Міністерство освіти I науки україни

Міністерство освіти I науки україни

Національний аерокосмічний університет

ім. М. Е. Жуковського “ХАІ”

Кафедра 301

Домашнє завдання
з курсу "Теорія автоматичного керування"

Виконав: студент 333 групи

В’юннік Д.О.

Перевірив:

Паршин А.П.

Харків, 2014 рік

Варіант 3

Для САС швидкості обертання шпінделя токарного верстата, що визначена структурною схемою (рис. 1.1)

W _ПКП(s)

W _ПП(s)

W _ЕД(s)

W _ЕД(s)

W _ТГ(s)

W _КЕ(s)

U _З

E (s)

U _ПКП(s)

U _ПП(s)

W(s)

U _ТГ(s)

M _Н(s)

U _КЭ(s)

–

Рисунок 1.1 – Структурна схема САС

та передаточними функціями елементів:

– послідовно коректуючого пристрою: ;

– підсилювача потужності: ;

– електродвигуна:

;

;

– тахогенератора: ;

– коректуючого елементу: .

вирішити наступні задачі:

1) побудувати перехідні характеристики за задаючим та збурюючим впливом, визначити показники якості;

2) побудувати частотні характеристики САС при М _н=0 (АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАФЧХ), визначити показники якості;

3) побудувати та провести графічну лінеаризацію регульованої статичної характеристики ОАС, що визначена у вигляді таблиці;

4) провести аналіз стійкості САС з використанням: першого методу Ляпунова, методу Гурвіца, методу Найквіста;

5) оцінити керованість та спостережуваність САС;

6) виконати синтез послідовного коректуючого пристрою методом логарифмічних амплітудно-частотних характеристик.

Рішення задачі 1. Передаточні функції замкненої САС:

– за задаючим впливом (1.1)

– за збурюючим впливом

Коріння характеристичного рівняння

S₁=-26,36S₂=-483,19

Сталі часу замкненої системи

с; с.

Ступеневі вхідні впливи:

– задаючий

– збурюючий

Знаходимо перехідні функції замкненої САС, використовуючи зворотнє перетворення Лапласа:

– за задаючим впливом

Визначаємо A, B, C, приводячи до спільного знаменника вираження у круглих дужках

.

Прирівнюючи коефіцієнти поліномів при однакових ступенях s зліва і справа, отримуємо (1.2)

Вирішуючи систему рівнянь (1.2), знаходимо A =1, B =1,1 10^-4, C =-0.04. Тоді вираження для перехідної функції матиме вигляд:

– за збурюючим впливом аналогічно отримуємо

Результати розрахунку перехідних характеристик наведено в табл. 1.1.

Таблиця 1.1 Результати розрахунку перехідних характеристик

Перехідний процес	t, c		0.01	0.02	0.03	0.04	0.05
за задаючим впливом	U тг, В		0.158	0.311	0.43	0.52	0.59
за збурюючим впливом		0.204	0.402	0.555	0.672	0.762

Перехідний процес	t, c	0.06	0.07	0.08	0.09	0.1
за задаючим впливом	U тг, В	0.644	0.685	0.717	0.741	0.76
за збурюючим впливом	0.831	0.885	0.926	0.957	0.981

Закінчення таблиці 1.1

Графіки перехідних характеристик показано на рис. 1.2, рис. 1.3.

Рисунок 1.2 – Перехідна характеристика САС

за задаючим впливом

Рисунок 1.3 – Перехідна характеристика САС

за збурюючим впливом

Основні показники якості, що визначаються по перехідним характеристикам:

– t _пп – час останнього перетину характеристики з верхньою або нижньою межою допуску на стале значення вихідного сигнала (∆=±5%);

– ε_ст – стала похибка (ε_ст= U _з0 – U _{тг ст});

– σ – перерегулювання;

– М – показник коливальності.

Значення показників якості наведено в табл. 1.2.

