Крюков Н.А., Крюкова Т.В. (Санкт-Петербург)

Крюков Н.А., Крюкова Т.В. (Санкт-Петербург)

РОЛЬ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ В ДИДАКТИКЕ. КОНФЛИКТОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

Социальным наукам приписывают междисциплинарный характер в силу сложности исследуемых объектов. Современное обучение и воспитание профессиональных специалистов XXI века в областях знаний, решающих вопросы и проблемы, возникающие в обществе, базируется на тенденции развития образования как учебной модели науки. Важной характеристикой современной науки в целом является факт стирания границ между естественнонаучными и гуманитарными отраслями знаний [1;175][2;17]. Математика является универсальным языком и позволяет единым образом описывать явления и события, происходящие в различных предметных областях. Целью математических операций (математического описания) является выполнение основных математических действий сравнения: больше (˃), меньше (˂), равно (=) и действий: сложения (+) и вычитания (–). Осознанно или неосознанно все эти операции каждый человек делает ежедневно, ежечасно, ежеминутно, ежесекундно и даже чаще. Над какими объектами можно выполнять математические действия? Объектами изучения в математике являются абстрактные логические объекты и структуры, у которых описан ряд отношений между элементами. Именно они и называются математическими моделями. В частности, в математике изучаются безразмерные величины, которые принято называть «числа». Математические операции над абстрактными объектами «числа» подчиняются определенным логикам (правилам) и составляют три основных закона: коммутативный, дистрибутивный и ассоциативный. Данная совокупность логических объектов и структур составляет «теорию чисел» и является фундаментом дискретной математики. Другая совокупность логических объектов и структур исследуется в разделе «геометрия», где аксиоматически введены понятия точки, отрезка, линии, плоскости, etc. и установлены правила математических действий над ними. В этом разделе исследуются геометрические (аналоговые/непрерывные) объекты. И, наконец, в математической науке, носящей название «символическая» или «математическая логика», различные взаимоотношения между высказываниями, множествами, etc. выражают на языке формул, который свободен от неясностей и двусмысленности, столь свойственных нашему обыденному языку. Благодаря этому оказывается возможным построить логику на основе исходных понятий и формул с помощью четко сформулированных правил действий. Кроме того, преимущества символьного языка важны для компактного изложения и ясности его для описания и понимания конкретной проблемы, конфликта, etc.

Других классов логических объектов и структур в современной математике пока неизвестно. Мощь, сила и красота математики проявляется при использовании ее как инструмента познания мира в целом: и окружающего нас, и нашего собственного (внутреннего).

В других науках и в обыденной жизни используются размерные величины, численное значение которых находится из измерений. Под измерением понимают сравнение исследуемой переменной с эталонной. Всякое измерение неизбежно связано с его погрешностями. Не углубляясь в детали теории измерений, следует отметить [3; 208]: “Измерение завершается определением степени приближения найденного значения к истинному значению величины (если об этом не имеется априорной информации). Измерение следует отличать от счета и других приемов количественной характеристики величин, применяемых в тех случаях, когда нет однозначного соответствия между величиной и ее количественным выражением в определенных единицах”.

Важнейшей задачей и в научных исследованиях, и в образовательном процессе является адекватный выбор системы единиц измерения: эталонов, норм. В современном мире разработаны, созданы и широко используются определенные стандарты для всех видов человеческой деятельности. Работа в этом направлении продолжается как с целью уточнения, так и выработки новых стандартов для углубления и расширения знаний о мире. Здесь уместно подчеркнуть, что существование и практическое применение стандартов, норм (в том числе «вечных» ценностей) позволяет сделать мир предсказуемым и устойчивым. Отрицание стандартов или пренебрежение нормативным поведением приводит к нарушению стабильного (стационарного) состояния рассматриваемых объектов/систем, в том числе и к конфликтным ситуациям [4;209].

