III. Примеры решения задач

III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса;

2) средствами матричного исчисления.

Р е ш е н и е

Главный определитель системы

.

Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, то есть система совместна и определена.

1). Решая систему методом Гаусса, запишем и преобразуем расширенную матрицу системы:

Таким образом, , , .

П р о в е р к а

Найденное решение верно.

2). Решение матричным способом.

Обозначая матрицу коэффициентов системы , матрицу-столбец неизвестных , матрицу-столбец свободных членов , исходную систему запишем в матричной форме следующим образом: Решение этой системы

Главный определитель системы вычислен ранее и равен .

Алгебраические дополнения элементов матрицы A, будут:

Матрица алгебраических дополнений

где – транспонированная матрица , – матрица обратная матрице A.

П р о в е р к а правильности построения обратной матрицы.

.

Обратная матрица найдена верно.

Теперь решение

2. Даны координаты вершин пирамиды A _1, A _2, A _3, A ₄: A ₁(4; 4; 10), A ₂(4; 10; 2), A ₃(2; 8; 4), A ₄(9; 6; 4). Требуется найти: 1) длину ребра A ₁ A ₂;

2) угол между ребрами A ₁ A ₂и A ₁ A ₄;3) угол между ребром A ₁ A ₄и гранью A ₁ A ₂ A ₃; 4) площадь грани A ₁ A ₂ A ₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой A ₁ A ₂;7) уравнение плоскости A ₁ A ₂ A ₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины A ₄ на грань A ₁ A ₂ A ₃. Сделать чертеж.

Р е ш е н и е

1) Длина ребра -

.

2) ; . ,

По таблицам .

3) Уравнение грани (плоскости) запишем как уравнение плоскости, проходящей через три точки

,

раскрывая последний определитель по элементам первой строки, получим

Окончательно искомая плоскость имеет уравнение . A тогда нормальный вектор этой плоскости .

Уравнение ребра (прямой линии) запишется как уравнение прямой, проходящей через две точки

,

таким образом, координаты направляющего вектора . Теперь синус угла между прямой линией и плоскостью

,

по таблицам .

4) Площадь грани A ₁ A ₂ A ₃ определится через векторное произведение векторов и :

.

5) Объем пирамиды определится через смешанное произведение векторов :

.

6) Уравнения прямой A ₁ A ₂ найдем как уравнения прямой, проходящей через две точки:

,

последние уравнения в параметрической форме имеют вид:

7) Уравнение плоскости A ₁ A ₂ A ₃ построено в пункте 3, оно имеет вид: .

8) Уравнения высоты, опущенной из вершины A ₄ на грань A ₁ A ₂ A ₃ , построим как уравнение прямой проходящей через точку с направляющим вектором в качестве которого можно взять нормальный вектор плоскости :

.

3. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от до , придавая j значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной си­стеме координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положи­тельная полуось абсцисс — с полярной осью; 3) по уравнению в де­картовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Р е ш е н и е

1) Строим следующую таблицу:

				3
	0,250	0,260	0,293	0,362	0,500	0,810	1,707	6,569

	6,569	1,707	0,810	0,500	0,362	0,293	0,260	0,250

Теперь, используя данные построенной таблицы, строим линию:

2) Уравнения связи прямоугольных координат с полярными координатами имеют вид: . Делая в уравнении линии в полярной системе координат соответствующую замену, получим

.

3) Последнее уравнение содержит одну координату в первой степени, вторую координату во второй степени, этому уравнению соответствует парабола.

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

а) б) в) .

Р е ш е н и е

a)

б)

в)

.

В последнем примере при отыскании предела использовано соотношение первого замечательного предела.

5. Найти производные данных функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Р е ш е н и е

а) Производная частного определяется соотношением .

Поэтому

.

б) Представим функцию: .

Тогда

в) По правилу дифференцирования функции от функции

имеем

.

г) .

Для вычисления производной от этой сложно-показательной (функция в степени функция) функции, применим понятие логарифмической производной. Прологарифмируем обе части равенства по основанию е

и далее возьмём производную от левой и правой частей последнего соотношения

Теперь .

д) .

Здесь имеем неявную функцию и поэтому , а тогда

6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке [0;2].

Р е ш е н и е

а) Найдём критические точки на экстремум:

Обозначим ,

- отбрасываем. Теперь .

Таким образом, только одна критическая точка на экстремум x =1 находится на отрезке [0;2].