Таблиця 1.2 Показники якості перехідних процесів

Перехідний процес	t пп, с	εст, В	σ, %	М
за задаючим впливом	0.065	0.24		–
за збурюючим впливом	0.065	0.981		–

Рішення задачі 2. По передаточній функції замкненої САС за задаючим впливом (1.1) визначаємо частотну передаточну функцію замкненої САС (заміна s → j ω) (2.1)

Перемножимо та розділимо рівняння (2.2) на комплексно сполучене знаменнику вираження

де дійсна частотна функція (2.3)

уявна частотна функція (2.4)

Амплітудно-частотна функція (2.5)

Результати розрахунку АЧХ наведено в табл. 2.1.

Таблиця 2.1 Результати розрахунку АЧХ

ω, рад/с
А (ω)	0.822	0.807	0.768	0.654	0.381	0.328	0.286	0.254	0.227	0.205	0.100	0.062

Графік АЧХ показано на рис. 2.1.

Рисунок 2.1 – Амплітудно-частотна характеристика САС

По графіку АЧХ визначаємо полосу пропускання системи як частоту, що відповідає значенню

Це значення

Фазочастотна функція.

Запишемо передаточну функцію САС (1.1) у вигляді добутку двох передаточних функцій

Частотна передаточна функція

де А ₁(ω), А ₂(ω), А (ω) – амплітудні частотні функції 1-ї ланки, 2-ї ланки та САС;

фазова частотна функція 1-ї ланки

фазова частотна функція 2-ї ланки

фазова частотна функція САС (2.6)

Результати розрахунку ФЧХ наведено в табл. 2.2.

Таблиця 2.2 Результати розрахунку ФЧХ

ω, рад/с
φ(ω), град		-68	-87	-104	-116	-125	-132	-138	-142	-146	-149	-152

Графік ФЧХ показано на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 – Фазочастотна характеристика САС

Амплітудно-фазочастотна характеристика.

Для побудови використовуються рівняння дійсної частотної функції (2.3) та уявної частотної функції (2.4).

Результати розрахунку наведено в табл. 2.3.

Таблиця 2.3 Результати розрахунку ФЧХ

ω, рад/с	U (ω)	V (ω)	ω, рад/с	U (ω)	V (ω)
	0,8216			-0,00853	-0,00454
	0,14293	-0,35223		-0,00732	-0,00353
	0,01228	-0,20426		-0,00634	-0,0028
	-0,02459	-0,09624		-0,00553	-0,00225
	-0,02694	-0,05525		-0,00486	-0,00183
	-0,02409	-0,03448		-0,0043	-0,00151
	-0,02043	-0,02265		-0,00383	-0,00126
	-0,01704	-0,01549		-0,00343	-0,00106
	-0,0142	-0,01095		-0,00308	-0,0009
	-0,01188	-0,00797		-0,00279	-0,00077
	-0,01002	-0,00595		-0,00253	-0,00067

Графік АФЧХ показано на рис. 2.3.

Рисунок 2.3 – Амплітудно-фазочастотна характеристика САС

Асимптотична логарифмічна амплітудно-фазочастотна характеристика.

Для побудови використовуються рівняння амплітудно-частотної функції (2.3) та фазочастотної функції (2.4). Для наочності побудови приймемо коефіцієнт передачі САС К _с=8,22.

Логарифмічна амплітудно-частотна функція

Частоти сполучення асимптот:

1.

2.

Розділяємо частотну область на три діапазони. Для кожного діапазона записуємо рівняння відповідної асимптоти:

1) В цьому діапазоні допускається, що складові підкорінних виражень логарифмів

тому їх не враховуємо. Тоді рівняння першої асимптоти матиме вигляд

2) В цьому діапазоні допускається, що складові підкорінних выражень логарифмів (не враховуємо одиницю) і Тоді рівняння другої асимптоти матиме вигляд

3) В цьому діапазоні допускається, що складові підкорінних выражень логарифмів і . Тоді рівняння третьої асимптоти матиме вигляд

Нахил першої асимптоти 0 дБ/дек, другої –20 дБ/дек, третьої –40 дБ/дек.

