Теоретическая механика

Теоретическая механика

С татика -раздел механики, изучающий равновесие объектов под действием приложенных к ним сил.

Абсолютно твердое тело- это тело, не изменяющее свою форму и размеры под действием внешних сил.

Связями называют ограничения, препятствующие перемещению объектов в пространстве

Принцип освобождаемости от связей: всякий несвободный объект можно рассматривать как свободный, если отбросить связи, заменив их реакциями

Реакцией связи называют силу, с которой данная связь действует на объект, препятствуя его перемещениям.

Реакция шарнирно-подвижной опоры (опора на катках) направлена перпендикулярно опорной поверхности; направление реакции шарнирно-неподвижной опоры неизвестно, поэтому в расчетах берем проекции реакции на координатные оси

Реакция натянутой нити направлена вдоль нити; реакция стержня направлена вдоль стержня

Реакция угла направлена перпендикулярно опорной поверхности. Реакция плоскости направлена перпендикулярно опорной поверхности.

Направление реакции подпятника неизвестно, поэтому в расчетах берем проекции реакции на координатные оси. Реакция подшипника направлена перпендикулярно оси подшипника.

Реакция плоскости, угла, нити, стержня, подпятника, подшипника, шарнира, подвижной опоры, неподвижной опоры, поверхности измеряется в ньютонах.

1Н это ; 1 кН это:10³ Н;

реакция жесткой заделки приложена в точке А

реакция угла приложена в точке D.

Рис. 1 Рис.2 Рис.3

Реакция шарнирно-неподвижной опоры приложена в точке А (рис 1,2,3);

Реакция опоры на катках приложена в точке D (рис.1,3).

Реакция нити приложена в точке С; (рис 1,2,3)

Реакция стержня приложена в точке D (рис.2).

Равномерно распределенная нагрузка приложена на участке СЕ (рис.3)

Равнодействующую равномерно распределенной нагрузки определяем по формуле .

Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки приложена на (посередине) от начала нагруженного участка длиной

Равнодействующую сил, равномерно распределенных вдоль отрезка прямой по линейному закону определяем по формуле

Равнодействующая сил приложена от большей стороны прямоугольного треугольника, распределенных вдоль отрезка прямой по линейному закону на расстоянии (одной трети)

Векторная величина- это величина, физический смысл которой определяется не только ее числовым значением, но и направлением в пространстве

Проекция вектора на координатную ось- это отрезок оси, заключенный между проекциями начала и конца вектора на эту координатную ось

Сосредоточенной называется сила, приложенная в точке.

Сила действие, которой равно действию системы в целом называется равнодействующей системы сил.

Виды систем сил	Уравнения равновесия	Степень свободы
Плоская система сходящихся сил	;
Пространственная система сходящихся сил	;
Система сил произвольно расположенная на плоскости	;
Система сил произвольно расположенная в пространстве

Уравновешенная система сил- это система, в которой все силы взаимно уравновешивают друг друга;

Уравновешивающая сила –это сила, приводящая систему сил к равновесию. Две равные по величине силы уравновешиваются, когда они действуют по одной прямой в разные стороны.

Равнодействующая двух сил, действующих по одной прямой в одну сторону равна их сумме; равнодействующая двух сил, действующих по одной прямой в разные стороны равна их разности.

Действие силы не изменится на поступательно движущиеся объект при переносе силы в точку, лежащую на линии действия силы. При переносе силы вдоль линии ее действия момент силы относительно данной точки не изменяется

Момент силы относительно точки - это произведение модуля силы на расстояние от линии ее действия до точки. Момент силы относительно данной точки равен нулю, если точка лежит на линии действия силы

При переносе силы в точку, не лежащую на линии действия силы добавится дополнительно к поступательному воздействию силы вращательное воздействие, вызванное моментом силы относительно точки ее переноса

Момент равнодействующей по теореме Вариньона при условии действия нескольких моментов на плоскость равен алгебраической сумме составляющих моментов;

Сходящиеся силы- это силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Две сходящиеся силы складываются геометрически по правилу параллелограмма. Геометрическое условие равновесия плоской системы сходящихся сил, когда силовой многоугольник замкнут. Направление равнодействующей системы сходящихся сил при построении силового многоугольника определяется начало вектора совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом последнего вектора.