Рациональная информация, собранная, измеренная для исследуемого события, явления, etc., характеризует уровень понимания, при котором удается находить ответы на вопросы о тех процессах, для которых неизвестны описывающие их конкретные законы. В дидактике наиболее трудными и ответственными моментами методологии считаются: создание вербальной феноменологической модели изучаемого явления и перевод этой модели на математический язык. В современном мире математическое моделирование является универсальной методологией исследований в любых областях человеческого знания. Успех математического моделирования в большой степени определяется выбором адекватного математического аппарата. Проблема выбора адекватного математического аппарата при обучении тесно связана с одним из фундаментальных принципов дидактики – наглядностью. Однако при обучении математическая модель нередко смешивается с реальным явлением, что иногда приводит к искажению целей преподавания. Всякое математическое описание явления означает известную логическую идеализацию, не говоря уже о том, что моделирование происходит с определенной степенью точности в результате отбрасывания ряда факторов, которые, несмотря на кажущуюся «незначительность» и малость, могут в определенном смысле повлиять на конечный результат. Попытки разработки так называемой «точной» (истинной) математической модели требуют учета всех деталей, что делает общую картину чрезмерно громоздкой и затрудняет ясное понимание. Однако в модельном описании формулы – не главное, главное – их интерпретация, т.е. понимание и, именно, оно питает интуицию. Н.Бор [5;47] по этому поводу сформулировал: «Понятию истинности дополнительно понятие ясности». Уместно привести цитату академика Н.Н. Моисеева [6;34]: «Под моделью будем понимать упрощенное, если угодно, упакованное знание, несущее вполне определенную, ограниченную информацию о предмете (явлении), отражающее те или иные его отдельные свойства. Модель можно рассматривать как специальную форму кодирования информации. В отличие от обычного кодирования, когда известна вся исходная информация, и мы лишь переводим ее на другой язык, модель, какой бы язык она не использовала, кодирует и ту информацию, которую люди раньше не знали. Можно сказать, что модель содержит в себе потенциальное знание, которое человек, исследуя ее, может приобрести, сделать наглядным и использовать в своих практических нуждах. Для этих целей в рамках самих наук развиты специальные методы анализа. Именно этим и обусловлена предсказательная способность модельного описания». Завершая на этом этапе рассмотрение вопросов математического моделирования, интересно привести взгляд на эти проблемы из второй половины XIX века известного естествоиспытателя, педагога (и, кстати, член-корреспондента РАН) Томаса Гексли (Tomas Huxley): «Математика, подобно жернову, перемалывает то, что под него засыпают, и как, засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных предпосылок».

Ниже представлены и обсуждены решения типичных модельных задач, которые используются в современных учебниках по социальным специальностям и в литературе по менеджменту и деловым коммуникациям. Тексты условий приведены с небольшими сокращениями без искажения сути. Также анализируются тексты литературных мифов/сказок. Тексты выбирались исходя из адекватности применения математического аппарата.

Итак, будем понимать под текстом модельной задачи специальным образом закодированную информацию о том или ином явлении, событии, высказывании, etc. Рассмотренные три типа модельных задач решены с помощью численных методов, геометрического представления и символической логики. Актуальность этих задач в специальной литературе видимо определяется их наглядностью и типичностью, хотя, как будет видно ниже, все они были сформулированы в различное время, в разные эпохи и в разных социальных условиях.

