Определение: Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

Билет №1 Первообразная функция. Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F¢(x) = f(x). Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число. F1(x) = F2(x) + C. Неопределенный интеграл. Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Записывают: Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Свойства: 1. 2. 3. 4. где u, v, w – некоторые функции от х. 1. Таблица неопределённых интегралов. = = = = = = = e^x + C = sinx + C = -cosx + C = tgx + C = -ctgx + C = = =	Билет №2 Способ подстановки (замены переменных). Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается: Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана. Пример. Найти неопределенный интеграл . Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt. Интегрирование по частям. Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv)¢ = u¢v + v¢u где u и v – некоторые функции от х. В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: или ; Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций. Пример. Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.	Билет №3 Определенный интеграл. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). y M m 0 a xi b x Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b] Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, …,xn – xn-1 = Dxn; На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции. [x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn. Составим суммы: n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn = n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn = Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой. Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a) Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e. x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, …, xn-1 < e < xn. Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn = Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi Следовательно, Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.	Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке. Свойства определенного интеграла. 1) 2) 3) 4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то 5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: 6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что Доказательство: В соответствии со свойством 5: т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число eÎ [a, b], что если и m = f(e), а a £ e £ b, тогда . Теорема доказана. 7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов. 8) Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция j(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка e, такая, что	Билет №4 Вычисление определенного интеграла. Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла. Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х. Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела. Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница. Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а: Тогда . А при х = b: Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница: Теорема доказана.
Билет №5 Интегрирование по частям. Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям: Замена переменных. Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t). Тогда если 1) j(a) = а, j(b) = b 2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b] 3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то Тогда Пример. При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.	Билет №6 Вычисление площадей плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле: Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)[f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле: Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой: где t1 и t2 определяются из уравнений a=x(t1), b=x(t2) [y(t) ≥ 0 при t1 ≤ t ≤ t2]. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом: Билет №7 Вычисление длины дуги кривой. y y = f(x) DSi Dyi Dxi a b x Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как . Тогда длина дуги равна . Из геометрических соображений: В то же время	Тогда можно показать (из соображений .), что Т.е. Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем , где х = j(t) и у = y(t). Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то Если кривая задана в полярных координатах, то , r = f(j). Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x^2 + y^2 = r^2. 1 способ. Выразим из уравнения переменную у. Найдем производную Тогда Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности. 