Розділ Ι. Історія створення Великої Теореми Ферма

Зміст

Вступ………………………………………………………………………………….2

Розділ Ι. Історія створення Великої Теореми Ферма………………………………

1.1. Біографія Пьера де Ферма…………………………………………………..

1.2. Народження Великої Теореми………………………………………………

Розділ ΙΙ. Доведення Великої Теореми Ферма…………………………………….

2.1 Доведення Леонарда Эйлера……………………………………………….

2.2 Вклад Софі Жермен…………………………………………………………

2.3 Коші, Ламе та Куммер………………………………………………………

2.4 Ендрю Уайлс…………………………………………………………………

Розділ ΙΙΙ. Лекція століття…………………………………………………………..

3.1 Тріумф Уайлса………………………………………………………………

Висновок…………………………………………………………………………….

Список використаної літератури…………………………………………………..

ВСТУП

Історія Великої Теореми Ферма нерозривно пов'язана з історією математики, оскільки торкається всіх основних тем теорії чисел. Вона відкриває унікальну можливість зрозуміти, що рухає математикою і що дає натхнення математикам, - а це, можливо, навіть більш важливо. Велика теорема Ферма становить центральне ядро ​​захоплюючої історії про сміливості, шахрайстві, хитрості і трагедії, - історії, яка так чи інакше зачіпає всіх найбільших героїв математики.

Історія Великої теореми Ферма нерозривно пов'язана з історією математики, оскільки торкається всі основні теми теорії чисел. Вона відкриває унікальну можливість зрозуміти, що рухає математикою і що дає натхнення математикам, - а це, можливо, навіть більш важливо. Велика теорема Ферма становить центральне ядро ​​захоплюючої історії про сміливості, шахрайстві, хитрості і трагедії, - історії, яка так чи інакше зачіпає всіх найбільших героїв математики.

Своїм корінням Велика теорема Ферма йде в математику Стародавньої Греції - за дві тисячі років до того, як П'єр де Ферма сформулював свою проблему в тому вигляді, в якому ми знаємо її сьогодні. Таким чином, Велика теорема Ферма пов'язує підстави математики, закладені Піфагором, з найбільш витонченими ідеями сучасної математики. При написанні цієї роботи я спираюсь на хронологічну послідовність подій, починаючи з революційного епосу пифагорійского братерства і закінчуючи особистою історією Ендрю Уайлса - його наполегливої ​​боротьби за те, щоб знайти рішення головоломки Ферма.

РОЗДІЛ Ι

1.1 Біографія Пьера де Ферма

П'єр де Ферма - найбільший французький вчений, який багато сторіч тримав у напрузі уми всіх математиків світу. Він є творцем таких наук, як теорія чисел і теорія ймовірностей, автором блискучих теорем математичного аналізу.

П'єр де Ферма - великий учений з Великою теоремою

Відомий на весь світ математик П'єр де Ферма народився у Франції 17 серпня 1601. Довгий час його рідним містом вважалася Тулуза, тим не менш, знайдені записи про його хрещення свідчать на користь невеликого містечка Бомон-де-Ломань. Домінік Ферма - батько хлопчика - займав високий пост помічника мера, був заможним торговцем і шанованою людиною в місті. Мати звали Клер де Лонг, вона викладала математику. Крім П'єра в сім'ї Ферма було ще троє дітей: один хлопчик і дві дівчинки.

З ранніх років батько приділяв особливу увагу освіті сина і ніколи не шкодував на нього коштів. У рідному місті Ферма закінчив коледж, де проявив себе, як талановитий філолог і поліглот. Ще будучи юнаком, П'єр говорив латинською, іспанською, італійською та грецькою мовами. Знання останнього не раз призводило до нього шанувальників античності - Ферма блискуче перекладав і коментував праці давньогрецьких письменників.

Незважаючи на завидні перспективи, П'єр воліє філології юриспруденцію. У 1630 році він закінчує університет в Орлеані і отримує ступінь бакалавра. Під час навчання до нього в руки потрапляє праця грецького математика Паппа, в якому говорилося про конічні перетини і їх властивості. На той момент Ферма зовсім не цікавився математикою, тим не менш, спробував відновити хід думок вченого. У результаті він не тільки зрозумів суть викладеного матеріалу, а й сформулював новий унікальний алгоритм для знаходження максимуму і Ферма починає цікавитися і іншими математиками Стародавньої Греції. Так «Арифметика» Діофанта Олександрійського надовго стає його настільною книгою. Багато свої геніальні відкриття вчений залишив саме на її полях, в якості заміток і коментарів до роздумів Діофанта. Тут же і була виявлена ​​знаменита Велика теорема Ферма. За словами самого вченого, він не став записувати доказ, оскільки на полях для нього занадто мало місця. Чи було воно правильним достеменно не відомо, тим не менш, доказ Ендрю Уайлса (1994 рік) зайняло 129 сторінок.

Через рік після закінчення університету Ферма направляється в Тулузу. Тут він займає посаду королівського радника в Парламенті і стає членом вищого суду. Втім, багато хто стверджує, що високий пост П'єр не отримав, а викупив. Тим не менш, до своєї роботи він ставиться у вищій мірі відповідально і сумлінно, і по праву вважається одним з кращих юристів того часу.

Того ж 1631 трапляється ще одна важлива подія в житті вченого - він бере в дружини Луїзу де Лонг - далеку родичку своєї матері. За час спільного життя Луїза народила йому п'ятьох дітей: трьох синів і двох доньок.

З 1636 Ферма починає активну переписку з відомими вченими того часу. Своє перше лист він адресував французькому математику і богослову Марену Мерсенну, в якому просив розповісти про всі трактатах і книгах з математики, випущених за останні роки. Крім того, вчений ділився своїми ідеями та новими аналітичними методами.

Мерсенн зацікавився дослідженнями Ферма і включив його в свій елітний клуб математиків. Крім нього там були Декарт, Дезарг, Робервіль, Паскаль, Арді та ін. П'єр веде наукову переписку майже з усіма членами гуртка. Згодом саме ці листи і стануть основним спадщиною вченого, який так і не надрукує за життя жодного свого видатного праці.

Тим часом, Ферма досить швидко просувається по кар'єрних сходах, і в 1648 році він вже член Палати едиктів в Кастре. Така висока посада свідчить про знатності вченого, і він стає П'єром де Ферма, з гордою приставкою de перед прізвищем.

Тут же, в Кастре, відправившись на чергову виїзну сесію суду, Ферма несподівано помирає. Це сталося в 1665 році, коли вченому було всього 64 роки. Донести до нащадків його великі труди береться старший син Ферма - Самюель. Він посмертно випускає збірку з його чудовими відкриттями, а так само видає нову «Арифметику» Деофанта з усіма коментарями свого батька.