Координати точок сполучення асимптот:

1)

2)

Для побудови ЛФЧХ використаємо дані табл. 2.4.

Таблиця 2.4 Результати розрахунку ЛФЧХ

ω, рад/с
lg (ω), дек		1.7		2.3	2.5	2.6
φ(ω), град	-4.3	-47	-76	-107.2	-124.6	-135.8
ω, рад/с
lg (ω), дек	2.7	2.78	2.85	2.9	2.95
φ(ω), град	-143.4	-148.8	-152.8	-156	-158.6	-160.6

Графіки ЛАФЧХ показано на рис. 2.4.

Рисунок 2.4 – Логарифмічні амплітудно-частотна та

фазочастотна характеристики САС

По графікам ЛАФЧХ визначаємо запаси стійкості по амплітуді та по фазі:

– φ _з = 45 град – віддалення графіка ФЧХ від рівня «-180» на частоті зрізу системи;

– γ_з = ∞ – віддалення графіка ЛАЧХ від вісі частот на частоті точки перетину ФЧХ з рівнем «-180».

Рішення задачі 3. Регульована статична характеристика об’єкта автоматичної стабілізації (ОАС) визначена у вигляді таблиці 3.1.

Таблиця 3.1 Регульована статична характеристика ОАС

U З, В		1.2			3.5		4.5
U ТГ, В			1.5	3.5	5.5			8.7	9.6	9.9	10.2	10.4	10.5

Графік регульованої характеристики наведено на рис. 3.1.

Рисунок 3.1 – Регульована характеристика САС

На графіку вибираємо робочу точку в середині близької до лінійної ділянки характеристики. Проводимо похідну до графіка в робочій точці. Задаємо максимальне відхилення між похідною і характеристикою 0.5 В. Обмежуємо похідну точками, віддаленими від графіка на величину максимального відхилення. Записуємо атрибути лінеаризації:

1) р.т.:[3.3; 4.75] – координати робочої точки;

2) δ _max=0.5 B – максимальне відхилення лінеаризації;

3) Δ U _з=3.8–2.54=1.26 В – діапазон лінеаризації за задаючим впливом;

4) Δ U _тг=6.55–2.26=4.29 В – діапазон лінеаризації по виходу;

5) – коефіцієнт передачі САС за задаючим впливом;

6) – рівняння похідної у відхиленнях.

Рішення задачі 4. Аналіз стійкості САС з використанням:

– першого методу Ляпунова;

– методу Гурвиця;

– методу Найквіста.

Метод Ляпунова. Передаточна функція САС за задаючим впливом (1.1)

Характеристичний поліном системи

Коріння характеристичного полінома

Система стійка, оскільки всі коріння характеристичного рівняння негативні.

Метод Гурвиця. Характеристичний поліном системи

Матриця Гурвиця

Діагональні визначники

Система стійка, оскільки всі коефіцієнти характеристичного рівняння позитивні та всі діагональні визначники позитивні.

Метод Найквіста. Передаточна функція розімкненої САС за задаючим впливом

Частотна передаточна функція

Дійсна частотна функція

Уявна частотна функція

Результати розрахунку наведено в табл. 3.8.

Таблиця 4.1 Результати розрахунку АФЧХ

ω, рад/с	U (ω)	V (ω)	ω, рад/с	U (ω)	V (ω)
	4,606			-0,00837	-0,00423
	-0,00374	-0,41471		-0,00716	-0,00329
	-0,03111	-0,20175		-0,00618	-0,0026
	-0,034	-0,09028		-0,00539	-0,0021
	-0,03001	-0,05177		-0,00473	-0,00171
	-0,02513	-0,03208		-0,00419	-0,00141
	-0,02077	-0,02116		-0,00372	-0,00117
	-0,01705	-0,01441		-0,00333	-0,00099
	-0,01405	-0,01016		-0,003	-0,00084
	-0,01173	-0,00742		-0,00271	-0,00072
	-0,00984	-0,00553		-0,00246	-0,00062

Графік АФЧХ показано на рис. 4.1.