2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r^2cos^2j + r^2sin^2j = r^2, т.е. функция r = f(j) = r, тогда	Билет №8 Несобственные интегралы. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b]. Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥). Обозначение: Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится. Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида: Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют. Пример. -не существует. Несобственный интеграл расходится. Пример. - интеграл сходится	Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие и интеграл сходится, то тоже сходится и ³ . Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие и интеграл расходится, то тоже расходится. Теорема: Если сходится, то сходится и интеграл . В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.
Билет №9 Функции нескольких переменных При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных. Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных. z = f(x, y) Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной. Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует. Определение: Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию . Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие также верно и условие . Записывают: Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если (1) причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f(x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х. Можно записать . Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х. Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у. Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.	Билет №10 Полный Дифференциал. Пусть функция z = F(x,y) определена в некоторой окрестности точки M0 (x0,y0). Дадим x0 приращение ∆x, y - ∆y. Разность ∆z = F(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – F(x0,y0) – называется полным приращением функции. ∆xz = F(x0 + ∆x, y0) – F(x0,y0) – ч.п.по аргум. x ∆xz = F(x0, y0 + ∆y) – F(x0,y0) - ч.п.по аргум. y Необходимое условие дифференцируемости: Если функция z = F(x, y) дифференцируема в точке М0, то она имеет в точке М0 частные производные по x и по y, причём: Доказательство: По условию z = F(x,y) дифференцируема в точке М0, то есть ∆z = F(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – F(x0,y0) = A∆x + B∆y + O() (3) а) ∆x ≠ 0, ∆y ≠ 0, тогда ∆xz = F(x0 + ∆x, y0) – F(x0,y0) = A∆x + О(∆x) Тогда: Отсюда вытекает доказательство формулы (2) Достаточное условие дифференцируемости: Пусть z = F(x,y) имеет в некоторой точке М0 частные производные δz/δx, δz/δy, причём они неприрывны в точке М0, тогда z = F(x,y) дифференцируема в точке М0 и имеет дифференциал dz. Билет №11 Касательная плоскость и нормаль к поверхности. нормаль N j N0 касательная плоскость Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0. Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности. В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе. Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение: . Уравнение нормали к поверхности в этой точке:	Экстремум функции нескольких переменных. Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой максимума. Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой минимума. Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой. Билет №12 Достаточное условие функции экстремумов 2-ух переменных. Утвреждение 1. Пусть f (x, y) – дважды непревывно дифференцируемая функция в окрестности точки (x0, y0). Для того, чтобы точка (x0, y0) была точкой локального минимума (максимума) достоточно, чтобы dl f (x0, y0) = 0 и dl^2 f (x0, y0) = 0 был бы положительно (отрицательно) определённой квадратичной формой. Доказательство. Пусть - квадратичная форма. Ф положительно определена Ф отрицательно определена Если , то φ имеет минимум при t = 0 имеет локальный минимум в точке (x0, y0). Если , то положительно определена f имеет локальный минимум в точке (x0, y0).	Билет №13 Диф уры 1ого порядка задача коши Диф ур 1ого порядка F(x,y,y’)=0 у=у(х) решением д. у. называется функция у=у(х) которая имеет непрерывную производную у’(х) т.е. у=(у(х) непрерывно дифференцируема функция которая при подставлении в изходное уравнение обращается в верно тождество Задача коши Найти решение диффиринциального уравнения у’=f(x,y) удовлетворяющее начальным условиям у= у0 х= х0 Теорема коши Если в уравнение y’=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная по у непрерывна в D содержащая точки (х0,у0) существует и единственное решение диф ура удовлетворяющее начальным условиям Общим решением д.