П'єра де Ферма поховали в Кастре, але, через 10 років, перенесли прах в Тулузу, де вчений жив і працював більшу частину свого життя.мінімуму функції. Отриманий результат досі вважається одним з основних понять в диференціальних рівняннях.

1.2 Народження Великої Теореми

У 17 столітті у Франції жив юрист і за сумісництвом математик П'єр Ферма, який віддавав своєму захопленню довгі години дозвілля. Якось зимовим вечором, сидячи біля каміна, він висунув одну дуже цікаву твердження з області теорії чисел - саме воно надалі було названо Великої або Великий теоремою Ферма. Можливо, ажіотаж не був би настільки вагомим в математичних колах, якби не одна подія. Математик часто проводив вечори за штудіюванням улюбленої книги Діофанта Олександрійського «Арифметика» (3 століття), при цьому записував на її полях важливі думки - цей раритет дбайливо зберіг для нащадків його син. Так от, на широких полях цієї книги рукою Ферма була залишена такий напис: «У мене є досить вражаюче доказ, але воно занадто велике, щоб його можна було помістити на полях». Саме цей запис став причиною приголомшливого ажіотажу навколо теореми. У математиків не викликало сумнівів, що великий учений заявив про те, що довів власну теорему. Ви напевно ставите питанням: «Невже він насправді її довів, чи це була банальна брехня, а може є інші версії, навіщо ця запис, не давала умиротворено спати математикам наступних поколінь, виявилася на полях книги?».

Досить відома теорема Ферма проста по своїй суті і полягає в тому, що за умови, коли n більше двійки, позитивного числа, рівняння Хn + Yn = Zn не матиме рішень нульового типу в рамках натуральних чисел. У цій на вигляд простої формули була замаскована неймовірна складність, і на її доказом билися цілих три століття. Є одна дивина - теорема спізнилася з народженням на світ, так як її окремий випадок при n = 2 з'явився ще 2200 років тому - це не менш знаменита теорема Піфагора.

Хn + Yn = Zn

Необхідно відзначити, що історія, яка стосується всім відомої теореми Ферма, є дуже повчальною і цікавій, причому не тільки для вчених-математиків. Що найцікавіше, так це те, що наука була для вченого не роботою, а простим хобі, яке в свою чергу, доставляла Фермеру величезне задоволення. Також він постійно підтримував зв'язок з ученим-математиком, а за сумісництвом, ще й іншому, ділився ідеями, але як не дивно, власні роботи опубліковувати у світ не прагнув.

Розділ ΙΙ. Доведення Великої Теореми Ферма

2.1 Доведення Леонарда Ейлера

Леонард Ейлер народився в Базелі в 1705 році в сім'ї кальвіністського пастора Пауля Ейлера. Хоча юний Ейлер проявив незвичайний математичний талант, його батько вирішив, що син повинен вивчати теологію, і готував йому церковну кар'єру. Леонард підкорився батьковій волі і став вивчати теологію і давньоєврейську мову в Базельському університеті.

На щастя для Ейлера, Базель був батьківщиною знаменитого клану Бернуллі. Бернуллі могли б з повним правом претендувати на звання самого математичного роду: вісім представників родини Бернуллі належали до числа найвидатніших умів Європи протягом всього лише трьох поколінь. Говорили, що сім'я Бернуллі стала для математики тим же, чим сім'я Баха була для музики. Слава роду Бернуллі поширилася за межі математичної спільноти, і одна легенда яскраво малює «профіль» сімейства. Одного разу Данило Бернуллі подорожував по Європі і вступив в бесіду з незнайомцем. Через якийсь час він скромно представився своєму співрозмовнику: «Я - Данило Бернуллі». «А я, - саркастично відповів той, - Ісаак Ньютон». Данило охоче згадував цей випадок кілька разів, вважаючи його найщирішим визнанням своїх заслуг, яке йому коли-небудь довелося отримувати.

Данило і Микола Бернуллі були близькими друзями Леонарда Ейлера, і вони першими зрозуміли, що на їхніх очах відбувається перетворення блискучого математика в пересічного теолога. Вони звернулися до Паулю Ейлеру і прохали його дозволити Леонарду залишити теологію заради чисел. Ейлер-старший сам у минулому вивчав математику у старшого Бернуллі, Якоба, і відчував до сім'ї Бернуллі глибоке шанування. З великим небажанням Пауль Ейлер був змушений визнати, що його син народжений не для молитов, а для обчислень. Незабаром Леонард Ейлер покинув Швейцарію, змінивши рідний Базель на палаци Берліна і Санкт-Петербурга, де він і провів більшу частину свого творчого життя. В епоху Ферма математиків вважали любителями жонглювати числами, але до початку XVIII століття їх вже розглядали як професійних «решателей завдань». Культура чисел різко змінилася, і сталося це частково завдяки серу Ісааку Ньютону і його науковим результатами.

Ньютон вважав, що математики лише даремно витрачають час, піддражнюючи один одного порожніми й нікчемними завданнями-головоломками. Замість цього він намірився застосовувати математику до фізичного світу і обчислювати все, що тільки можна, - від орбіт планет до траєкторій гарматних ядер. До того часу, коли Ньютон помер (це сталося в 1727 році), в Європі відбулася наукова революція. У той же рік Ейлер опублікував свою першу роботу. І хоча вона містила витончені і свіжі математичні ідеї, її головна мета полягала в описі вирішення однієї технічної проблеми, пов'язаної з постановкою щогл на вітрильних кораблях.

Європейські держави не були зацікавлені у використанні математики для вивчення езотеричних і абстрактних понять; математика була їм необхідна для вирішення практичних проблем, і уряду змагалися в залученні до себе на службу кращих умів. Ейлер почав свою математичну кар'єру в Росії, потім його запросив до Берлінської академії король Пруссії Фрідріх Великий. У царювання Катерини Великої Ейлер повернувся в Росію, де він і провів останні роки життя. За роки своєї діяльності Ейлер вирішив безліч завдань з самих різних областей - від навігації до фінансів, від акустики до іригації. Практичний світ вирішення нагальних проблем не притупив математичні здібності Ейлера. Навпаки, для вирішення кожної нової проблеми Ейлер винаходив новий дотепний математичний підхід. Настільки «одностороння» спрямованість його розуму призводила до того, що в іншій день Ейлеру траплялося писати по кілька робіт. Розповідають, що між першим і другим запрошенням до обіднього столу Ейлер якось раз спробував виконати обчислення, що заслуговують публікації. Ейлер не втрачав ні хвилини. Заколисуючи однією рукою немовляти в колисці, він іншою рукою накидав доказ теореми.

Одним з найбільших досягнень Ейлера стала розробка алгоритмічного мислення. Відмітна особливість ейлеровскіх алгоритмів полягала в тому, що вони призначалися для вирішення проблем, які здавалися нерозв'язними. Однією з таких проблем було високоточне пророкування фаз Місяця - інформація про фазах Місяця мала життєво важливе значення для складання таблиць, необхідних для мореплавання. Ще Ньютон показав, що можна порівняно легко передбачати орбіту одного тіла, що обертається навколо іншого, але в разі Місяця ситуація не така проста.