Рисунок 4.1 – АФЧХ САС

Оскільки розімкнена система стійка і АФЧХ розімкненої системи не охоплює точку з координатами (-1; j 0), то і замкнена система також стійка.

Рішення задачі 5. Передаточна функція замкненої системи за задаючим впливом (1.1)

Рівняння вхід-вихід у зображеннях

Використавши зворотне перетворення Лапласа, отримаємо диференціальне рівняння вхід-вихід системи

Вводимо змінні стану:

Запишемо рівняння стану та виходу

Або в матричній формі

де – матриця стану;

– матриця входу;

– матриця виходу.

Матриця керованості

де

тоді

Старший визначник матриці керованості

отже ранг матриці керованості дорівнює порядку системи, тому система керована.

Матриця спостережуваності

де

тоді

Старший визначник матриці спостережуваності

отже ранг матриці спостережуваності дорівнює порядку системи, тому система спостережувана.

Рішення задачі 6. Вимоги щодо якості перехідних процесів:

– допустима стала похибка ε_доп = 0.02 В;

– час перехідного процесу t _пп = 0.03 с;

– максимальне перерегулювання σ _max = 20 %.

Послідовність розрахунку:

а) визначаємо потрібне значення коефіцієнта передачі розімкненої системи за задаючим впливом, виходячи з вимоги забезпечення точності системи в сталому режимі роботи.

Передаточні функції замкненої системи за похибкою від:

– задаючого впливу

– збурюючого впливу

Використовуючи теорему про кінцеве значення оригіналу, отримуємо формули для розрахунку сталої похибки:

– від задаючого впливу (6.1)

– від збурюючого впливу (6.2)

Вирішуючи рівняння (6.1), (6.2) відносно , отримуємо:

В якості потрібного обираємо більше значення:

Знаходимо коефіцієнт передачі послідовного коректуючого пристрою

б) будуємо асимптотичну логарифмічну амплітудно-частотну характеристику наявної розімкненої системи по передаточній фунції розімкненої системи за задаючим впливом з урахуванням потрібного значення коефіцієнта передачі:

Частотна передаточна функція розімкненої САС (заміна s j ω) (6.3)

Перемножимо та розділимо рівняння (6.3) на комплексно сполучене знаменнику вираження

де дійсна частотна функція (6.4)

уявна частотна функція (6.5)

Амплітудно-частотна функція (6.6)

Логарифмічна амплітудно-частотна функція

Частоти сполучення асимптот:

3.

4.

Розділяємо частотну область на три діапазони. Для кожного діапазона записуємо рівняння відповідної асимптоти:

1) В цьому діапазоні допускається, що складові підкорінних виражень логарифмів

тому їх не враховуємо. Тоді рівняння першої асимптоти матиме вигляд

2) В цьому діапазоні допускається, що складові підкорінних виражень логарифмів (не враховуємо одиницю) і Тоді рівняння другої асимптоти матиме вигляд

3) В цьому діапазоні допускається, що складові підкорінних виражень логарифмів і . Тоді рівняння третьої асимптоти матиме вигляд

Нахил першої асимптоти 0 дБ/дек, другої –20 дБ/дек, третьої –40 дБ/дек.

Координати точок сполучення асимптот:

в) будуємо бажану логарифмічну амплітудно-частотну характеристику розімкненої системи. Спочатку знаходимо бажану частоту зрізу системи, використовуючи показники якості t _ПП, σ _max та графіки залежності часу перехідного процесу та перерегулювання від максимуму дійсної частотної характеристики, згідно якими для σ _max = 20 % отримуємо

отже бажана частота зрізу дорівнює

Через точку на вісі частот, що відповідає проводимо середньочастотну асимптоту під кутом -20 дБ/дек та обмежуємо її зліва і справа точками на відстані від вісі частот, що дорівнює запасам по модулю L ₁ та L ₂. Значення L ₁ та L ₂ визначаємо за допомогою графіків залежності запасів по модулю та по фазі від перерегулювання, згідно з якими для σ _max = 20 % отримуємо

Низькочастотна асимптота бажаної характеристики співпадає з низькочастотною асимптотою наявної характеристики, оскільки її положення визначається потрібним значенням коефіцієнта передачі розімкненої системи

Область високих частот суттєво не впливає на якість перехідного процесу тому, що об’єкт керування являє собою фільтр низьких частот.

