Уравнение Шредингера. Состояние микрообъекта или какой-либо квантово-механической системы в результате внутренних и внешних взаимодействий с течением временем меняется. Это символически можно

Уравнение Шредингера. Состояние микрообъекта или какой-либо квантово-механической системы в результате внутренних и внешних взаимодействий с течением временем меняется. Это символически можно выразить с помощью оператора эволюции

. (1)
При ничего не должно произойти, так как мы вправе ожидать плавных изменений. Таким образом . Кроме того, можно предположить, что при малых D t отличается от единичного оператора на величину, пропорциональную D t, так что можно записать

. (2)
Множитель выделяется в (2) по историческим причинам. Подставляя в (1) этот вид приходим к операторному уравнению

. (3)
Оператор носит название гамильтониана системы. В соответствии со своим смыслом, нормировка волновой функции не меняется со временем. Исходя из этого, можно показать, что гамильтониан является эрмитовым оператором. Возникает задача определения гамильтониана.

Для начала рассмотрим свободно движущуюся частицу, имеющей импульс p и энергию . Согласно де Бройлю ей сопоставляется плоская волна . Если учесть, что и , то волновая функция частицы выглядит как

. (4)
В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус. Поскольку физический смысл имеет только , то это оказывается несущественным. Из данного вида волновой функции можно получить соотношения

; .
Откуда, используя связь между энергией и импульсом частицы, получим уравнение

.

Если частица движется в силовом поле, обладающем потенциальной энергией U, то полная энергия . Проводя аналогичные рассуждения, приходим к уравнению Шредингера

, (5)
где D – оператор Лапласа (). Приведенные рассуждения не есть вывод уравнения Шредингера. Они поясняют, каким путем уравнение могло быть получено. Уравнение Шредингера, как основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, постулируется.

Уравнение (5) является общим уравнением Шредингера. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно , то в этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя

,
где E имеет смысл полной энергии частицы. Подставив это выражение в (5) и после несложных преобразований, придем к дифференциальному уравнению для y

. (6)
Уравнение (6) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний (или просто уравнением Шредингера).

Уравнение Шредингера позволяет найти пси-функцию данного состояния (6) и, следовательно, получить полную информацию о системе. В уравнение (6) в качестве параметра входит полная энергия E частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (6) имеют решения, удовлетворяющие стандартным и граничным условиям, не при любых значениях параметра, а лишь для некоторых из них. Эти значения называются собственными значениями гамильтониана (энергии). Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными функциями гамильтониана.

Таким образом, квантование энергии является следствием основных положений квантовой механики. Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, является нетривиальной математической задачей.

Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. Потенциальная энергия имеет вид

где l – ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется в виде

. (7)
По условию задачи (бесконечно высокие стенки), частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами ямы равна нулю. Следовательно, на границах ямы волновая функция должна обращаться в ноль

. (8)
В пределах ямы () уравнение Шредингера сводится к уравнению

. (9)
Общее решение уравнения (9) имеет вид

,
где , A и j – произвольные постоянные.

Граничные условия (8) будут выполнены при и , где n – целое число. Отсюда следует, что энергия частицы принимает квантованные значения

.
Значения энергии называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом.

Собственные волновые функции частицы имеют вид

.
Постоянная A найдется из условия нормировки

.
В результате интегрирования получим , а собственные волновые функции будут иметь вид

(10)

Туннельный эффект. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы для одномерного (по оси x) движения частицы

Классическая частица, обладая энергией E, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при ), либо отразится от него (при ), т.е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при , имеется отличная от нуля вероятность отразиться от барьера. При имеется также отличная от нуля вероятность прохождения частицей барьера. Подобные выводы следуют из решения уравнения Шредингера.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний для каждой из выделенной на рис. области имеет вид

для областей 1, 3 , ,

для области 2 , .
Общее решение этих дифференциальных уравнений

(для области 1); (11а)

(для области 2); (11б)

(для области 3). (11в)
В выражениях для областей 1 и 3 (k – действительное число) первый член представляет собой правую плоскую волну (соответствует частице, движущейся в положительном направлении x), а второй – левую волну (соответствует частице, движущейся в отрицательном направлении x). Коэффициент следует положить равным нулю, поскольку из физического смысла в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты барьера, поскольку при законы классической физики не разрешают частице проникнуть через барьер. В этом случае , где , является чисто мнимым числом.

Для описания туннельного эффекта вводится понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера. Он равен отношению плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих

.