Місяць обертається навколо Землі, але третього тіло - Сонце - суттєво ускладнює картину. Земля і Місяць притягують один одного, а Сонце обурює положення Землі і зіштовхує Місяць з її ідеальною орбіти навколо Землі. Рівняння дозволяли описати поведінку Землі і Місяця, але математики XVIII століття не вміли враховувати у своїх обчисленнях вплив третіх тіла. Навіть сьогодні неможливо передбачити, як буде вести себе точне рішення цієї задачі (клас таких завдань називається «завданням трьох тіл»). Ейлер зрозумів, що мореплавцям немає необхідності знати фазу Місяця з абсолютною точністю - цілком достатньо такої точності, яка дозволяє визначити положення судна з точністю до декількох морських миль. І він розробив рецепт, що дозволяє отримувати не ідеальне, а досить точне рішення. Такий рецепт, званий алгоритмом, дозволяє отримати спочатку вельми наближене, грубе рішення. Потім це рішення можна ввести в якості вихідних даних у той же алгоритм і отримати вже більш точне рішення. У свою чергу, уточнене рішення, якщо його також ввести в алгоритм, породжує ще більш точне рішення, і т. Д. Після ста або близько того ітерацій Ейлер отримав можливість визначити положення Місяця з точністю, достатньою для потреб мореплавання. Свій алгоритм Ейлер представив британському Адміралтейству і отримав нагороду в триста фунтів стерлінгів.

Ейлер заслужив репутацію людини, здатної вирішити будь-яке поставлене йому завдання, причому не тільки математичну. Під час перебування свою при дворі Катерини Великої він зустрів великого французького філософа Дені Дідро. Той був переконаним атеїстом і намагався звернути в атеїзм представників російської знаті. Розгнівана цим Катерина звернулася до Ейлера з проханням припинити діяльність французького безбожника.

Ейлер подумав над проханням імператриці і оголосив, що має в своєму розпорядженні алгебраїчним доказом існування Бога. Катерина Велика запросила Ейлера і Дідро в палац і зібрала на теологічний суперечка всіх придворних. Ейлер встав перед аудиторією і заявив:

«Сір! (a + bn) / n = x, отже Бог існує. Що Ви маєте заперечити?»

Дідро не був сильний в алгебрі і не міг нічого заперечити превеликий математику Європи. Йому залишалося тільки мовчати. Зазнавши принизливу поразку, він покинув Санкт-Петербург і повернувся в Париж. Ейлер ж на якийсь час повернувся до занять теологією і опублікував ще кілька жартівливих доказів щодо природи Господа Бога і людського духу.

Більш «земна» завдання, привернувши увагу Ейлера, великого любителя головоломних проблем, пов'язана з прусським містом Кенігсбергом (нині - російське місто Калінінград). Місто стоїть на берегах річки прего і складається з чотирьох частин, з'єднаних між собою родину мостами. План міста схематично зображено на рис. 7. Деякі з цікавих жителів Кенігсберга зацікавилися, чи можна обійти всі сім мостів, не переходячи ні по одному з них двічі. Дехто з мешканців Кенігсберга спробував прокласти різні маршрути, але нічого доброго з цього не вийшло. Ейлера також не вдалося обійти всі сім Кенігсбергськая мостів, побувавши на кожному тільки один раз, але зате він зумів пояснити, чому зробити це неможливо.

Ейлер взяв план міста і замінив його спрощеною схемою, на якій частині міста зображені точками (вузлами), а мости - лініями (ребрами), як на рис. 8. Потім Ейлер став міркувати так. Щоб існував маршрут, що дозволяє обійти рівно по одному разу всі мости, кожна точка на схемі повинна належати парним числом ліній. Це пов'язано з тим, що в середині обходу мандрівник, проходячи якусь із частин міста, має увійти в неї по одному мосту, а вийти - по іншому. З цього правила існують лише два винятки: коли мандрівник починає або завершує обхід. На самому початку обходу мандрівник залишає якусь частину міста, і для виходу з неї необхідний тільки один-єдиний міст. Якщо обхід починається і закінчується в різних частинах міста, то число мостів, що ведуть до кожної з них непарній. Але якщо обхід починається і закінчується в одній і тій же частині міста, то відповідна їй точка на схемі, як і всі інші точки, має належати парним числом ліній (т. Е. Ця частина міста повинна бути з'єднана з іншими частинами парним числом мостів).

Таким чином, уклав Ейлер, якою б не була мережа мостів, обійти всі мости, побувавши на кожному по одному і тільки одному разу, можна тільки в тому випадку, якщо всі частини міста з'єднані з іншими парним числом мостів або якщо рівно дві частини міста з'єднані з іншими частинами непарним числом мостів. У Кенігсберзі місто підрозділяється всього на чотири частини, - і всі вони з'єднані з іншими частинами непарним числом мостів. На схемі Кенігсберга три крапки належать трьом лініях, а одна - п'яти лініях. Тим самим Ейлер не тільки зумів пояснити, чому всі сім Кенігсбергськая мостів неможливо обійти, побувавши на кожному один і тільки один раз, але і придумав правило, яке застосовується до будь-якої мережі мостів в будь-якому місті світу. Міркування Ейлера відрізняються чудовою красою. Мабуть, такого сорту логічні задачі Ейлер і любив вирішувати за обідом.

Завдання про семи Кенігсбергськая мостах належить до числа так званих задачах про графах в прикладній математиці. Саме вона спонукала Ейлера до розгляду більш абстрактних графів. У ході своїх досліджень Ейлер відкрив фундаментальну істину, що відноситься до усіх графам, - так звану формулу Ейлера для графів, яку йому вдалося довести за кілька логічних кроків. Формула Ейлера для графів висловлює непорушне співвідношення між трьома елементами будь графа:

V - R + L = 1,

де

V - число вершин (вузлів, або перехрещень) в графі,

R - число ліній (ребер) у графі,

L - число замкнутих областей в графі.

Таким чином, за твердженням Ейлера, якщо до числа вершин будь-якого графа додати число замкнутих областей і відняти число його ребер - результат завжди виявиться дорівнює одиниці. Наприклад, всі графи на рис. 9 задовольняють формулою Ейлера.

Вершини = 4

Області = 3

Лінії = 6

Вершини = 6

Області = 1

Лінії = 6

Вершини = 5

Області = 10

Лінії = 6

Можна перевірити формулу Ейлера на цілої серії графів, і щоразу вона виявляється вірною; виникає спокуса припустити, що формула Ейлера вірна для всіх графів. І хоча такої перевірки було б достатньо для фізичної теорії, для обгрунтування математичної теорії її зовсім недостатньо. Єдиний спосіб показати, що формула Ейлера залишається в силі для будь-якого мислимого графа, - побудувати бездоганну з погляду логіки доказ. Саме так і вчинив Ейлер.