Сполучення середньочастотної асимптоти з низько- та високочастотними асимптотами проводимо, продовжуючи її вліво до перетину з низькочастотною асимптотою та вправо до перетину з високочастотною асимптотою. Результат такого способу сполучення:

– збільшення запасів по модулю L ₁ та L ₂;

– зменшення частот сполучення бажаної ЛАЧХ, що дозволить спростити структуру коректуючого пристрою;

г) отримуємо передаточну функцію послідовного коректуючого пристрою, для чого проводимо графічне віднімання від бажаної ЛАЧХ наявної ЛАЧХ

Графіки наявної, бажаної ЛАЧХ та ЛАЧХ послідовного коректуючого пристрою показано на рис. 6.1.

Рисунок 6.1 – Наявна, бажана ЛАЧХ та ЛАЧХ послідовного коректуючого пристрою

По визначаємо сталі часу та записуємо передаточну функцію послідовного коректуючого пристрою:

д) розраховуємо перехідні характеристики замкненої скоректованої системи та визначаємо показники якості.

Передаточна функція розімкненої скоректованої системи

Передаточні функції замкненої скоректованої системи:

– за задаючим впливом

– за збурюючим впливом

Згідно з методикою вирішення задачі 1, отримуємо рівняння перехідних процесів:

– за задаючим впливом

(6.7)

– за збурюючим впливом

Графіки перехідних характеристик показано на рис. 3.13, рис. 3.14.

Рисунок 6.2 – Перехідна характеристика САС

за задаючим впливом

Рисунок 6.3 – Перехідна характеристика САС

за збурюючим впливом

Визначаємо показники якості перехідних процесів:

1) за задаючим впливом:

– час перехідного процесу t _пп = 0.005 с;

– стала похибка ε_ст = 0.02 В;

– перерегулювання σ = 0 %;

2) за збурюючим впливом. Оскільки максимальне відхилення керованої змінної в перехідному процесі Δ U _ТГ = 5.6·10^-8 В << ε_доп, можна вважати, що система не реагує на збурення.

Таким чином, показники якості скоректованої системи повністю задовольняють вимогам;

е) обираємо схему та визначаємо параметри коректуючого пристрою. Передаточну функцію (6.6) можна реалізувати за допомогою електричної схеми на основі операційних підсилювачів (рис. 6.4).

Рисунок 6.4 – Електрична принципова схема

коректуючого пристрою

Записуємо рівняння для коефіцієнтів підсилення та сталих часу:

Обираємо номінали опорів та конденсаторів:

Висновок: В даній роботі розглянута задача стабілізації кутової швидкості шпинделя токарного верстату САС.

Розрахувавши показники якості САС з урахуванням коректуючого елементу ми переконалися, що введення K_КЕ покращує характеристики якості системи. У розрахунку видно, що час перехідного процесу (за збурюючим впливом) зменшується.

Провели аналіз стійкості САС з використанням:

– першого методу Ляпунова;

– методу Гурвиця;

– методу Найквіста.

Метод Ляпунова: Система стійка, оскільки всі коріння характеристичного рівняння негативні.

Метод Гурвиця: Система стійка, оскільки всі коефіцієнти характеристичного рівняння позитивні та всі діагональні визначники позитивні.

Метод Найквіста: Оскільки розімкнена система стійка і АФЧХ розімкненої системи не охоплює точку з координатами (-1; j 0), то і замкнена система також стійка.

Система спостережувана, тому що, ранг матриці спостережуваності дорівнює порядку системи.

---

Дата добавления: 2015-10-21