Тема: Приближенное вычисление интегралов

Лабораторная работа №3.

Тема: Приближенное вычисление интегралов

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Контрольные вопросы по теме.

2. Образец выполнения задания.

3. Индивидуальные задания.

ЦЕЛЬ: Приближенное вычисление интегралов: 1)по формулам левых и правых прямоугольников, 2) по формуле трапеций; 3) с помощью формулы Симпсона.

1. Контрольные вопросы по теме:

1. Общая характеристика методов приближенных вычислений интегралов.

2. Методы левых, правых и средних прямоугольников.

3. Формула трапеций.

4. Формула Симпсона.

5. Метод Гаусса.

Задание 1. Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая точность с помощью сравнения полученных результатов.

Задание 2. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей. Составить блок-схему алгоритма и программу, реализующую алгоритм вычислений на ЭВМ.

2. Образец выполнения задания 2.

Вычислить интеграл Sin(2x_i-2,1)/(x_i²+1)dx

Согласно условию n=8, поэтому h=(b-а)/n=(1,6-1,2)/8=0,05. Вычислительная формула имеет вид где y_i = y₍x_i) =Sin(2x_i-2,1)/(x_i²+1); x_i=1,2+ih (i=0,1,..8).

Вычисление значений функции, а также сложение значений функций, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл. I.

i	xi	Sin(2xi-2,1)	xi^2+1	y0, y8	y1, y3, y5, y7	y2, y4, y6
	1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1.60	0,29552 0,38942 0,4794 0,5646 0,6442 0,7174 0,7833 0,8415 0,8912	2,44 2,5625 2,69 2,8225 2,96 3,1024 3,25 3,4025 3,56	0,1211 0,2503	0,1520 0,2000 0,2312 0,2473	0,1782 0,2176 0,2410
S				0,3713	0,8305	0,6368

Следовательно,

Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл. II).

Таблица II

I	yi	Dyi	D^2yi	D^3yi	D^4yi
	0.1211 0.1520 0.1782 0.2000 0.2176 0,2312 0,2410 0,2473 0,2503	0,0309 0,0262 0,0218 0,0176 0,0136 0,0098 0,0063 0,0030	-0,0047 -0,0044 -0,0042 -0,0040 -0.0038 -0,0035 -0,0033	0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0002	-0,0001 0,0000 0,0000 0,0001 -0,0001

Так как max½D⁴y_i½=0,0001, то остаточный член формулы R<[(b-a)max½D⁴y_i½]/180»0,0000003

Вычисления производились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточною члена на погрешность не влияет.

Погрешность вычислений можно оценить из соотношения D=(b-a)Dy< 0,4 0,0001< 0,00005. Значит, полученные четыре десятичных знака верны.

3. Индивидуальные задания.

Дата добавления: 2015-10-21