Своє доказ Ейлер почав з найпростішого з графів - з графа, що складається з однієї єдиної вершини (рис. 10а). Ясно, що для такого графа формула Ейлера вірна: є всього одна вершина, ліній і областей немає, тому

V + R - L = 1 + 0-0 = 1.

Потім Ейлер розглянув питання про те, що відбудеться в тому випадку, якщо він що-небудь додасть до цього найпростішого графу. Яке додавання до нього вимагає додавання лінії. Кожна лінія може з'єднувати існуючу вершину або з самою собою, або з якою-небудь новою вершиною.

По-перше, розглянемо випадок, коли додаткова лінія з'єднує існуючу вершину з самою собою. Як видно з рис. 10б, при додаванні лінії в цьому випадку додається також нова область. Отже, формула Ейлера для графів залишається в силі, оскільки додавання однієї області (+) компенсується додаванням однієї лінії (-). При додаванні нових ліній того ж типу формула Ейлера для графів також залишиться в силі, так як кожна нова лінія породжує нову область.

По-друге, розглянемо, що відбудеться, якщо додаткова лінія з'єднає існуючу вершину з новою вершиною, як на рис. 10в. І в цьому випадку формула Ейлера залишається в силі, так як нова вершина (+) компенсує нову лінію (-). При додаванні нових ліній того ж типу формула Ейлера також залишається в силі, оскільки кожна додаткова лінія розглянутого типу закінчується в новій вершині.

От і все, що було потрібно Ейлеру для його докази. Він міркував так. Формула вірна для найпростішого з усіх графів - однієї-єдиної вершини. Усі інші графи, наскільки б складними вони не були, можуть бути побудовані з найпростішого шляхом додавання ліній - по одній лінії за один раз. Всякий раз при додаванні до графу нової лінії формула залишається вірною, тому що разом з лінією додається або нова вершина, або нова область, і тим самим компенсується додавання лінії. Ейлер розробив просту, але потужну стратегію. Він довів, що його формула вірна для найпростішого графа, що складається з однієї-єдиної вершини, і що будь-яка операція, що приводить до ускладнення графа, що не порушує формулу для графів. Отже, формула вірна для нескінченної кількості всіх можливих графів.

Вперше зіткнувшись з Великою теоремою Ферма, Ейлер, повинно бути, сподівався на те, що йому вдасться знайти доказ, коли його дотримуватися аналогічної стратегії. Велика теорема Ферма і формула Ейлера для графів сягають своїм корінням у вельми різні галузі математики, але одна особливість у них була спільною: вони обидві щось стверджували щодо нескінченно багатьох об'єктів. Формула Ейлера стверджує, що для нескінченно багатьох графів, які тільки існують на світі, число вершин плюс число областей мінус число ліній завжди дорівнює одиниці. Велика теорема Ферма стверджує, що нескінченно багато рівнянь не допускають рішення в цілих числах. Нагадаємо, що теорема Ферма стверджує наступне: рівняння

xn + yn = zn, де n - будь-яке ціле число більше 2,

передбачає рішення на цілих числах.

Це рівняння насправді являє собою нескінченну систему рівнянь

x 3 + y 3 = z 3,

x 4 + y 4 = z 4,

x 5 + y 5 = z 5,

x6 + y 6 = z 6,

x 7 + y 7 = z 7,

Ейлер спробував з'ясувати, чи не можна довести, що одне з рівнянь не допускає рішень в цілих числах, а потім екстраполювати отриманий результат на всі інші рівняння (точно так само, як він довів свою формулу для всіх графів).

Перший крок до здійснення задуманого Ейлер зробив, коли виявив ключ до доказу в коротких записах на полях «Арифметики» Діофанта. Хоча Ферма не залишив розгорнутого докази Великої теореми, він в іншому місці того самого екземпляра «Арифметики» написав у зашифрованому вигляді доказ для випадку n = 4, включивши його в рішення зовсім інший завдання. Це були самі докладні обчислення, які Ферма коли-небудь довірив папері, та все ж деталі все ще були уривчасті й розпливчасті, а на закінчення докази Ферма посилається на те, що недолік часу й місця не дозволяють йому дати більш повне пояснення. Незважаючи на відсутність багатьох важливих деталей в втікачів нотатках Ферма, в них чітко проглядався один із способів докази від протилежного, відомий під назвою методу нескінченного спуску.

Щоб довести, що рівняння x 4 + y 4 = z 4 передбачає рішення на цілих числах, Ферма почав з припущення про існування гіпотетичного рішення у цілих числах

x = X 1, y = Y 1, z = Z 1.

При вивченні властивостей чисел (X 1, Y 1, Z 1) Ферма показав, що якби таке гіпотетичне рішення дійсно існувало, то було б менше рішення (X 2, Y 2, Z 2). Розглядаючи це нове рішення, Ферма зміг показати, що якби воно існувало, то було б ще менше рішення (X 3, Y 3, Z 3) і т. Д.

Ферма виявив спадну драбину рішень, яка теоретично могла б тривати необмежено, породжуючи все менші й менші рішення. Але x, y і z повинні бути цілими позитивними (так званими натуральними) числами, тому нескінченна спадна сходи неможлива, тому що має бути найменше целочисленное рішення. Отримане протиріччя доводить, що початкове припущення про існування рішення (X 1, Y 1, Z 1) було помилковим. Отже, використовуючи метод нескінченного спуску, Ферма довів, що при n = 4 рівняння xn + yn = zn не може мати цілочисельних рішень.

Ейлер спробував скористатися методом нескінченного спуску як вихідного пункту при побудові загального докази для всіх інших ступенів в рівнянні Ферма. Він хотів одержати доказ для всіх n аж до нескінченності, але насамперед він хотів «опуститися на один щабель» і отримати доказ при n = 3. У листі до прусського математику Християнові Гольдбаху в серпні 1753 Ейлер повідомив, що йому вдалося пристосувати метод нескінченного спуску й успішно довести Велику теорему Ферма для випадку n = 3. Так через сто років після смерті Ферма вперше вдалося зробити перший крок на шляху до вирішення його проблеми.

Щоб поширити запропоноване Ферма доказ з випадку n = 4 на випадок n = 3, Ейлера довелося ввести в гру досить химерне поняття так званого уявного числа - величини, відкритої європейськими математиками в XVI столітті. Говорити про нові числах, що вони були «відкриті» досить дивно, але відчуття незвичайності виникає головним чином тому, що ми настільки звикаємо до постійно і широко використовуваним числам, що забуваємо про часи, коли деякі з цих чисел не були відомі. І негативні, і ірраціональні - всі ці числа свого часу доводилося відкривати, і мотивація в кожному випадку зводилася до необхідності вирішити завдання, нездійсненне у вже відомих числах.

