7.Поверхности второг порядка.

7.Поверхности второг порядка. Опр. Пов-ть 2го порядка — геом место точек, декартовы прямоугольные коор-ты к-ых удовлетворяют ур-ию вида: в к-ом, по крайней мере один из коэф-ов a 11, a 22, a 33 и a 12, a 23, a 13 одновременно отличен от нуля. Ур-ие (1) м/т быть преобразован с помощ парал-го перенос и поворот системы коорд (отно-но одной из коор-х прям) к следующему виду: эллипсоид: однополостной гиперболоид: двуполостной гиперболоид: Величины a, b, c наз-ся полуосями эллипсоида и гиперболоида. эллиптическим параболоид: гиперболическим параболоид: где p и q >0числа,наз-ые параметр параболоида. Сфера радиуса R с центром в начале координат: x^2+y^2+z^2=R Опр. Кон-ой поверхност – наз-ся пов-ть получ-ная движ-ем образующ-с фиксиро-ной точк вдоль направляющей. Опр. Цилиндрической пов-ью наз-ся геом место пар-ых прям, перес-щих данн лин. Эта линия наз-ся направляющ, а пар-ые прям – образующ. Пов-ть, к-ая задается уравнением: 1) - эллиптический цилиндр 2) - гиперболический цилиндр 3) - параболический цилиндр Метод сечений Пересекаем гиперболич параболоид плоскостями, //ыми пл-ти YOZ. Их ур-я запишем в виде x=h. Если сек пл-ть∩OX в т.(h;0;0), то сеч-ями явл-ся параболы, заданные сист ур-ий: X=h; , ветви парабол направлены вниз, а вершины лежат в сечении пов-ти пл-тью XOZ, кот-ое задается сист ур-ий: y=0; -это парабола в пл-ти XOZ, ветви ее направлены в положит сторону оси OZ.Проводим сечения, //ые пл-ти XOY. Получаем гиперболы, заданные системами ур-ий: z=h; .При h>0 действит оси гипербол //ны оси OX. При h<0 действит оси //ны оси OY. Если h=0, то в сеч получаеться фигура пл-ти XOY, заданная ур-ем: - это прямые, пересекающиеся в нач координат.

8. Движение плоскости. Опр. Движением плоскости (пространства) называется преобразова­ние, сохраняющее расстояния между точками. Другими словами - преобразование d есть движение плоскости (пространства), если для любых точек М, N этой плоскости (пространства) MN=M1N1, где М1 = Мd, N1=Nd. Пр. поворот пл вокруг точки, осевая, скользящая симметрии(осев симм+//перенос), параллельн перенос, тождественное преобраз. Гомотетия, движением не является. Она является движением только при к= ± 1. Св-ва. 1) при Д пл прямая отобр в прям, отр в отр, луч в луч. 2) при Д сохраняется величина угла; 3)при Д окр в окр. 4)Д сохраняет параллельн прям; 5)при Д в , при этом: а)если 6) Если Д имеет 3неподвижные не коллинеарные точки, то оно яв-ся тождественным преобраз-м плоскости. (А ВС, δ:А→А1=А, В→В1=В, С→С1=С. М-произв точка (М≠А, ≠В, ≠С). δ(М)=М1. Д-м: М1=М) #МОП.!М1≠М. δ: А→А, М→М1, след АМ=АМ1, след Аϵl, l-середин перпенд к ММ1. Аналогично ВМ=ВМ1 и Вϵl, СМ=СМ1 и Сϵl, тогда А, В, С-точки одной прям -?!# 7) если А и В неподвижн точки при Д δ, то люб точка прямой АВ-яв-ся неподвижной.(δ: А→А1=А, В→В1=В, МϵАВ, δ(М)=М1.Д-м: М1=М.#М1ϵАВ (св1) # 8) если Д имеет 2 неподвиж точки А и В, то оно яв-ся либо тождественным преобраз-м пл, либо осевой симметрией с осью АВ. #δ:А→А, В→В, тогда все точка АВ неподв.!МϵАВ, δ:А→А, М→М1, след АМ1=АМ, след М1ϵокр(А; АМ). δ: В→В, М→М1, след ВМ1=ВМ, след М1ϵокр(В; ВМ), след М1-общая точка 2х окр. Значит либо М1=М, тогда δ-тождест преобр пл=Е, либо М1=σАВ(М) и тогда δ= σАВ# Т 1. Всякое движение плоскости можно представить в виде композиции не более трех осевых симметрии . Доказательство. Пусть движение δ отображает точки А и В на точки А1 и В1 Попытаемся с помощью осевых симметрии вернуть точки А1 и В1 в первоначальное положение. Рассмотрим осевую симметрию s 1, которая точку А1 отображает на точку А. Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку АА1. При этом точка В1 отобразится на точку В2. Получили равнобедренный треугольник ВВ2А, АВ=А1В1=АВ2 (при движениях d и s 1 сохраняются расстояния). Равнобедренный треугольник ВВ2А имеет ось симметрии, которая проходит через А и середину отрезка ВВ2. Симметрию с этой осью обозначим через s2. Рассмотрим движение d•s1•s2 Оно имеет неподвижные точки А и В, значит, это движение либо тождественное преобразование е, либо осевая симметрия s. Если d s1s2= e, то, умножив это равенство справа на s2s1 получим, что d = s2s1 (учитываем, что s2s2=s1s1=e). Если d s1s2=s, то таким же способом приходим к равенству d = s2s1s. Итак, в первом случае данное движение есть композиция двух симметрии, во втором - трех. Теорема доказана. Учитывая результат этой теоремы, можно описать все виды движений. Выяс­ним, какие движения получаются в результате композиции двух и трех осевых сим­метрии. Все движения можно разбить на два класса. Движения первого рода. Сюда относятся движения, полученные в виде ком­позиции двух симметрии. Они не меняют ориентацию фигур на плоскости. Действи­тельно, при осевой симметрии ориентация фигуры меняется на противоположную, значит, четное число симметрии не меняет ориентацию фигуры.(паралл перен, поворот вокруг т, тождеств преобр) Движения второго рода. Это движения, представленные композицией трех осевых симметрии, и сами осевые симметрии. Они меняют ориентацию фигур(осевая симметр, скользящая симметр).

Дата добавления: 2015-10-21