Пара сил- это две параллельные, противоположно направленные и равные по модулю силы;

Пары сил эквивалентные друг другу- это пары, моменты которых одинаковы по величине и направлению.

Условия равновесия системы пар сил, расположенных в пространстве

Условия равновесия системы пар сил, расположенных в плоскости

Заданную пару сил можно уравновесить парой сил. Равнодействующая пары сил равна нулю.

Направления реакций опор балки, нагруженной парой сил и лежащей на двух опорах, из которых одна – шарнирно-неподвижная, а другая – на катках параллельно паре сил, но в разных направлениях;

Рычагом называется объект, имеющий неподвижную ось вращения и находящийся под действием сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Рычаг находится в покое, когда выполняется условие .

Определить в момент в заделке А консольной балки, если сила натяжения троса и расстояние .

Ответ: 25

В одной плоскости расположены три пары сил. Определить момент равнодействующий по теореме Вариньона, если моменты

Ответ: –200;

Консольная балка нагружена парами сил с моментами и . Определить момент в заделке по теореме Вариньона.

Ответ: 200;

На брус , закрепленный в шарнире , действуют вертикальные силы и . Определить расстояние , необходимое для того, чтобы брус в положении равновесия был горизонтальным, если расстояние .

Ответ: 6;

Центром параллельных сил называется точка приложения равнодействующей системы параллельных сил. Два уравнения равновесия имеет система параллельных сил, расположенных на плоскости. Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону равна по модулю сумме составляющих сил. Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в разные стороны равна по модулю разности составляющих сил.

Коэффициентом устойчивости называют отношение удерживающего момента к опрокидывающему;

;

Центр тяжести материального объекта – это точка приложения силы веса

Формулы для определения центра тяжести сложного плоского сечения.

;

Название фигуры	Площадь фигуры	Центр тяжести фигуры находится на пересечении…
Прямоугольник, со сторонами a и b		диагоналей
Треугольник, h- высота, a- основание		Медиан или на одной трети высоты от основания
окружность		осей

Центр тяжести у тела вращения находится на оси вращения;

Если фигура имеет одну ось симметрии, то центр тяжести находится на оси симметрии;

Если фигура имеет две оси симметрии, то центр тяжести находится на пересечении осей;

Сила трения направлена в сторону противоположную движению объекта. Сила трения возникает между трущимися поверхностями. Коэффициент трения скольжения- это отношение силы трения к силе нормального давления. Коэффициент трения скольжения идеальной поверхности равен 0

Коэффициент трения качения- это расстояние, на которое смещена результирующая реакция опорной поверхности упругого колеса от вертикальной оси колеса ;

Ферма- это стержневая система, каждый стержень которой при действии поперечных сил работает преимущественно на растяжение или сжатие;

Для плоских ферм условие статической определимости.

;

Нулевые стержни определяем по леммам о нулевых стержнях.

Стержень под номером 5 не нагружен

Стержень под номером 7 не нагружен

Стержень под номером 5 не нагружен

Кинематика- это раздел механики, изучающий движение объектов, без учета их масс и сил, вызывающих это движение

Линия, по которой движется материальная точка, называется траекторией движения.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве по отношению к принятой системе отсчета.

Название функции	Формульное обозначение	Графиком функции является…
линейная		прямая
квадратичная		парабола
обратная		гипербола

Способы задания движения материальной точки геометрический (или естественный) и координатный.Траекториюточки в координатной форме определяем путем исключения параметра времени . Уравнение эллипса

.

Скорость- это путь, пройденный за единицу времени. Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Способы задания движения точки

Параметры	Естественный способ задания движения	Векторный способ задания движения	Координатный способ задания движения
Путь	S=S(t)		X=x(t), Y=y(t)
Скорость
Полное ускорение
Касательное ускорение
Нормальное ускорение	,

- радиус кривизны,

Траектория движения точки – это геометрическое положение точки в пространстве.