Модельная задача №1. Три гражданки Пятеркина, Тройкина и Пустышкина жили коммуной и решили попить чаю. Пятеркина принесла 5 поленьев, Тройкина принесла 3 полена, Пустышкина ничего не принесла. Забросили все 8 поленьев в печь, на огонь поставили чайник с водой. Как только последнее полено прогорело, вода вскипела. Каждая забрала себе по одной трети кипятка и удалилась в свою комнату. Через два дня Пустышкина принесла 8 рублей и говорит Пятеркиной: «Я ничего не приносила, а чай пила. Вот вам 8 рублей, разделите между собой в соответствии со своим вкладом». Вопрос состоит в том, как разделить 8 рублей между Пятеркиной и Тройкиной? Как пишет автор книги, в которой приведен этот пример [7;77]: «Не спешите с ответом. Хотя, возможно, вы уже сказали, что надо отдать 5 рублей Пятеркиной, а 3 рубля – Тройкиной. Не тут-то было. Из вашей логики получается, что каждое полено приравнено к одному рублю. Из этого следует, что Пустышкина заплатила за все 8 поленьев и теперь Пятеркина и Тройкина ей должны! Что-то не так». Далее автор приводит решение в шкале относительных единиц: «Пустышкина платит за 1/3 кипятка. Также надо учитывать, что Пятеркина и Тройкина забрали себе кипяток». Рысев Н. отмечает, что сначала надо определить, сколько Пятеркина и Тройкина вскипятила кипятка для Пустышкиной. «Получаем, что Пятеркина вскипятила для Пустышкиной: 5/8 - 1/3 = 7/24, т.к. поленьев всего 8, а она принесла только 5. А Тройкина вскипятила для Пустышкиной: 3/8 - 1/3 = 1/24. Тогда 7/24+1/24=8/24=1/3 – то, что взяла себе Пустышкина. Если одна гражданка вскипятила 7 долей, а вторая 1 долю, то и деньги надо разделить в таком же соотношении: 7 рублей – Пятеркиной, 1 рубль – Тройкиной».

Покажем решение этой задачи в шкале абсолютных единиц измерения. Пустышкина задала некую внешнюю норму, когда указала, что стоимость одной трети кипятка (по ее мнению) равна 8 рублям. Ее следовало бы назвать «Денежкина», так как в модельных задачах каждый образ несет смысловую нагрузку. Пустышкина считает, что весь кипяток стоит 24 рубля и она приобрела одну треть всего товара (кипятка). Надо найти какую долю Пустышкина приобрела у каждой из соседок. Пятеркина и Тройкина промолчали относительно стоимости товара, но можно догадаться, что их это устроило. Задана цена – 24 рубля (вложено 8 поленьев), т.е. одно полено оценено в 3 рубля. Пятеркина внесла 5 поленьев, что соответствует 15 рублям. Тройкина внесла 3 полена, что соответствует 9 рублям. Это – априорная информация. Теперь определим апостериорную информацию: Пятеркина скипятила для Пустышкиной на сумму 15 – 8=7 рублей; Тройкина скипятила для Пустышкиной на сумму 9 – 8=1 рубль, т.е. 8 рублей между двумя соседками надо распределить соответственно: 7 и 1 рубль.

Эта задача в разных вариантах встречается и у других авторов, например, в работе [8;369] для иллюстрации коммуникативных навыков (причем там называются уже другие суммы – 80 рублей, что соответствует другому периоду времени жизни страны). В книге Н.Рысева дан похожий пример из бизнеса (строительство дома). Несмотря на различное содержание задач алгоритмы решения у них аналогичные.

В процессе рассмотрения модельных задач необходимо уделять внимание понятию внешней нормы [4;209], которая должна соответствовать характеристикам SMART. Этот термин является аббревиатурой(Specific – конкретный, Measurable – измеряемый, Accurate – точный, Relevant – насущный, Time-bound – определенный во времени) характеристик адекватности выбора и качества принятых решений в управлении.

Норму в первом варианте привнесла Пустышкина. По норме можно судить об уровне жизни общества, минимальной корзине. Этот пример относится к стационарным задачам. Во втором варианте задачи (с домом) в явном виде норма не указана, и это составляет суть того, что в бизнесе называют «коммерческой тайной». Справедливо ли это? Скорее «да», потому что в этом сюжете с точки зрения характеристики SMART «определенный во времени» нужно рассматривать долгосрочное инвестирование («длинные деньги») за периоды проектирования, строительства и продажи недвижимости, когда реальная стоимость денежной единицы может измениться. Этот вариант относится к нестационарным задачам.

Измерения на относительных шкалах могут привести к двусмысленности, что используется в манипуляциях при расчете стоимости товара в процентных величинах в цепочке «производитель-продавец-покупатель» (см., например, метод LIFO в бухгалтерском учете [9;167]). Расчеты в абсолютной мере раскрывают реальный механизм формирования стоимости, но требуют детальной и точной информации.