Значение функции в этой точке .

б) Вычислим значение на концах отрезка , .

в) Из найденных в пунктах а) и б) подчеркнутых значений функций

выбираем наибольшее и наименьшее .

7. Исследовать методом дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её график.

Р е ш е н и е

Согласно общей схеме исследования функции (стр. 70), рассматриваем следующие элементы поведения функции.

1) Область существования функции.

Ничто не препятствует функции существовать в каких-либо точках. Поэтому область существования функции – вся числовая ось .

Функция не является ни четной, ни нечетной. Поэтому исследование ведем на всей числовой оси.

2) Исследуется поведение функции при значениях , стремящихся к концам интервалов области существования.

; .

Поскольку область существования функции – вся числовая ось, точки разрыва отсутствуют, вертикальных асимптот график функции не имеет.

3). Исследование на экстремум.

Ищутся точки экстремума и значение функции в этих точках, определяются участки монотонного поведения функции.

а) .

; ; – точки критические на экстремум.

б) ; – слева от критической точки

функция убывает, справа возрастает, следовательно, – точка минимума.

; – слева от критической точки функция продолжает возрастать, справа убывает, следовательно, – точка минимума.

в) Экстремальные значения функции

; .

4) Исследование на выпуклость – вогнутость.

а) .

- устанавливаем подбором.

Теперь .

Таким образом, точки на оси OX , и – точки, критические на перегиб.

б)

Знак второй производной меняется при переходе через точку с минуса на плюс, а тогда – абсцисса точки перегиба и слева имеем выпуклость графика функции, справа – вогнутость.

– абсцисса точки перегиба и слева имеем вогнутость графика функции, справа – выпуклость.

– абсцисса точки перегиба, слева имеем выпуклость графика функции, справа – вогнутость.

в) Ординаты точек перегиба

,

,

.

5) Точки пересечения графика функции с осями координат.

.

Таким образом, с осями координат график функции пересекается в точках

и .

6) Ищем наклонные асимптоты.

Имеем , .

Следовательно, и при , и при имеем одну и ту же асимптоту , которая совпадает с осью ОХ.

Пользуясь результатами исследования, строим график.

8. Вычислить полный дифференциал , если .

Р е ш е н и е

Полный дифференциал определяется выражением

.

Найдём первые, и затем вторые частные производные:

,

,

;

;

.

Теперь окончательно

.

9. Даны функция , точка и вектор .

Требуется найти: 1) в точке ; 2) производную от z в точке А по направлению вектора .

Р е ш е н и е

.

Производная по направлению вектора в точке A:

.

10. Экспериментально получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице:

	5,1	4,2	3,7	3,2	2,1

Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

Р е ш е н и е Занесем исходные данные в следующую таблицу.

	5,1		5,1
	4,2		8,4
	3,7		11,1
	3,2		12,8
	2,1		10,5

Система уравнений, служащих для отыскания параметров аппроксимирующей прямой, в принятых здесь обозначениях, имеет вид (с. 83):

Подставляя сюда значения коэффициентов и свободных (данные последней таблицы), имеем:

Решаем полученную систему уравнений любым методом (например, методом подстановки) и получаем значения .

Окончательно аппроксимирующая прямая .

Ниже приводится чертеж, на котором в прямоугольной системе координат построен график функции , аппроксимирующей системуэкспериментальных точек, которые также нанесены на чертеж.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воеводин В. В. Линейная алгебра: учеб. пособие / В. В. Воеводин. - 4-е

изд., стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. - 416 с.

2. Привалов И. И. Аналитическая геометрия: учеб. / И. И. Привалов. - 37-е

изд., стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. - 304 с.

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т.:

учеб. пособие для втузов / Н. С. Пискунов. – 2-е изд., стер. - М.: Интеграл-, Т. 1. - 2006. - 544 с.

4. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре: учеб. пособие /

И.В. Проскуряков. - 11-е изд., стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. –

480 с.

5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб.

пособие / под ред. Б. П. Демидовича. - М.: АСТ: Астрель; Владимир:

ВКТ, 2008. - 495 с.

6. Практическое руководство к решению задач по высшей математике:

учеб.пособие / И. А. Соловьев [и др.]. - М.; Краснодар: Лань,2007.- 320 с.

7. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 1 /(под

ред. А.Б. Рябушко). – Минск: Вышэйшая школа, 1990.

Дата добавления: 2015-10-21