Условие непрерывности волновой функции и ее производных позволяют найти связь между коэффициентами в уравнениях (11а)-(11в) и определить коэффициент прозрачности. Для малых значений коэффициента получается зависимость

, (12)
где – постоянный множитель, близкий к единице.

Для потенциального барьера произвольной формы, в квазиклассическом приближении (достаточно плавный профиль потенциальной кривой), получается подобная (12) формула

, (13)
где , (см. рис.).

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при невозможно, так как, находясь в области барьера, она обладала бы отрицательной кинетической энергией. Т.е. туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом, не имеющий аналога в классической механике.

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники являются примерами классических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора определяется выражением

, (14)
где w – собственная частота колебаний осциллятора, m – масса частицы. Амплитуда колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией E. Классическая частица совершает движение в пределах (, ).

Стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера

, (15)
где E – полная энергия осциллятора. Уравнение (15) имеет конечные и непрерывные решения при собственных значениях энергии

. (16)

Уровни энергии гармонического осциллятора являются равноотстоящими друг от друга. Наименьшее возможное значение энергии равно . Это значение называется энергией нулевых колебаний. Существование минимальной энергии является типичной для квантовых систем и представляет прямое следствие соотношения неопределенностей.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности переходов из одного состояния в другое. Вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу

. (17)
Условие (17) на возможные переходы называется правилом отбора. Таким образом, энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями .

Атом водорода. Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного ядра с зарядом Ze и движущегося вокруг него электрона. При система представляет собой атом водорода, при – водородоподобный ион.

Потенциальная энергия электрона равна

.
Следовательно, уравнение Шредингера имеет вид

. (18)

Можно показать, что уравнение (18) имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях E; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

. (19)

Случай соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра, т.е. свободному электрону. Случай соответствует электрону, движущемуся вблизи ядра, т.е. связанному электрону. Самый нижний уровень , отвечающий минимально возможной энергии, называется основным, все остальные – возбужденными. Таким образом, квантование энергии атома является следствием теории, в отличие от теории Бора, в которой квантование вводилось как постулат.

Собственные функции уравнения (18), представленные в сферической системе координат, содержат три целочисленных параметра: главное число n, орбитальное число l и магнитное число m

.

Главное число n определяет энергетический уровень электрона в атоме в соответствии с формулой (19) и может принимать любые положительные целочисленные значения.

Орбитальное число l определяет орбитальный момент импульса электрона. Согласно законам квантовой механики момент импульса квантуется по правилу

. (20)
При заданном n орбитальное число может принимать значения

. (21)

Магнитное число m определяет ориентацию орбитального момента в пространстве. Согласно законам квантовой механики величина проекции момента на некоторое направление z принимает дискретные значения

,
где m – магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

.
Таким образом, вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве возможных ориентаций.

Согласно (19) энергия электрона зависит только от главного квантового числа n. Каждому собственному значению энергии (кроме ) соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.

Кратность вырождения энергетических уровней легко вычисляется путем подсчета возможных значений l и m. Каждому значению квантового числа l соответствует значений квантового числа m. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному n, равно

. (22)

В атомной физике применяется условное обозначение состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с называется s -электроном (соответствующее состояние – s -состоянием), с – p -электроном, с – d -электроном, с – f -электроном и далее по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального числа l. Поскольку l всегда меньше n, возможны следующие состояния электрона:

1 s,

2 s, 2 p,

3 s, 3 p, 3 d
и т.д. Схему уровней энергии удобно изображать так, как показано на рис.

Испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. В квантовой механике доказывается, что для орбитального квантового числа имеется правило отбора

. (23)
Это означает, что возможны только такие переходы, при которых l меняется на единицу. Правило обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином s). Его величина вычисляется по общему правилу (20), где вместо l следует использовать . Данное значение определяет максимальную величину проекции спина на избранное направление. Испускание или поглощение фотона, согласно закону сохранения момента импульса, приводит к изменению момента импульса атома, согласно с правилом (23).

На рис. показаны переходы, разрешенные правилом (23). Серии Лаймана соответствует переходам

;
серии Бальмера соответствуют переходы

и ,
и т.д.

Решение уравнения Шредингера для атома водорода дает, что волновая функция электрона в 1 s состоянии является сферически-симметричной и имеет вид

,
где есть боровский радиус. Вероятность нахождения электрона в шаровом слое радиуса r и толщиной dr равна

.
Подставив в формулу волновую функцию, получим

.

График радиальной плотности вероятности изображен на рис. Ее максимум приходится на . Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероятное расстояние между ядром и электроном равно боровскому радиусу.

Дата добавления: 2015-10-21