Примеры решения задач ЕГЭ по математике

Примеры решения задач ЕГЭ по математике

С1. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Уравнение равносильно системе уравнений:

(2) ) )

. (3)

Для решения уравнения (1) сделаем замену tgx=t. Уравнение примет вид

2t²-7t+6=0. D=1, корни t₁=2, t₂= . Получим tgx=2 или tgx= ;

х= arctg2+ х= arctg + , . С помощью тригонометрической окружности отберем корни, удовлетворяющие неравенствам (3). Получим arctg2+ и arctg + ,

б) Изобразим на тригонометрической окружности заданный промежуток .

Отрезку arctg2+ arctg + .

Ответ: а) arctg2+ arctg + ,

arctg2+ arctg + .

С2. В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 12, боковые ребра 13. Около пирамиды описана сфера. Найдите расстояние от центра этой сферы до плоскости основания пирамиды.

Решение.

Пусть правильный треугольник АВС – основание данной пирамиды, точка О - центр ∆АВС, D – вершина пирамиды. Если точка Р – центр описанной около пирамиды сферы, то точка Р равноудалена от точек АВС, значит, она лежит на прямой, проходящей через точку О и перпендикулярной плоскости АВС, т.е. на прямой DО. С другой стороны, точка Р равноудалена от вершин С и D на плоскости DСО, значит, Р является точкой пересечения серединного перпендикуляра прямой DС и прямой DО. Если М – середина DС, то PM DO. Если К- середина АВ, то СК= 6 ; СО= СК=4 Из прямоугольного треугольника DОС = .

Обозначим R радиус описанной сферы. Тогда DP=CP=R,

OP=DO-R=11-R. В прямоугольном треугольнике POC по теореме Пифагора (11-R)²+(4 ²=R² или 121-22R+R²+48=R². Отсюда R= .

Расстояние от центра сферы Р до плоскости основания пирамиды есть расстояние ОР. Получим ОР= 11-R=11- = .

Ответ:

Дата добавления: 2015-10-21