Модельная задача №2. Рассмотрен конфликт вокруг деления наследства братьями, описанный в работе [10;293]. Суть проблемы в следующем: два брата судятся по поводу садового участка и дома на нем, которые остались им после смерти родителей. Как разрешить проблему, если родители не оставили завещания? Суд вынес решение о равном праве владения участком и домом обоими братьями. Такое решение не устраивало старшего брата. Он считал, что имеет больше прав на этот дом и участок, так как именно он помогал в строительстве дома и в работе по саду, а младший брат приезжал к родителям только в гости. Старший подал иск в высшую инстанцию, которая отменила решение суда и отправила дело на пересмотр. Младший брат продолжал требовать свою долю наследства. Этот конфликт неоднократно и безуспешно рассматривался в судах различных инстанций в течение 8 лет. Так продолжалось до тех пор, пока братья не договорились между собой в процессе медиации. Они подписали соглашение, по которому дом и участок признавался собственностью старшего брата, но младший получил право хранить в этом доме вещи и иногда приезжать, заранее предупреждая старшего брата. При этом старший брат уступал младшему свой гараж в городе. Эта задача исследовалась с помощью рациональных (численных) методов [11;155] и рассматривалась для иллюстрации психологических аспектов медиативных технологий на Санкт-Петербургском международном конгрессе конфликтологов (2009 г.), где О.В. Аллахвердова проводила мастер-класс.

Рассмотрение сложных конфликтов, когда ситуация зависит от многих факторов/переменных, удобно проводить в геометрическом представлении. Геометрическая интерпретация обладает определенной наглядностью по сравнению с алгебраическим/численным представлением дискретных величин. Исследование и анализ конфликта «деление наследства братьями» подробно разобраны и опубликованы в статье [4;209]. В работе рассмотрено представление конфликта как эволюции сложной системы в конфигурационном пространстве. Развитие конфликта описывается изменением состояния элементов системы на основе субъектно-объектной нормативной модели. Состояния элементов системы определены посредством измерения в различных шкалах. Рассмотрена динамика развития и урегулирования конфликта. Введен критерий конфликтогенности через градиентные характеристики состояний системы.

а) б)

Рис. Конфигурационное пространство субъектно-объектного нормативного описания конфликта: а) на начальном этапе рассмотрения конфликта АВ – градиент состояний субъектов конфликта; б) на этапе разрешения конфликта.

В качестве примера анализа конфликта на рисунке представлены геометрические образы состояния системы на начальном этапе его рассмотрения и указаны релевантные переменные, на базисе которых описывалось состояние ситуации на этапе разрешения. Если начальные условия конфликта формулировались в долях юридической нормы и правовое решение не приводило к приемлемому для двух сторон соглашению, то рассмотрение проблемы в единой шкале измерения позволило найти мирное разрешение конфликтной ситуации.

Модельная задача №3. Притча о царе Мидасе. Сын Зевса Дионис со своей свитой бродил по фригийской земле. От компании отстал Силен – учитель Диониса. Его заметили местные земледельцы и привели к царю Мидасу. Тот узнал в старике Силена, принял его с почётом и несколько дней пировал в честь высокого гостя. На десятый день Мидас отвёл Силена к Дионису, который на радостях пообещал Мидасу выполнить любое его желание. Царь Фригии пожелал, чтобы всё, к чему он прикоснётся, превращалось в золото. Желание было выполнено и Мидас пошёл в свой дворец. По дороге обломал ветвь – она сразу стала золотой, тронул рукой в поле колосок – зёрна стали золотыми, сорвал яблоко – оно сразу заблестело золотом. Помыл руки в ручье – вода стекала золотыми струями. Радости Мидаса не было границ. Но позже царь сел за стол и понял, какой у него ужасный дар. При первом же касании в золото превращалось всё – хлеб, закуски, вино. Испуганный Мидас понял, что ему грозит смерть от голода и жажды. Он взмолился, подняв к небу руки: «О, Дионис! Прости! Я молю тебя! Возьми дар назад!». Дионис велел Мидасу искупаться у истоков реки Пактол. Вода смыла с него злополучный дар.