у. 1ого порядка называется функция у=у(х,с) так что у(х,с) – решение при любых с и любую задачу коши можно решить подбирая С Частное решение – общее решение при конкретном С F(x,y)=f1(x)*f2(y)-разделяющиеся переменные y’=f(y/x) –однородное уравнение z=y/x	Билет №14 Линейные уравнения 1ого порядка y’+p(x)y=q(x) функция и ее производные входят в первой степени q(x)=0 y’+p(x)y=0 Уравнение бернули y’+p(x)y=q(x)y^n y’/y^n+p(x)1/y^n-1=q(x) y’y^-n+p(x)y^1-n=q(x) y^1-n=z (1-n)y^-ny’=z’ y^-ny’=z’/(1-n) z’/(1-n)+p(x)z=q(x) – линейное относительно z Метод представления исходной функции в виде произведения у(х)=v(x)u(x) где v и u новые неизвесные Y=uv Y’=u’v+v’u U’v+v’u+p(x)uv=q(x) U’v+u(v’+p(x)v)=q(x) V’+p(x)v=0
Билет №15 Диффиринциальные уравненя высших порядков Уравнением n-ого порядка F(x,y,y’,…,y^n^-1)=0 n-порядок уравнения (1) y^(^n^)=f(x,y,y’,…,y^(^n^))-уранение разрешенное относительно старшей производной Задача Коши f(x,y,y’,…,y^(^n^)) непрерывно в D содержащее точку (х0у0) то существует и при том единственное решение уравнения (1) удовлетворяющее следующему условию Общее решение Д.У. n-ого порядка называется функция вида y=f(x,c1,c2,cn) Удовлетворяющая условию 1 при любых значениях С1 С2...Сn эта функция является решением уравнения 2 Всякое решение уравнения проявляется в виде y=f(x,ĉ1, ĉ2, ĉn)при произвольных значениях произвольных постоянных Диффиринциальные уравнения допускающие понижения порядка 1) 2) F(x,y^(k),y^(k+1),…,y^(n))=0 Y^(k)=Z F(x,z,z’,z’’,…,z^(n-k))=0 3)	Билет №16 Линейные однородные y^n+Pn(x)y^(^n^-1)+…+P1(x)y’+P0(x)y=f(x) линейное если P(x) непрерывно на(а,в) если f(x)=0 то это линейное однородное уравнение Расмотрим оператор d/dx=L этот оператор линейный так как может выносить константы и дробиться по длине L(y)=0 у-решение СУ- тоже решение где С=const L(cy)=cL(y) Y1 и Y2 –решения то Y1 + Y2 тоже решение L(Y1 + Y2)=L(Y1)+L(Y2)=0 Система функций У1 У2 У3 Уn называется линейной не зависимой если на (а,в) выполняется α1у1+ α2у2+ α3у3+…+αnyn=0 Это возможно только если все α=0 Если система функции у1 у 2… уn –ленейно зависимы на (а.в) то определитель вронского тождественно равен нулю Если у1 у 2… уn – линейно независимо для любого х принадлежащее (а,в) то w(x)≠0ни в одной точке интервала (а,в) Фундаментальной системой решения линейного однородного диффиринциального уравнения n-ого порядка называется любая система его n-линейно независимых частных решений Структура общего линейного однородного диффиринциального уравнения Пусть у1 у 2… уn-ФСР L(y)=0 тогда общее решение имеет вид у=с1у1+…+сnуn где с1,…,сn принадлежит R	Билет №17 Одн. лин. диф. ур-ия с пост. коэффициентами Рассмотрим: L[y]=any^(n)(x)+...+a1y^’(x)+a0y(x)=0 a1,...an –const,ÎR an≠0 Такое ур-ие – частный случай лин. одн. ур-ия Опр.: Многочлен вида М(λ)= an λ^n +...+ a1λ+ a0 наз. характеристическим многочленом ЛОДУПК(лин. одн. диф. ур-ия с пост. коэффициентами) L[y]=0, а ур- -ие вида М(λ)=0 наз. характ. ур-ем для ур-я L[y]=0 Легко видеть, что характ. ур-ие получается из диф. ур-ия путём замены k-той производной на λ^k, у(х) заменяется 1. Пример: y^IV+8y^’’+16y=0 – L[y]=0 λ^4 +8λ^2+16*1=0 – характ. ур-ие λ^4 +8λ^2+16=М(λ) – характ. многочлен Теорема: Число λ явл. корнем многочлена, тогда и только тогда, когда ф-я е^λх (λÎС) явл. решением ЛОДУПК L[y]=0 Док-во: (n=2) L[y]= a2y^’’+a1y^’+a0y=0 М[λ]= a2 λ^2+a1λ+ a0=0 0=L[е^λх]= a2(е^λх)^’’+a1(е^λх)^’+a0 е^λх= a2 λ^2 е^λх +a1λ е^λх + +a0е^λх= е^λх(a2 λ^2+a1λ+ a0)= е^λх* М(λ)=0 е^λх≠0=> М(λ)=0 Доказано. Замечание: если λ0 – корень характ. многочлена кратности k(k≥2), т.е. М(λ)=(λ – λ0)^k *N(λ0), где N(λ0)≠0, то доказывается, что помимо ф-и е^λ0хрешениямиодн. ур-ия также будут ф-и хе^λ0х, х^k^-1е^λ0х. Утверждение: пусть λ=α+iβÎС, тогда, если λ – корень характ. ур-ия, то и λ^-=α – iβ – корень характ. ур-ия, причём решениями явл. ф-и вида е^αхcosβx и е^αхsinβx Док-во: 1) Докажем, что ф-я y=U(x)+iV(x) явл. решением ЛОДУ L[y]=0<=>{L[U(x)]=0, L[V(x)]=0} 0=L[U+iV]=L[U]+iL[V] по опр. комплексное число равно 0 тогда и только тогда, когда и действ. и мнимая его части равны 0 0= L[U+iV]=L[U]+iL[V]ÎС<=>{L[U]=0, L[V]=0} 2) е^λх=e^(^α^±^iβ^)^x=(по ф-ле Эйлера) e^αx*e^iβx= e^αx(cosβx+isinβx)= e^αx*cosβx(=U)+i e^αxsinβx(=V)=U+V Формула Эйлера: e^iφ=cosφ+isinφ Замечание: Для того, чтобы найти ФСР ур-ия с постоянными коэффициентами нужно с помощью характ. ур-ия выбрать n-штук