Історія теорії чисел починається з звичайних чисел, використовуваних для рахунку - 1,2,3..., - відомих під назвою натуральних чисел. Ці числа ідеально підходять для складання простих цілих величин, таких, як вівці або золоті монети, щоб дізнатися, скільки всього таких величин - їх загальна кількість також є ціле число. Поряд із складанням ще одна проста операція, множення, вироблена над цілими числами, також породжує інші цілі числа. Але операція ділення призводить до досить неприємної проблеми. При розподілі числа 8 на 2 ми отримуємо 4, але при розподілі числа 2 на 8 відповідь виходить рівним 1/4. Результатом розподілу в останньому випадку є не ціле число, а дріб.

Розподіл - проста операція, виконувана над натуральними числами - змушує нас вийти за межі натуральних чисел. Для математика, принаймні, теоретично, немислима ситуація, в якій немає відповіді на питання, чому дорівнює результат простої операції, виробленої над цілими числами. Необхідність існування відповіді називається повнотою. Не будь дробів, деякі питання щодо цілих чисел залишилися б без відповіді. Математики висловлюють цю обставину, кажучи, що дроби необхідні для повноти.

Саме необхідність повноти змусила індійських математиків відкрити негативні числа. Індійські математики помітили, що якщо 3 відняти з 5, то вийде 2, а 5 відняти з 3 не так просто. Відповідь не міг бути отриманий в натуральних числах і зрозуміти його можна, тільки якщо ввести поняття негативного числа. Деякі математики не прийняли настільки абстрактного узагальнення натурального числа і відгукувалися про негативні числах як «безглуздих» і «фіктивних». Перераховуючи золоті монети, можна потримати в руці одну монету або навіть полмонети, але взяти в руку «мінус одну» монету рішуче неможливо.

Стародавні греки були обуян прагненням до повноти, і ця пристрасть привела їх до відкриття ірраціональних чисел. У розділі 2 ми вже обговорювали квадратний корінь з 2. Греки знали, що це число наближено одно 7/5, але коли вони спробували знайти точну дріб, рівну √2, то виявили, що такий дріб не існує. Перед ними було число, що не представимое у вигляді дробу, але цей новий тип числа був необхідний, щоб відповісти на питання: «Чому дорівнює квадратний корінь з двох?» Вимога повноти означало, що до імперії чисел необхідно приєднати ще одну колонію.

До настання епохи Відродження математики стали думати, що відкрили всі мислимі «сорти» чисел на світі. Всі числа можна було вважати розташованими на числовій осі в обидві сторони прямої з нулем в центрі, як на рис. 11. Цілі числа розташовувалися на числовій осі через рівні проміжки, позитивні простягалися до плюс нескінченності праворуч від нуля, негативні - до мінус нескінченності зліва від нуля. Дробу розташовувалися в проміжках між цілими числами, а ірраціональні числа заповнювали прогалини між дробом.

Числова вісь наводила на думку про те, що повнота досягнута. Всі числа перебували на своїх місцях, готові відповісти на всі математичні питання, - в усякому разі на числовій осі не залишалося вільних місць ні для яких нових чисел. Але в XVII столітті знову почалися неприємності. Італійський математик Рафаелло Бомбелли, займаючись вивченням квадратних коренів з різних чисел, зіткнувся з питанням, які не мали готової відповіді.

Все почалося з питання: «Чому дорівнює квадратний корінь з одиниці, т. Е. Число √1?» Очевидна відповідь говорить: одиниці, оскільки 1 • 1 = 1. Менш очевидний інший відповідь: квадратний корінь з одиниці дорівнює мінус одиниці, тобто. Е. Числу -1. Негативне число при множенні на негативне число, дає позитивний, зокрема, (-1) • (-1) = 1. Отже, квадратний корінь з +1 має два значення: +1 і -1. Така велика кількість відповідей саме по собі чудово, але відразу ж виникає інше питання: «Чому дорівнює квадратний корінь з мінус одиниці, т. Е. √-1?» Здається, що це питання не має відповіді. Ні +1, ні -1 не годяться в якості відповіді - обидва числа в квадраті дають +1. Але ніяких інших «кандидатів» не видно. Тим часом повнота вимагає, щоб ми вміли відповідати і на питання про те, чому дорівнює квадратний корінь з -1.

Щоб відповісти на це питання, Бомбелли довелося ввести нове число i, визначивши його просто як відповідь на питання: «Чому дорівнює квадратний корінь з мінус одиниці?». На перший погляд може здатися, що введення i - малодушна спроба обійти рішення проблеми, але зроблений Бомбелли хід нічим не відрізняється від того, як були введені від'ємні числа. Зіткнувшись з нерозв'язною при іншому підході завданням, індійські математики визначили число -1 як відповідь на питання: «Що вийде, якщо від нуля відняти одиницю?». Число -1 здається більш прийнятним тільки тому, що з повсякденного досвіду нам знайоме аналогічне поняття «боргу», в той час як в реальному світі немає нічого, що підкріплювала б поняття уявного числа. Німецький математик XVII століття Готтфрід Лейбніц дав наступне витончене опис надзвичайною природи мнимого числа: «Уявне число - це безтілесне і преудівітельное прихисток Божественного духу, майже амфібія між буттям і небуттям».

Коль скоро ми визначили число i як квадратний корінь з -1, то повинно існувати число 2i, оскільки воно дорівнює сумі i плюс i (а також квадратному кореню з -4). Аналогічно, має існувати і число i / 2, так як воно виходить при розподілі i на 2. Виконуючи прості операції, можна отримати уявний еквівалент кожного так званого дійсного числа. Існують уявні натуральні числа, уявні негативні числа, уявні дробу та уявні ірраціональні числа. Проблема, яка тепер виникає, полягає в тому, що у всіх цих уявних чисел немає свого природного місця на дійсній числової осі. Математики дозволили виниклу кризу, ввівши ще одну - уявну - вісь, перпендикулярну дійсної осі і перетинає її в нулі, як показано на рис. 12. Числа перестали займати одновимірну пряму, а розташувалися на двовимірній площині. Чисто уявні або чисто дійсні числа заповнюють відповідні осі - дійсну та уявну, а комбінації дійсного і уявного чисел (наприклад, 1 + 2i) називаються комплексними числами і мешкають на так званій числовий площині.

Особливо чудово, що в комплексних числах вирішується будь-яке алгебраїчне рівняння. Наприклад, щоб обчислити √3 + 4i, математикам не потрібно винаходити числа нового типу: виявляється, що відповідь дорівнює 2 + i, т. Е. Іншому комплексному числу. Інакше кажучи, створюється враження, що уявні числа - останній елемент, необхідний для завершення математики.

