3.1 Общее уравнение Шредингера.

3. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

3.1 Общее уравнение Шредингера.

В классической механике состояние частицы определяется точным заданием координаты и импульса и уравнением движения, определяющим изменения состояния частицы во времени. Если известны координаты и импульсы частицы и силы, действующие на нее в начальный момент времени, то уравнение 2-го закона Ньютона позволяет определить координаты и импульсы частицы в любой последующий момент времени.

Для микрочастицы координата и импульс в силу соотношения неопределенностей Гейзенберга одновременно не определены точно, поэтому говорить о траектории движения микрочастиц не имеет смысла. В квантовой механике состояние микрочастицы описывается с помощью волновой функции, квадрат модуля которой определяет распределение плотности вероятности локализации микрочастицы в пространстве. Поэтому задача описания поведения микрочастицы сводится к определению волновой функции микрочастицы в какой-то момент времени , если задана пси-функция в начальный момент времени. В квантовой механике должно быть какое-то уравнение, определяющее функцию по известному виду . Такое уравнение было впервые сформулировано в 1926 г. австрийским физиком Э.Шредингером. Уравнение Шредингера является одним из фундаментальных уравнений современной физики – это основное уравнение нерелятивистской квантовой механики.

Уравнение Шредингера не выводится. Справедливость его следует из согласия предсказываемых этим уравнением следствий с экспериментальными данными. Получить уравнение Шредингера можно из следующих соображений.

Пусть в момент времени задана волновая функция . Наша задача – найти вид волновой функции в некоторый момент времени ( может быть достаточно мало). В первом приближении

(из разложения в ряд Тейлора).

Следовательно, для решения исходной задачи нам надо уметь находить по виду . Правило, посредством которого одной функции ставится в соответствие другая функция, называется оператором. Под символом оператора (например, ) скрывается определенная совокупность действий над функцией, с помощью которых исходная функция превращается в другую.

Пользуясь понятием оператора, можно записать

.

Требуется определить вид оператора .

Приведенное выражение должно быть справедливым для простейшего случая – волновой функции свободной частицы (для которой импульс задан точно, а координата не определена), т.е для плоской волны де Бройля

.

Но для этой волны

, т.к. .

Нетрудно убедиться, что с другой стороны

.

Откуда

.

Таким образом

.

Последнее уравнение – это уравнение Шредингера для свободной частицы. Его следует обобщить на случай несвободной частицы. Для этого заметим, что для свободной частицы

, или .

Если в результате применения оператора к функции получается та же функция , умноженная на некоторое число , то есть, если , то это значит, что оператор сопоставляется физической величине .

В нашем случае

,

т.е. оператор сопоставляется энергии свободной частицы при одномерном движении.

Поскольку энергия свободной частицы равна кинетической энергии , то оператор - это оператор кинетической энергии.

Обобщим теперь уравнение Шредингера для свободной частицы на случай движения частицы в потенциальном силовом поле. Для связанной частицы энергия , где - потенциальная энергия частицы. Потенциальной энергии сопоставляется оператор потенциальной энергии . В квантовой механике оператор означает просто умножение волновой функции на потенциальную энергию. Для несвободной частицы уравнение Шредингера сохраняет свой вид, только вместо оператора кинетической энергии фигурирует оператор полной энергии (оператор Гамильтона), т.е.

для свободной частицы

для связанной частицы .

В трехмерном случае

- это общее уравнение Шредингера.

Оператор - оператор Лапласа (, где - оператор набла).

В таком случае общее уравнение Шредингера запишется в виде

.

Это уравнение позволяет определять волновую функцию микрочастицы (т.е. характеристику микрочастицы) в любой момент времени, если эта функция известна в начальный момент времени.

3.2. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Если внешнее поле сил не меняется со временем, т.е. , то уравнение Шредингера может иметь так называемые стационарные решения, т.е. такие, для которых распределение плотности вероятности локализации микрочастицы в пространстве не меняется со временем. Эти решения могут быть проверены экспериментально и, собственно, и проявляются на практике.

Волновая функция, описывающая стационарные состояния, может быть представлена в общем случае в виде

.

Действительно, в этом случае

не зависит от .