Проекцией вектора на ось называется отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора.

Направляющим косинусом называют отношение проекции вектора на ось к величине вектора. - с осью ох, - с осью оу. Сумма углов между вектором скорости и осями составляет 90⁰.

Оси бывают естественные (нормаль, касательная и бинормаль) и координатные (Декартовы, оси x,y,z)

Скорость – это векторная величина, характеризующая изменения положения точки в пространстве за промежуток времени, направлено по касательной к траектории в сторону движения.

Ускорение – это изменение скорости за единицу времени.

Полное ускорение – это векторная величина, характеризующая изменение скорости по времени.

Касательное ускорение – это векторная величина, характеризующая изменение скорости по модулю, направлено по касательной к траектории.

Нормальное ускорение – это векторная величина, характеризующая изменение скорости по направлению, направлено всегда к центру кривизны. Вектор скорости и нормального ускорения всегда перпендикулярны друг другу.

В зависимости от траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным. Нормальное ускорение при прямолинейном движении равно нулю.

В зависимости от ускорения движение может быть равномерным, неравномерным и равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным).

Если вектор скорости и вектор касательного ускорения совпадают по направлению, то движение ускоренное, если нет, то замедленное.

Виды движения точки в зависимости от ускорения.

Виды движения	траек- тория	скорость	Радиус кривиз- ны	Полное ускорение	Касатель- ное ускорение	Нормаль- ное ускорение
Равномерное	прямая
кривая
Равнопе- ременное	прямая
кривая
Неравно- мерное	прямая
кривая

функция	уравнение	График
квадратичная	, вершина или	Параболла
линейная		прямая
обратная		гипербола

функция	производная
С
Х
Сх	С
х^п	пх^пө”

Поступательным движением объекта называется такое движение при котором все точки объекта движутся по одинаковой траектории, имеют одинаковую скорость и ускорение, поэтому движение объекта можно рассматривать как движение одной материальной точки, соответственно формулы для определения кинематических параметров точки действительны и для определения кинематических параметров твердого тела.

Движение объекта будем рассматривать в проекциях только на естественные оси.

Вращением объекта вокруг неподвижной оси будем называть поворот объекта на угол вокруг этой оси, поэтому уравнением вращения объекта считаем изменение угла поворота, т.е. .

Угловой скоростью называется векторная величина, характеризующая изменение угла поворота за единицу времени, направлена вдоль оси вращения.

Угловым ускорением называется векторная величина, характеризующая изменение угловой скорости за единицу времени, направленная вдоль оси вращения.

В зависимости от углового ускорения движение может быть равномерным, равнопеременным и неравномерным.

Зависимость линейных кинематических параметров от угловых.

параметры	линейные	ед.изм	угловые	ед.изм	зависимость
Закон движения	путь		Угол поворота		, R – расстояние до оси вращения
Скорость			-угловая скорость
Ускорение			-угловое ускорение
Касательное ускорение
Нормальное ускорение

Формулы сравнения при поступательном и вращательном движении объекта

Вид движения	Параметры	Поступательное движение	Вращательное движение
Равномерное движение	Закон движения
Скорость
Ускорение
Касательное ускорение
Нормальное ускорение
Равнопеременное движение	Закон движения
Скорость
Ускорение
Касательное ускорение
Нормальное ускорение
Неравномер- ное движение	Закон движения
Скорость
Ускорение
Касательное ускорение
Нормальное ускорение

Передачами называют механизмы, которые служат для передачи вращательного движения от одного вала к другому. Валы соответственно называются ведущим и ведомым. Передачи бывают зубчатые, лобовые, гибкой связью (ременные, цепные и т.д.)

Передаточным числом называют отношение большей угловой скорости вала к меньшей, поэтому .

Передаточным отношением называют отношение угловой скорости ведущего вала к угловой скорости ведомого вала, поэтому . Если передача называется понижающей, если - повышающей, если , то передача служит для изменения направления вращения вала.

Угол между вектором скорости и координатной осью 0х определяем .