Сказка про курочку Рябу. Жили-были дед да баба. Была у них курочка Ряба. Снесла курочка яичко, не простое - золотое. Дед бил, бил, не разбил. Баба била, била, не разбила. Мышка бежала, хвостиком задела, яичко упало и разбилось. Дед плачет, баба плачет, а курочка кудахчет: «Не плачь, дед, не плачь, баба: снесу вам яичко не золотое - простое!».

Для решения этой модельной задачи проведем анализ текстов притчи и сказки. Информация, закодированная в текстах, может быть сформулирована в утверждении: «Для того, чтобы жить, человек должен потреблять биологические продукты». При решении этой задачи методами математической логики данное утверждение назовем высказыванием и обозначим буквой латинского алфавита р. Истинность или ложность этого высказывания определяется биологическими законами. Тогда сюжет/событие, изложенное в притче, может быть представлено в виде математического выражения р˅р´ (читается р или «не р») и составляет закон исключения третьего. Сюжет/событие, изложенное в сказке, может быть представлено в виде математического выражения р↔(р´)´ (читается р тогда и только тогда, когда «не «не р»») и составляет закон двойного отрицания. Оба высказывания называются тавтологиями или законами логики. Анализ этих решений показывает, что в притче излагается утверждение очевидное для обыденной бинарной логики людей. Утверждение, описанное в сказке, отвечает более сложному логическому закону, что, видимо, является одной из причин непонимания и загадочности содержания этого текста. Кроме того, сравнивая количество слов/кодов, использованных для изложения высказываний в этих текстах, становится видно, что создание вербальной фенологической модели действительно является трудным методологическим моментом. Известно, что количество информации, приходящейся на единицу кода, является одной из важных характеристик в теории коммуникаций. Лишние слова создают так называемый «информационный шум».

Заключение. Исследование и анализ тех или иных явлений/событий, как правило, начинается с рассмотрения гносеологических аспектов. Потом, переходя к выбранному методическому аппарату, приписывают/указывают смысл вводимых понятий, на языке которых формируется портрет/модель изучаемого объекта. Именно этот этап вербализации феноменологического описания является основой для адекватности выбора соответствующих технологий. Описанным выше методам математического моделирования присущи такие фундаментальные характеристики как их универсальность, иерархичность, адекватность рассматриваемому явлению, численная реализация, etc.

Список литературы:

1.Успенский В.А. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера\ Журнал «Знамя», №12, 2007.

2. Успенский В.А. Апология математики. – СПб.: Амфора, 2010.

3. Физика. Большой энциклопедический словарь/Гл.ред. А.М.Прохоров.- 4-е изд. — М.: Большая Российская Энциклопедия,1998.

4. Крюков Н.А., Крюкова Т.В. Проблема измерения в конфликтологии//Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 6, 2009. Выпуск 3.

5. Мигдал А.Б. Квантовая физика и Нильс Бор. – М.,1987.

6. Моисеев Н.Н. Экология человечества глазами математика: (Человек, природа и будущее цивилизации).- М.: Мол. гвардия, 1988.

7. Рысев Н. Правильные управленческие решения. Поиск и принятие.- СПб.: Питер, 2004.

8. Панфилова А.П. Деловая коммуникация в профессиональной деятельности: Учебное пособие. – СПб.: Знание, СПбИВЭСЭП, 1999.

9. Волков Д.Л. Финансовый учет: теория, практика, отчетность организаций. Уч. Пособие. – СПб.: Издат. дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2006.

10. Конфликтология / под ред. А.С. Кармина, СПб.: Издательство «Лань», 1999.

11. Крюкова Т.В. О возможности применения метода анализа иерархий в конфликтологии\ Журнал «Конфликтология – теория и практика».СПб., №3, 2005.

Дата добавления: 2015-10-21