Окружность-это множество точек плоскости,равноудаленных от данной точки на данное растояние.

ОКРУЖНОСТЬ

Окружность-это множество точек плоскости,равноудаленных от данной точки на данное растояние.

По формуле расстояния между двумя точками-R^2=(x-x1)^2+(y-y1)^2

1-M(x,y)

O(x1,y1)

Если М лежит на окружности,то R^2=(x-x1)^2+(y-y1)^2

2-Докажем обратное

Если O(x0,y0)

N(x2,y2)

ON^2=(x0-x2)^2+(y0-y2)^2,то N принадлежит окружности.

Значит уравнение R^2=(x-x1)^2+(y-y1)^2 -уравнение окружности с цетром в точке (x0,y0) и радиусом R.

3-Уравнение с двумя неизвестными может задавать на плоскости в том числе и окружность

k1*x^2+k2*y^2+m1x+m2y+c=0

k1(x^2+2*k2*x/2k1+k2^2/4*k1^2)- k2^2/4*k1+m1(y2+2*m2*y/2*m1+m2^2/4*m1^2)-m2^2/4*m1+c=0

k1(x+k2/2*k1)^2+m1(y+m2/2*m1)^2+c- k2^2/4*k1-m2^2/4*m1=0

k1(x+k2/2*k1)^2+m1(y+m2/2*m1)^2=d I:k1*m1

(x+x0)^2/m1+(y+y0)^2/k1=d/m1*k1---------(k1 и m не равны 0)

Окружность будет,когда k1=m1 и не равны 0.(Вырожденная окружность,когда еще и d=0)

ЭЛЛИПС

Эллипс-это множество точек плоскости таких,что сумма растояний от каждой из которых до двух данных точек есть величина постоянная.

Две данные точки называются фокусами эллипса.

1-Дано М принадлежит эллипсу.

Цель-вывести уравнение эллипса.

Вывод уравнения эллипса

sqrt(y^2+(x+c)^2)+sqrt(y^2+(x-c)^2)=2a

2a=const

y^2+(x+c)^2=4a^2-4a*sqrt(y^2+(x-c)^2)+y^2+(x-c)^2

(x+c)^2=4a^2-4a*sqrt(y^2+(x-c)^2)+(x-c)^2

2xc=4a^2-4a*sqrt(y^2+(x-c)^2)-2xc

xc+a^2-a*sqrt(y^2+(x-c)^2)

a^2(y^2+(x-c)^2)=a^4-2xca^2+x^2*c^2

a^2*y^2+a^2*x^2-2xc*a^2+c^2*a^2=a^4-2xc*a^2+x^2*c^2

a^2*y^2+a^2*x^2+a^2*c^2=a^4+x^2*c^2

a^2*y^2+x^2(a^2-c^2)=a^2(a^2-c^2)

a^2-c^2=b^2

a^2*y^2+x^2*b^2=a^2*b^2

y^2/b^2+x^2/a^2=1-УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА

2-Дано-M(x,y)

y^2/b^2+x^2/a^2=1

Цель-доказать,что M принадлежит эллипсу, т. е. MF1+MF2=2a

Доказательство:

1)MF1=sqrt(y^2+(x+c)^2)

MF2=sqrt(y^2+(x-c)^2)

2)y^2/b^2+x^2/a^2=1-----y^2=(1-x^2/a^2)b^2

3)Подставляем в MF1 значение y^2

MF1=sqrt((b^2-b^2*x^2/a^2)+(x+c)^2)=1/a*sqrt(a^2*b^2-b^2*x^2+x^2*a^2+2a^2xc+a^2*c^2)

-b^2*x^2+x^2*a^2=x^2(a^2-b^2)=x^2*c^2

a^2-c^2=b^2---- a^2-b^2=c^2

MF1=1/a*sqrt(a^4-a^2*c^2+x^2*c^2+2a^2xc+a^2*c^2)=1/a*Ia^2+xcI

Cравним a^2 и xc (a>c)

-Если x>0, то все хорошо.--a^2>cx

-Если x<0--

y^2/b^2+x^2/a^2=1

x^2<a^2

IxI<IaI

-a<x<a

a>c

a>x

a^2>xc

Итак, NF1=1/a*Ia^2+xcI=a+xc/a

Аналогично, MF2=sqrt(y^2+(x-c)^2)=1/aIa^2-xcI=a-xc/a

MF1+MF2= a+xc/a+a-xc/a=2a,

что и требовалось доказать.

3-Уравнение с двумя неизвестными может задавать на плоскости в том числе и эллипс

k1*x^2+k2*y^2+m1x+m2y+c=0

k1(x^2+2*k2*x/2k1+k2^2/4*k1^2)- k2^2/4*k1+m1(y2+2*m2*y/2*m1+m2^2/4*m1^2)-m2^2/4*m1+c=0

k1(x+k2/2*k1)^2+m1(y+m2/2*m1)^2+c- k2^2/4*k1-m2^2/4*m1=0

k1(x+k2/2*k1)^2+m1(y+m2/2*m1)^2=d I:k1*m1

(x+x0)^2/m1+(y+y0)^2/k1=d/m1*k1---------(k1 и m не равны 0)

Эллипс будет,когда k1 не равно m1, и k1, m1 не равны 0.

4-Построение

ПАРАБОЛЛА

Параболла-это множество точек плоскости,равноудаленных от данной прямой (директрисы) и точки(фокуса).

F- фокус

p-расстояние

a-директриса

1- Дано: M(x,y) принадлежит параболле

Цель-вывести уранение параболлы

Вывод

MN=MF

sqrt((x+0.5p)^2)=sqrt(y^2+(y-0.5p)^2)

(x+0.5p)^2= y^2+(y-0.5p)^2

2px=y^2-КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЛЫ

2-Дано: K(a,b)-превращает y^2=2px в верное равенство

Доказать,что К принадлежит параболле,

Доказательство:

b^2=2ap

KF=sqrt((a-0.5p)^2+b^2)=sqrt(a^2-ap+p^2/4+2ap)=sqrt(a^2+ap+p^2/4)

KN2=sqrt((a+p/2)^2)=sqrt(a^2+ap+p^2/4)

Значит, KF=KN2,что и требовалось доказать.

3-Уравнение с двумя неизвестными может задавать на плоскости в том числе и параболлу

k1*x^2+k2*y^2+m1x+m2y+c=0

k1(x^2+2*k2*x/2k1+k2^2/4*k1^2)- k2^2/4*k1+m1(y2+2*m2*y/2*m1+m2^2/4*m1^2)-m2^2/4*m1+c=0

k1(x+k2/2*k1)^2+m1(y+m2/2*m1)^2+c- k2^2/4*k1-m2^2/4*m1=0

k1(x+k2/2*k1)^2+m1(y+m2/2*m1)^2=d I:k1*m1

(x+x0)^2/m1+(y+y0)^2/k1=d/m1*k1---------(k1 и m не равны 0)

Параболла будет,когда k1=m1=0

4- Построение

Поворот системы координат

x и y- координаты в старой системы координат

X и Y -координаты в новой системе координат

Формулы перевода из одной системы координат в другую:

x=X*cosa-Y*sina

y=X*sina+Y*cosa

a=90----Y=x

X=y

То есть будет следующее уравнение - x^2/p=y(привычное нам)

Дата добавления: 2015-10-21