Хоча квадратні корені з від'ємних чисел отримали назву уявних чисел, математики вважають число i нітрохи не більш абстрактним, ніж негативне або будь-яке натуральне число. Крім того, фізики виявили, що уявні числа дають кращий мова для опису деяких явищ, що протікають в реальному світі. За допомогою нехитрих маніпуляцій уявні числа виявляються ідеальним засобом аналізу природної коливального руху об'єктів, наприклад, маятника. Таке коливальний рух, зване на технічній мові синусоїдальним коливанням, широко поширене в природі, і тому уявні числа стали невід'ємною складовою частиною багатьох фізичних розрахунків. У наш час інженери-електрики пристосували i до аналізу змінних струмів, а фізики-теоретики обчислюють різні квантовомеханічні ефекти за допомогою осцилюючих хвильових функцій, підсумовуючи ступеня уявних чисел.

У чистій математиці уявні числа використовують для вирішення завдань, раніше здавалися нерозв'язними. Уявні числа буквально додали новий вимір до математики, і Ейлер сподівався, що йому вдасться використати цю додаткову ступінь свободи у пошуках докази Великої теореми Ферма.

І до Ейлера деякі математики вже намагалися пристосувати метод нескінченного спуску Ферма на вирішення рівняння Ферма у цілих числах при n, відмінних від 4, але всякий раз спроба поширити метод приводила до якимось проблемам в логіці. І тільки Ейлер показав, що, використовуючи число i, можна заткнути всі дірки в доказі і змусити метод нескінченного спуску працювати при n = 3.

Це було грандіозне досягнення, але повторити успіх за інших значень n Ейлеру не вдалося. На жаль, всі спроби застосувати самі міркування до інших значень аж до нескінченності закінчилися провалом. І математик, вирішив більше завдань, ніж будь-хто інший за всю історію, був змушений визнати поразку - Велика теорема Ферма була неприступна. Єдиною втіхою для Ейлера було те, що він здійснив перший серйозний прорив у «кругової оборони» труднейшей математичної проблеми в світі.

Не збентежений спіткала його невдачею, Ейлер продовжував створювати блискучі математичні методи до кінця своїх днів, незважаючи на те, що останні роки його життя були затьмарені повною сліпотою. Ейлер почав сліпнути в 1735 році, коли Академія в Парижі запропонувала премію за вирішення однієї астрономічної проблеми. Ця проблема була настільки важка, що математичне співтовариство звернулося до Академії з проханням дати на рішення кілька місяців, але Ейлеру відстрочення не була потрібна. Задача настільки захопила його, що він, працюючи дні й ночі безперервно, вирішив її за три доби і заслужено отримав премію. Але напружена робота в поганих умовах коштувала Ейлеру, якому тоді ледь виповнилося двадцять років, втрати одного ока. Цей фізичний недолік виразно видно на багатьох портретах Ейлера, в тому числі і на тому, який поміщений на початку цієї глави.

За порадою Жана Лерон Д'Аламбера Ейлера при дворі Фрідріха Великого змінив Жозеф Луї Лагранж, з приводу чого прусський король пізніше зауважив: «Вашим турботам і рекомендаціям я зобов'язаний тому, що замінив математика, сліпого на одне око, математиком, зрячим на обидва ока, що особливо припаде до смаку членам моєї Академії по розряду анатомії». Після повернення Ейлера в Росію Катерина Велика вітала свого «математичного циклопа».

Втрата одного ока мала невеликий «плюс»: як зауважив Ейлер, «у мене буде менше можливостей відволікатися». Сорок років по тому, коли Ейлеру було вже шістдесят, його стан значно погіршився: катаракта на здоровому оці означала, що він приречений на повну сліпоту. Ейлер вирішив не піддаватися хвороби і почав тренуватися - заплющивши очей, який бачив все гірше і гірше, став вчитися писати наосліп, щоб оволодіти цим мистецтвом перш, ніж світло назавжди померкне для нього. Через кілька тижнів Ейлер осліп. Тренування виявилася вельми до речі, але через кілька місяців почерк Ейлера став нерозбірливим, і його син Альберт взяв на себе роль особистого секретаря батька.

Протягом наступних сімнадцяти років Ейлер продовжував активно займатися математикою. Більш того, його продуктивність зросла, як ніколи раніше. Величезний інтелект Ейлера дозволяв йому маніпулювати поняттями, що не фіксуючи їх на папері, а феноменальна пам'ять служила повноцінною заміною бібліотеки. Колеги навіть висловлювали припущення, що наступ сліпоти розширило горизонти його уяви. Слід зауважити, що обчислення положень Місяця були виконані Ейлером вже після настання сліпоти. Для європейських монархів складені Ейлером таблиці були найціннішим математичним досягненням, і вирішенням проблеми, над якою працювали найбільші математики Європи, включаючи Ньютона.

У 1776 році Ейлеру була зроблена операція з видалення катаракти, і на кілька днів зір, здавалося, відновилося. Але в хворе око була занесена інфекція, і Ейлер знову поринув у пітьму. Не гаючи бадьорості духу, він продовжував працювати до 18 вересня 1783, коли стався фатальний апоплексичний удар. За словами математика і філософа маркіза де Кондорсе, «Ейлер перестав жити і обчислювати».

2.2 Вклад Софі Жермен

До початку XIX століття за Великою теоремою Ферма встановилася стійка репутація найважчим проблеми в теорії чисел. Після прориву, здійсненого Ейлером, не було ні найменшого просування, поки сенсаційну заяву однієї юної француженки НЕ вдихнуло нові надії. Пошуки докази Великої теореми Ферма відновилися з новою силою. Софі Жермен випало жити в епоху шовінізму і забобонів, і для того, щоб мати можливість займатися математикою, їй довелося прийняти псевдонім, працювати у жахливих умовах і творити в інтелектуальній ізоляції.

Протягом століть заняття математикою вважалися нежіночим справою, але, незважаючи на дискримінацію, знайшлося кілька жінок-математиків, які виступили проти усталених звичаїв і порядків і закарбували свої імена в анналах математики. Першою жінкою, що залишила слід в історії математики, була Теано (VI століття до н. Е.), Що вчилася у Піфагора, що стала одним із його найближчих послідовників і вийшла за нього заміж. Піфагора іноді називають «філософом-феміністом» за те, що він всіляко заохочував жінок-науковців. Теано була лише однією з двадцяти восьми сестер в пифагорейском братерстві.

У більш пізні часи прихильники і послідовники Сократа і Платона продовжували запрошувати жінок у свої школи, але тільки в IV столітті н. е. жінка-математик заснувала свою власну впливову школу. Іпатія, дочка професора математики Олександрійської академії, прославилася на весь відомий тоді світ своїми диспутами і умінням вирішувати різні завдання. Математики, впродовж довгих місяців ломавшие голови над вирішенням якої-небудь задачі, зверталися до Іпатії з проханням про допомогу, і та рідко розчаровувала своїх шанувальників. Математика і процес логічного доказу цілком захопили її, і на питання, чому вона не виходить заміж, Іпатія відповідала, що заручена з Істиною. Саме безмежна віра Іпатії в людський розум стала причиною її смерті, коли Кирило, патріарх Олександрійський, почав переслідувати філософів, натуралістів і математиків, яких він називав єретиками. Історик Едвард Гібон залишив яскравий опис подій, що відбулися після того, як Кирило організував змову проти Іпатії і нацькував на неї натовп.