Угол между вектором скорости и координатной осью 0у определяем .

Направление вектора скорости относительно координатных осей находим по направляющим косинусам

Ускорение –это изменение скорости за единицу времени. Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению, а касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению. Вектор нормального ускорения точки направлен по радиусу к центру кривизны. При прямолинейном замедленном движении объекта, вектор скорости лежит на одной прямой и противоположен по направлению вектору ускорения. При прямолинейном ускоренном движении объекта, как вектор скорости лежит на одной прямой и совпадает по направлению с вектором ускорения. При криволинейном движении точки вектор скорости и вектор нормального ускорения расположены перпендикулярны друг другу. Нормальное ускорение при прямолинейном движении равно нулю.

Сумма углов между вектором скорости и координатными осями составляет 90⁰.

Автомобиль движется по горизонтальной дороге с постоянной скоростью . Определить радиус закругления дороги в момент времени, когда нормальное ускорение центра автомобиля .

Решение:

Ответ: 200;

Точка движется с постоянной скоростью по дуге окружности радиуса . Определить нормальное ускорение точки.

Ответ: 200.

Точка движется по криволинейной траектории с касательным ускорением . Определить нормальное ускорение точки в момент времени, когда ее полное ускорение .

Решение:

Ответ: 3;

Даны нормальное и касательное ускорения точки. Определить полное ускорение точки.

Решение:

Ответ: 5;

При поступательном движении траектории, скорости, ускорения всех точек объекта одинаковы; при поступательном движении машины со скоростью 20 км/ч, запасное колесо движется со скоростью 20.

Объект 3, установленный на двух цилиндрических катках 1 и 2, совершает поступательное движение. Чему равно ускорение точки С, если ускорение точки А равно , причем . Ответ: 2;

Векторы угловой скорости и углового ускорения направлены вдоль оси вращения. Угловая скорость- это угол поворота объекта за единицу времени. Угловое ускорение- это изменение угловой скорости за единицу времени.

1 оборот колеса -это рад.

Основная теорема кинематики

Абсолютную скорость при сложном движении точки определяем

Абсолютное ускорение при сложном движении точки. определяем

Кориолисово ускорение при сложном движении точки определяем в векторном выражении , в скалярном выражении ., измеряется в м/с².

при поступательном переносном движении кориолисово ускорение точки равно нулю.

При вращении объекта кориолисово ускорение закрепленной точки на объекте равно нулю.

если вектор угловой скорости при переносном движении параллелен вектору относительной скорости, то Кориолисово ускорение равно нулю.

если вектор угловой скорости при переносном движении параллелен вектору относительной скорости, то угол между векторами равен нулю.

Угол между векторами переносной угловой скорости и относительной скорости равен 0⁰, значит векторы параллельны

вектор угловой скорости при переносном движении и вектор относительной скорости, если: расположены под углом 0⁰

Кориолисово ускорение равно нулю, если ,или , или

Мгновенный центр скоростей – это точка пространства, в которой в данный момент времени скорость как минимум двух точек объекта равны нулю.

Если известны направления векторов скоростей двух точек, то мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к этим векторам;

Стержень длиной движется в плоскости чертежа. В некоторый момент времени точки А и В стержня имеют скорости . Определить модуль мгновенной угловой скорости стержня

0;

Мгновенный центр скоростей катящегося колеса по горизонтальной плоскости находится в точке касания колеса с плоскостью.

Задача.Скорость центра катящегося по плоскости колеса радиуса равна . Определить скорость точки соприкосновения колеса с плоскостью. Ответ: 0

Основной закон динамики .

Основное уравнение динамики: .

Основное уравнение динамики в проекциях на координатные оси , в проекциях на координатные оси в дифференциальной форме .в проекциях на естественные оси .

Нормальная составляющей силы

, , .

Касательная составляющей силы , , .

Сила в проекциях на координатные оси .

Сила в проекциях на естественные оси .

Сила в векторной форме .

Метод кинетостатики в математическом выражении .

Сила инерции .

С какой целью в плоских механизмах для звеньев, движущихся плоско параллельно определяются ускорения их центров масс для определения величины и направления сил инерции при динамическом анализе механизмов.

