скорости и ускорения при колебаниях, если х = А sin (w0 ×t - j0 ). 9. Используя только что полученные формулы, нарисуйте графики зависимости V = V (t), = (t). 10. Запишите дифференциальноеуравнение затухающих гармонических колебаний. 11. Запишите решение дифференциального уравнения затухающих гармонических колебаний 12. Как рассчитать амплитуду гармонических затухающих колебаний? Что такое b? Размерность. 13. Как рассчитать период гармонических затухающих колебаний для случая малого затухания? Формула. 14. Как рассчитать циклическую частоту гармонических затухающих колебаний, зная w0 и b? Формула. 15. Нарисовать график зависимости амплитуды затухающих гармонических колебаний от времени 16. Нарисовать график зависимости Х ( t) для затухающих гармонических колебаний. Указать на графике период колебаний.
17. Что такое декремент затухания d? Дать определение. 18. По какой формуле рассчитывается декремент затухания d? Размерность декремента затухания d? 19. Как рассчитать логарифмический декремент затухания l? 20. Размерность логарифмического декремента затухания l? 21. Нарисовать графики затухающих гармонических колебаний, отличающихся значением коэффициента затухания b. 22. Как рассчитать кинетическую энергию при колебательном движении? 23. Как рассчитать потенциальную энергию при колебательном движении? 24. Как рассчитать полную энергию при колебательном движении? 25. Запишите выражение для смещения частицы от положения равновесия y, отстоящей от колеблющегося источника на расстояние x («уравнение волны»). 26. Как рассчитать волновое число k? 27. Какое соотношение существует между разностью фаз Dj и разностью хода D C? 28. Укажите диапазон частот для звуковых волн. 29. Укажите частотный диапазон ультразвуковых волн. 30. Какие частоты соответствуют инфразвуковым волнам.
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ 1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид см. Определить: a) Чему равны амплитуда, период, циклическая частота, начальная фаза, линейная частота; b) Значение фазы в момент времени t=1/6 с; c) Максимальные значения скорости и ускорения колебательного движения; d) Полную энергию колебаний, если масса тела m=10 г. (А =5 см, Т =1 с, ω0=2π с^-1, φ0=π/3, ν=1 Гц,φ= , V max=0,1π м/с, a max=0,2π^2 м/с^2, W =5π^2·10^-5 Дж.) 2. Начертить график колебательного движения, совершаемого по закону (м). Указать на графике амплитуду и период колебаний. 3. Чему равна циклическая частота гармонических колебаний, представленных на рисунке? (0,1π с^-1). 4. Чему равна полная энергия гармонических колебаний, представленных на рисунке? Масса тела равна m=10г. () 5. Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстояние Dx=1,75 м друг от друга, если длина волны l=1м. (3,5π) 6. Частота колебаний равна 100 Гц, коэффициент затухания равен 0,25 с^-1. Определить логарифмический декремент затухания. (25·10^-4) 7. Написать уравнение плоской волны, если амплитуда равна 3 см, период 2 с, длина волны 200 м. 8. Нарисовать графики затухающих гармонических колебаний, отличающихся значением коэффициента затухания b. Причем b1 > b2 . 9. Гармоническое колебание задано уравнением X=5 cos (2p t +p/4) (см). Получить уравнение для расчета скорости. Чему равна амплитуда скорости? (10p см/с) 10. Ухо человека может воспринимать звуки частотой приблизительно от 20 до 20000 Гц. Между какими длинами волн лежит интервал слышимости звуковых колебаний? Скорость звука в воздухе считать равной 340 м/с. 11. Уравнение плоской механической волны для некоторой точки упругой среды дано в виде (м). Запишите уравнение волны для точки, отстоящей от данной на расстояние 4 м. 12. Камертон совершает 130 колебаний в секунду. Какова длина волны звука в воздухе, если скорость звука 325 м/с? 13. Найти длину волны, если скорость распространения колебаний 300 м/с, а уравнение незатухающих колебаний имеет вид X =2sinp t /3 (см) 14. Какова частота колебаний, если наименьшее расстояние между двумя точками, колеблющимися в одинаковых фазах, равно 3 м? Скорость распространения колебаний 330 м/с 15. Найти длину волны основного тона "ля" с частотой 435 Гц. Скорость звука принять равной 340 м/с.

Дата добавления: 2015-10-21