«У той фатальний день, у священний сезон Стрічка, Іпатію витягли з колісниці, на якій вона їхала, роздягли догола, поволокли до церкви і нелюдяно розрубали її на частини руками Петра Читця і натовпи диких і безжальних фанатиків; її плоть здерли з кісток гострими устричними раковинами, а її тремтливе кінцівки були спалені на вогнищі».

Після смерті Іпатії в математиці настав період застою. Друга жінка, що змусила говорити про себе як про математику, з'явилася тільки після Відродження. Марія Аньєзі народилася в Мілані в 1718 році. Як і Іпатія, вона була дочкою математика. Аньєзі була визнана одним з кращих математиків Європи. Особливу популярність їй принесли праці, присвячені дотичним до кривим. В Італії криві називалися «versiera» (від латинського «повертати»), але це ж слово вважалося скороченням слова «avversiera» - «дружина диявола». Криві, досліджені Аньєзі (versiera Agnesi) були неправильно перекладені на англійську мову як «відьма Аньєзі», і з часом Марію Аньєзі стали величати так само.

Хоча математики по всій Європі визнавали математичний талант Аньєзі, багато академічні установи, зокрема Французька Академія, відмовилися надати їй пост, що дозволяє займатися дослідженнями. Політика недопущення жінок на академічні пости тривала і в XX столітті, коли Еммі Нетер, про яку Ейнштейн відгукувався як про «найбільш значний творчий математичному генії з числа з'явилися з тих пір, як почалося вищу освіту для жінок», відмовили в наданні права читання лекцій в Геттінгенському університеті. Більшість професорів міркувало так: «Як можна допустити, щоб жінка стала приват-доцентом? Адже якщо вона стане приват-доцентом, то з часом може стати професором і членом університетського сенату... Що подумають наші солдати, коли повернуться до університету і дізнаються, що повинні будуть вчитися у ніг жінки?»Давид Гільберт, друг і наставник Еммі Нетер, заперечив на це так: «Панове! Я не розумію, чому стать кандидата перешкоджає прийняттю її в якості приват-доцента. Зрештою університетський сенат - не чоловіча лазні».

Пізніше у Едмунда Ландау, колеги Нетер, запитали, чи дійсно Нетер велика жінка-математик, на що він відповів: «Я можу заприсягтися, що вона великий математик, але в тому, що вона жінка, я покластися не можу».

Крім того, що Еммі Нетер так само, як і жінки-математики минулих століть, страждала від дискримінації, вона мала з ними ще багато спільного: наприклад, була дочкою математика. Взагалі, багато математиків походили з математичних сімейств, і це породило позбавлені всякої підстави чутки про особливе математичному гені, але серед жінок-математиків відсоток вихідців з математичних сімей особливо великий. Пояснення полягає, мабуть, у тому, що навіть самі обдаровані жінок не зважилися б вивчати математику або не отримали б підтримку своїм намірам, якби їхня сім'я не була б причетна науці. Подібно Іпатії, Аньєзі і більшості інших жінок-математиків, Нетер не була заміжньою. Настільки масове безшлюбність серед жінок-математиків пояснюється тим, що вибір жінкою професії математика зустрічав несхвальне ставлення з боку суспільства, і лише деякі чоловіки насмілювалися запропонувати руку і серце жінкам з такою «сумнівною» репутацією. Винятком із загального правила стала велика жінка-математик з Росії Софія Василівна Ковалевська. Вона вступила в фіктивний шлюб з палеонтологом Володимиром Онуфрійовичем Ковалевським. Для обох шлюб був порятунком, дозволивши їм вирватися з-під опіки родин і зосередитися на наукових дослідженнях. Що ж стосується Ковалевської, то подорожувати поодинці їй було набагато зручніше під виглядом респектабельної заміжньої дами.

З усіх європейських країн найбільш непримиренну позицію по відношенню до освіченим жінкам займала Франція, що проголосила, що математика - невідповідний заняття для жінок і лежить за межами їх розумових здібностей! І хоча салони Парижа домінували в математичному світі XVIII і XIX століть, тільки одній жінці вдалося вирватися з пут французького громадської думки та затвердити за собою репутацію великого фахівця з теорії чисел. Софі Жермен революционизировала пошуки Докази Великої теореми Ферма і внесла вклад, значно переважаючий все, що зробили її попередники-чоловіки.

Софі Жермен народилася 1 квітня 1776 в сім'ї торговця Амбруаза Франсуа Жермен. Крім захоплення математикою на її життя глибоке вплив зробили бурі і негаразди Великої французької революції. В той самий рік, коли вона відкрила для себе свою любов до чисел, народ взяв штурмом Бастилію, а на той час, коли вона займалася вивченням математичного аналізу, впала тінь царства терору. Хоча батько Софі був цілком заможною людиною, Жермени не належали до аристократії.

Дівчат, що стояли на тій же ступені соціальних сходів, що і Софі, не дуже заохочували до вивчення математики, проте передбачалося, що вони повинні володіти достатнім знанням цього предмета, щоб мати можливість підтримати світський розмову, якщо він торкнеться якогось математичного питання. Для цього була написана серія підручників, покликаних ознайомити їх з останніми досягненнями математики і природознавства. Так, перу Франческо Альгаротті належав підручник «Філософія сера Ісаака Ньютона, пояснена для користі дам». Оскільки Альгаротті був переконаний в тому, що дам можуть цікавити лише романи, відкриття Ньютона він спробував викласти у вигляді діалогу маркізи, фліртує з співрозмовником. Наприклад, співрозмовник викладає маркізі закон всесвітнього тяжіння, у відповідь на що маркіза висловлює власну інтерпретацію цього фундаментального закону фізики: «Я не можу позбутися думки, що... те ж співвідношення, зворотна пропорційність квадрату відстані... спостерігається і в любові. Наприклад, якщо закохані не бачаться вісім днів, то любов стає в шістдесят чотири рази слабкіше, ніж в день розлуки».

Не дивно, що інтерес Софі Жермен до науки виник не під впливом книг такого галантного жанру. Подія, яка змінила все її життя, відбулося в той день, коли вона, перебираючи книги в батьковій бібліотеці, випадково натрапила на «Історію математики» Жана Етьєна Монтукли. Її увагу привернула глава, в якій Монтукла розповідає про життя Архімеда. Перелік відкриттів Архімеда у викладі Монтукли, безсумнівно, викликав інтерес, але особливо уяву Софі захопив епізод, в якому йшлося про смерть Архімеда.