Сравнительные формулы при поступательном движении и вращении вокруг неподвижной оси

Параметры	Поступательное движение	вращение
движущий фактор	Сила, Н=	Пара сил, с моментом. , .
Уравнение движения		Крутящий момент
Работа	, =
Мощность	, =
Кинетическая энергия	,

Работа –это произведение силы на расстояние.

Работа сил трения .

Работа сил при вращении объекта вокруг неподвижной оси .

Работа сил при перемещении объекта на расстояние .

Работа сил упругости .

Работа сил тяжести .

Работа сил сопротивления всегда отрицательна.

Давление силы на площадь рассчитывается .

Давление измеряется в и . 1Па= , 1 МПа= 10⁶Па= .

Жесткость пружины измеряется в .

Мощность -работа, выполненная за единицу времени. Мощность сил сопротивления всегда отрицательна.

Коэффициент полезного действия последовательно соединенных механизмов .

Коэффициент полезного действия .

На поршень гидроцилиндра действует сила , его скорость . Определить в кВт мощность силы давления масла.

Ответ: 12.

К диску диаметра который вращается с угловой скоростью , прижимаются две колодки. Сила трения между диском и колодкой равна . Определить мощность силы трения.

Ответ: –800;

Моторная лодка движется по реке со скоростью . Сила тяги двигателя равна . Определить в мощность силы тяги двигателя

Ответ: 24;

Какую работу совершают действующие на материальную точку силы, если ее кинетическая энергия уменьшается с 50 до 25Дж?

Ответ: –25;

Груз массой подвешен на нити длиной . Какую работу совершает сила тяжести груза при перемещении его в вертикальной плоскости из положения 2 в положение 1.

Ответ: –4;

На точку кривошипа, который вращается вокруг горизонтальной оси, действует в вертикальной плоскости сила . Определить мощность силы , если скорость точки равна .

Ответ: 200;

Коэффициент перевода мощности, выраженной в лошадиных силах, в кВт равен 0,736. Коэффициент перевода мощности, выраженной в кВт, в лошадиные силы равен 1,36.

Для того, чтобы перевести скорость , выраженную в в нужно записать .

Для того, чтобы перевести скорость , выраженную в в нужно записать .

1 кВт = 1000Вт;

Работа – произведение силы на расстояние.

Мощность – работа, выполненная за единицу времени.

Энергия – работа движущих сил.

сила	формула	Работа силы
Сила трения
Сила упругости
Сила тяжести

Работа силы на перемещении объекта

Если вектор силы составляет с направлением перемещения , тогда работа этой силы >0

Если вектор силы составляет с направлением перемещения 0 º > <90º, тогда работа этой силы >0

Если вектор силы составляет с направлением перемещения 180 º > >90º, тогда работа этой силы <0

Если вектор силы составляет с направлением перемещения =90º, тогда работа этой силы А=0

Работа силы при вращении объекта вокруг неподвижной оси

параметры	Поступательное движение	вращение
Движущая сила	сила	Пара сил
Уравнения движения
Работа
Мощность
кинетическая энергия

Энергия- это работа, выполненная движущими силами.

Теорема об изменении кинетической энергии .

Взаимосвязь энергии и работы сил выражается через теорему об изменении кинетической энергии.

Кинетическая энергия объекта, движущегося плоско-параллельно. .

Теорема об изменении количества движения . Взаимосвязь количества движения и импульса силы выражается через теорему об изменении количества движения. Количество движения - это произведение массы на скорость. Единицы измерения количества движения . Импульс силы - это произведение силы на время. Единицы измерения импульса силы .

К ротору, момент инерции которого относительно оси вращения равен , приложен постоянный момент пары сил . Определить угловое ускорение ротора

Решение:

Ответ: 9

Формула для определения момента инерции объекта

.

Момент инерции объекта измеряется в …

Степень свободы материального объекта- это возможность перемещения в пространстве в определенном направлении.

У абсолютно свободного тела 6 степеней свободы.

Дата добавления: 2015-10-21