Теория функций комплексного переменного.
1. Найти все значения корня.
1.1. 
1.2. 
1.3. 
1.4. 
1.5. 
1.6. 
1.7. 
1.8. 
1.9. 
1.10. 
1.11. 
1.12. 
1.13. 
1.14. 
1.15. 
1.16. 
1.17. 
1.18. 
1.19. 
1.20. 
1.21. 
1.22. 
1.23. 
1.24. 
1.25. 
1.26. 
1.27. 
1.28. 
1.29. 
1.30. 
2. Вычертить область, заданную неравенствами.
2.1. 
2.2. 
2.3. 
2.4. 
2.5. 
2.6. 
2.7. 
2.8. 
2.9. 
2.10. 
2.11. 
2.12. 
2.13. 
2.14. 
2.15. 
2.16. 
2.17. 
2.18. 
2.19. 
2.20. 
2.21. 
2.22. 
2.23. 
2.24. 
2.25. 
2.26. 
2.27. 
2.28. 
2.29. 
2.30. 
3. Проверить, что u(v) является действительной (мнимой) частью аналитической функции. Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию f(z) по известной действительной части u(x,y) или мнимой v(x,y) и значению f(z0).
3.1. 
3.2. 
3.3. 
3.4. 
3.5. 
3.6. 
3.7. 
3.8. 
3.9. 
3.10. 
3.11. 
3.12. 
3.13. 
3.14. 
3.15. 
3.16. 
3.17. 
3.18. 
3.19. 
3.20. 
3.21. 
3.22. 
3.23. 
3.24. 
3.25. 
3.26. 
3.27. 
3.28. 
3.29. 
3.30. 
4. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z.
4.1. 
4.2. 
4.3. 
4.4. 
4.5. 
4.6. 
4.7. 
4.8. 
4.9. 
4.10. 
4.11. 
4.12. 
4.13. 
4.14. 
4.15. 
4.16. 
4.17. 
4.18. 
4.19. 
4.20. 
4.21. 
4.22. 
4.23. 
4.24. 
4.25. 
4.26. 
4.27. 
4.28. 
4.29. 
4.30. 
5. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z-z0.
5.1. 
5.2. 
5.3. 
5.4. 
5.5. 
5.6. 
5.7. 
5.8. 
5.9. 
5.10. 
5.11. 
5.12. 
5.13. 
5.14. 
5.15. 
5.16. 
5.17. 
5.18. 
5.19. 
5.20. 
5.21. 
5.22. 
5.23. 
5.24. 
5.25. 
5.26. 
5.27. 
5.28. 
5.29. 
5.30. 
6. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0.
6.1. 
6.2. 
6.3. 
6.4. 
6.5. 
6.6. 
6.7. 
6.8. 
6.9. 
6.10. 
6.11. 
6.12. 
6.13. 
6.14. 
6.15. 
6.16. 
6.17. 
6.18. 
6.19. 
6.20. 
6.21. 
6.22. 
6.23. 
6.24. 
6.25. 
6.26. 
6.27. 
6.28. 
6.29. 
6.30. 
7. Вычислить интеграл.
7.1. 
7.2. 
7.3. 
7.4. 
7.5. 
7.6. 
7.7. 
7.8. 
7.9. 
7.10. 
7.11. 
7.12. 
7.13. 
7.14. 
7.15. 
7.16. 
7.17. 
7.18. 
7.19. 
7.20. 
7.21. 
7.22. 
7.23. 
7.24. 
7.25. 
7.26. 
7.27. 
7.28. 
7.29. 
7.30. 
Решение типового варианта.
1. Найти все значения корня.
Решение.
Число в тригонометрической форме имеет вид:
(k=0,1,2),
, 
, 
.
2. Вычертить область, заданную неравенствами.
Решение.
Этому неравенству удовлетворяют точки круга с центром в точке i радиуса 3, включая его границу.
3. Проверить, что u(v) является действительной (мнимой) частью аналитической функции. Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию f(z) по известной действительной части u(x,y) или мнимой v(x,y) и значению f(z0).
Решение.
В силу условий Коши-Римана имеем
(1)
(2)
Интегрируя уравнение (2) по х, находим мнимую часть
(3)
Cлагаемое С(у) представляет собой постоянную (относительно х) интегрирования. Дифференцируя (3) по у и сопоставляя результат с (1), получаем С’(у)=0, откуда С(у)=С. Таким образом, имеем
и 
Учтем дополнительное условие f(0)=1, откуда C=0, итак f(z)=ez.
4. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z.
Решение.
Функция 
аналитична в кольце 
, следовательно, разложима в нем в ряд Лорана. Воспользуемся разложением показательной функции в ряд Тейлора в окрестности точки х=0:
и положим х=1/z, тогда
.
В силу единственности ряда Лорана полученное разложение функции f(z) по степеням z является рядом Лорана для функции 
в кольце .
Задания 5 и 6 делаются аналогично заданию 4.
7.Вычислить интеграл.
Решение.
В круге 
подынтегральная функция f(z) имеет две особые точкиz=0; z=-1.
Поэтому 
.
Точка z1=0 является устранимой особой точкой, значит 
Точка z2=-1 – простой полюс, поэтому
Итак, 
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 62 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| ГБУ РК «Центр по предоставлению государственных услуг в сфере социальной | | | Имеют разное происхождение, но выполняют одинаковые функции (крыло бабочки – кожи, крыло птицы – конечность) |