Иногда функцию называют волновой функцией, т.к. квадрат ее модуля определяет плотность вероятности локализации микрочастицы, хотя она является только координатной (амплитудной) частью волновой функции . Следовательно, для стационарных задач требуется найти именно .

Функцию для свободной частицы можно найти в явном виде. Для этого воспользуемся волновой функцией:

,

т.е. .

Итак, в состоянии с постоянной энергией

.

Подставим эту волновую функцию в общее уравнение Шредингера:

,

сократим на (эту функцию можно вынести за операторы и , т.к. они действуют только на координаты):

.

Итак, уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид

,

или , или .

Из последнего уравнения следует, что, зная выражение в явном виде, можно, в принципе, определить , т.е. распределение плотности вероятности локализации частицы в стационарном состоянии.

3.3. Физический смысл решения уравнения Шредингера.

Решением уравнения Шредингера является комплексная волновая функция (например, для свободной частицы ). В отличие от классической механики, где физический смысл имела действительная часть комплексного решения, в квантовой механике отбрасывать мнимую часть решения нельзя. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, который, согласно трактовке М.Борна, определяет распределение плотности вероятности локализации микрочастицы в пространстве.

Насколько однозначно решение уравнения Шредингера? Уравнение Шредингера – это дифференциальное уравнение. Решение его, следовательно, получается путем интегрирования (и по координате, и по времени в общем случае). Поэтому для однозначности решения надо определить постоянные интегрирования. Для этого необходимо задать начальные условия - и граничные условия, т.е. значения на границах области (например, на ). Таким образом, постановка задачи включает в себя не только задание , но и задание начальных и граничных условий.

Все ли решения уравнения Шредингера имеют физический смысл? Из физического содержания волновой функции и математических требований к уравнению Шредингера вытекают естественные (стандартные) условия: функции должны быть непрерывными, однозначными и конечными во всех точках, кроме того, первые производные функции также должны быть непрерывными и конечными. Однозначность пси-функции следует из физического смысла функции . Требование конечности пси-функции следует из условия нормировки:

,

т.е. вероятность обнаружения частицы в ограниченном пространстве конечна (не больше 100%).

Волновая функция несет всю информацию о свойствах системы. Она служит средством для описания физических явлений. Поэтому пси-функция, как решение уравнения Шредингера, должна удовлетворять следующим требованиям:

1) она должна быть совместной с соотношениями

; ; ;

2) она должна быть линейной относительно возможных решений уравнения Шредингера

;

3) функция также должна быть линейной;

Из уравнения Шредингера для стационарных состояний и стандартных условий для волновой функции непосредственно вытекает квантование энергии микрочастицы.

Уравнение в общем случае может иметь множество решений. Из всех возможных решений выбирают только такие, для которых соответствующие волновые функции удовлетворяют стандартным условиям.

Итак, - это и есть решение уравнения Шредингера.

Совокупность значений - энергетический спектр микрочастиц. Для стационарных состояний в ограниченном пространстве спектр является дискретным (т.е. энергия квантуется). В некоторых случаях (например, в ограниченном пространстве макроскопических размеров) дискретностью можно пренебречь и считать энергетический спектр непрерывным.

Таким образом, квантование энергии микрочастиц получается из основных положений квантовой механики.

Функции , удовлетворяющие уравнению , называют собственными функциями оператора , а значения - собственными значениями. Таким образом, решение стационарного уравнения Шредингера сводится к задаче нахождения собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона. В квантовой механике, наряду с нахождением собственных функций и собственных значений оператора энергии, решают аналогичные задачи и для операторов, соответствующим другим физическим величинам.

Можно показать, что собственные функции оператора Гамильтона являются ортогональными, т.е.

, если .

Если специально выбрать множитель А у функции таким образом, чтобы , то функции будут ортонормированными (т.е. ортогональными и нормированными одновременно). В этом случае можно записать:

, где символ Кронекера.

Каковы рамки применимости уравнения Шредингера?

1-е ограничение – уравнение Шредингера справедливо только для нерелятивистской микрочастицы ( << ).

2-е ограничение – уравнение Шредингера не учитывает существование собственного механического момента микрочастиц – спина.

В 1929 г. Дирак разработал основы релятивистской квантовой механики, одним из результатов которой явилось подтверждение существования спина микрочастиц.

Дата добавления: 2015-10-21