лин. независимых решений, с помощью W доказывается лин. независимость следующих возможных решений (считаем, что все λ различны и имеют соответствующую кратность) λjÎR j=1,...,m kj – кратность λj=αj±iβjÎС, j=m+1,...,n kj – кратность каждого αj+iβj и αj – iβj Метод решения ЛОДУ с пост. коэффициентами: 1)составить и решить характеристическое уравнение, определив кратность корней 2)по корням характеристического уравнения выписать ФСР 3)по теореме об общем решении выписать общее решение Пример: y^IV+8y^’’+16y=0 λ^4 +8λ^2+16=0 (λ^2+4)^2=0 λ^2+4=0 λ^2= – 4 λ=±2i k=2(кратность) e^±2ix=cos2x+isin2x e^0=1 ФСР: cos2x, xcos2x, sin2x, xsin2x yоо=c1cos2x+c2x cos2x+c3 sin2x +c4xsin2x	Билет №18 Своства решений линейного не однородного диф ура n-ого порядка Структура общего решения Общее решение линейного неоднородного диф ура равно сумме общего решения однородного уравнения соответствующего данному неоднородному и какого либо частного решения неоднородного уравнения уон=уоо+у чн Док – во L(y)=f(x) (1) Пусть U(x) часное решение уравнения тоесть L(U(x))=F(x) а Z(x) – oo тоесть L(z(x))=0 Составим функцию у=U(x)+z(x) (*) и покажем что она является решением линейного неоднородного диффиринциального уравнения 1) L(y)=L(u(x)+Z(x))=L(U(x))+L(Z(X))=F(X)+0=F(X) Значит (*) будет решением при любой константе 2) Пусть ϕ(х)-решение (1) ϕ(х)≠U(x) Φ(x)-U(x)-функция L(ϕ(x)-U(x))=L(ϕ(x)- L(U(x))=f(x)-f(x)=0 => Φ(x)-U(x)=ψ(x) является расширением однородного уравнения соответствующего неоднородному ψ(x)=z(x) и тогда ϕ(x)-U(x)=z(x) ϕ(x)=z(x)+ U(x) Принцип суппер позиции Если у1-частное решение уравнения L(y)=f1(x) а y2- частное решение уравнения L(y)=f2(x) то у1+у2 – частное решение L(y)=f1(x)+f2(x) Док-Во L(y1)=f1(x) L(y2)=f2(x) L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)=f1(x)+f2(x) => y+y - частное решение L(y)=f1(x)+f2(x)	Билет №19 Отыскание частного решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коефицентами методом подбора Если правая часть L(y)=f(x) имеет вид f(x)=Pm(x)e^αx где Pm(x)=A0x^m+A1x^m^-1+…+Am-1x+Am многочлен «m» степени то частное решение уравнения L(y)=f(x) можно подобрать в виде у=Qm(x)e^αxx^k где Qm(x)=B0x^m+ B1x^m^-1+…+ Bm-1x+ Bm Многочлен «m» ой степени а число К показывает сколько раз α является корнем характерестического уравнения
Билет №20 Отыскание частного решения линейного неоднородного диффиринциального уравнения с постоянными коефицентами методом подбора для правой части вида… Если правая часть диффиринциального уравнения имеет вид f(x)=Pm(x)e^αxsinβx+Qm(x)e^αxcosβx где Pm(x) и Qm(x) многочлены степени m то частное решение уравнения L(y)=f(x) можно подобрать в виде Учн=(Mm(x)e^αxsinβx+ Mm(x)e^αxcosβx)x^k Где К показывает сколько раз число α+βi является корнем хоррактерестического уравнения	Билет №21 Метод вариаций произвольных постоянных для нахождения решения неоднородного линейного диффиринциального уравнения n ого порядка	Билет №22	Билет №23
				Оглавление 1. Первообразная. Свойство первообразных. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица неопределённых интегралов. 2. Замена переменной и интегрирование по частям неопределённом интеграле. 3. Определённый интеграл. Геометрический смысл и его свойства. Теорема о среднем для определённого интеграла. 4. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. 5. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле. 6. Вычисление площадей с помощью определённого интеграла в декартовых координатах, в полярных и для функции заданной параметрически. 7. Длина дуги и её вычисление в декартовой системе координат и для функции заданных параметрически. Дифференциал дуги и его геометрический смысл. 8. Несобственные интегралы I-ого рода (с бесконечными пределами). Эталонный интеграл и его сходимость. Теоремы сравнения (2-е шт.). Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. 9. Функции нескольких переменных. Область определения. Частные производные I-ого порядка и их геометрический смысл. Предел и непрерывность. 10. Полный дифференциал. Необходимое условие дифференцирования. Дифференциал функции 2-ух переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции (без доказательства). 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, в заданной точке. Экстремумы функции 2-ух переменных. Необходимое условие экстремумов. 12. Достаточное условие функции экстремумов 2-ух переменных (сначала доказать теорему о знаке квадратичной формы, а затем применить её к достаточному условию).

Дата добавления: 2015-10-21