За переказами, Архімед провів все своє життя в Сіракузах, де в порівняно спокійній обстановці займався математикою. Але коли йому було далеко за сімдесят, спокій був порушений вторгненням римської армії. Згідно з легендою, саме під час цього вторгнення Архімед, глибоко занурена в споглядання геометричної фігури, накресленої на піску, не розчув звернений до нього питання римського солдата, і, пронизаний списом, загинув.

Жермен розсудила, що якщо геометрична задача може настільки захопити когось, що це призвело до його смерті, то математика повинна бути найдивовижнішим предметом у світі. Софі негайно взялася за самостійне вивчення основ теорії чисел і математичного аналізу, і незабаром засиджувалася допізна, читаючи праці Ейлера і Ньютона. Раптовий інтерес до настільки «нежіночих» предмету, як математика, стривожив батьків Софі. Друг сім'ї граф Гульєльмо Лібрі-Каруччі далла Соммайя розповідав, що батько Софі відібрав у дочки свічки, одяг і забрав жаровню, обігрівати її кімнату, щоб перешкодити їй займатися математикою. Кількома роками пізніше в Британії батько молодої дівчини-математика Мері Сомервілль також відняв у дочки свічки, заявивши: «Цьому треба покласти край, якщо ми не хочемо побачити Мері в гамівній сорочці».

Але у відповідь Софі Жермен завела таємне сховище для свічок і рятувалася від холоду, кутаючись у простирадла. За повідомленням Лібрі-Каруччі, ночі взимку бували такими холодними, що чорнило замерзали в чорнильниці, але Софі продовжувала займатися математикою, незважаючи ні на що. Деякі з знали її в юності стверджували, що вона була сором'язливою і незграбною, але рішучості їй було не позичати, і врешті-решт батьки поступилися і дали Софі благословення на заняття математикою. Жермен ніколи не була заміжня, і протягом всієї її кар'єри дослідження Софі фінансував батько. Довгі роки Жермен проводила свої дослідження в повній самоті, тому що в сім'ї не було математиків, які могли б познайомити її з новітніми ідеями, а вчителі Софі відмовлялися визнати її всерйоз.

У 1794 році в Парижі відкрилася Політехнічна школа (École Polytechnique), заснована як вищий навчальний заклад для підготовки математиків і натуралістів для потреб нації. Ця школа могла б стати ідеальним місцем для Жермен, де вона могла б розвинути свій математичний хист, якби не одне нездоланну перешкоду: в École Polytechnique брали тільки чоловіків. Природна сором'язливість не дозволяла Софі відкрито виступити проти шкільних властей, і вона вирішила вчитися там таємно, під виглядом колишнього студента цього навчального закладу месьє Антуана Огюста Леблана. Керівництву школи не було відомо, що справжній месьє Леблан вже покинув Париж, і воно продовжувало друкувати для нього конспекти лекцій та завдання. Жермен стала отримувати матеріали, що призначалися для Леблана, і щотижня надавала вирішення завдань під свої новим псевдонімом. Все йшло за планом до тих пір, поки кілька місяців потому доглядач курсу Жозеф Луї Лагранж не обернув увагу на блискучі рішення, які став представляти месьє Леблан. Рішення месьє Леблана не тільки відрізнялися надзвичайним дотепністю, але і свідчили про глибоку зміни, що відбулися в студенті, раніше відомому своїми слабкими знаннями в математиці. Лагранж, що належав до числа найбільш видатних математиків Європи, зажадав зустрічі з преобразившимся студентом, і Софі Жермен була змушена відкрити, хто вона насправді. Лагранж був здивований і приємно вражений, побачивши перед собою дівчину, і став її наставником і другом. Нарешті у Софі Жермен з'явився вчитель, який міг заохотити і надихнути її, кому вона могла відкрито продемонструвати свої знання і з ким могла поділитися задумами.

Жермен набувала дедалі більшу впевненість у своїх силах і перейшла від вирішення завдань у навчальних завданнях до вивчення ще недосліджених областей математики. Але найважливіше для нашої розповіді полягає в тому, що Софі зацікавилася теорією чисел і, природно, не могла не почути про Великої теоремі Ферма. Кілька років Жермен пропрацювала над її доказом і, нарешті, досягла такого етапу, коли їй здалося, що вона змогла просунутися до бажаної мети. Виникла нагальна необхідність обговорити отримані результати з колегою, фахівцем щодо теорії чисел, і Жермен зважилася звернутися до фахівця з теорії чисел - німецькому математику Карлу Фрідріху Гауссу.

За загальним визнанням Гаусс - самий блискучий з коли-небудь жили на світі математиків. Е.Т. Белл називав Ферма «князем любителів», а Гаусса - «князем математиків». Вперше Жермен гідно оцінила талант Гаусса, зустрівши його шедевр «Арифметичні дослідження» - найбільш важливий і надзвичайно широкий за охопленням проблем трактат з написаних з часів «Почав» Евкліда. Праці Гаусса вплинули на всі розділи математики, але, як не дивно, він ніколи нічого не опублікував про Велику теоремі Ферма. В одному листі Гаусс висловив навіть зневажливе ставлення до проблеми Ферма. Друг Гаусса, німецький астроном Генріх Ольберс, написав йому листа, настійно радячи взяти участь у конкурсі на здобуття премії Паризької Академії за вирішення проблеми Ферма: «Мені здається, дорогий Гаусс, що Вам слід було б потурбуватися цим». Двома тижнями пізніше Гаус відповів: «Вельми зобов'язаний за вести відносно Паризької премії. Але зізнаюся, що Велика теорема Ферма як якесь окреме речення представляє для мене вельми малий інтерес, оскільки я міг би навести безліч таких пропозицій, які неможливо ні довести, ні спростувати». Гаусс мав право дотримуватися своїх поглядів, проте Ферма ясно заявив, що доказ існувало, і навіть вжиті згодом невдалі спроби знайти доказ породили нові та оригінальні методи, такі, як доказ методом нескінченного спуску і використання уявних чисел. Можливо, Гаусс також намагався знайти доказ і зазнав невдачі, а його відповідь Ольберсом - всього лише варіант заяви «зелений виноград». Тим не менш, успіх, досягнутий Жермен, про який Гаусс дізнався з її листів, справив на нього настільки сильне враження, що Гаусс на час забув про своє зневажливе ставлення до Великої теореми Ферма.

Сімдесятьма п'ятьма роками раніше Ейлер опублікував знайдене ним доказ для n = 3, і з тих пір все математики марно намагалися довести Велику теорему Ферма в інших приватних випадках. Але Жермен обрала нову стратегію й у листах до Гауссу виклала так званий загальний підхід до проблеми Ферма. Інакше кажучи, її безпосередньою метою було не доказ окремого випадку - Жермен намірилася сказати щось про багатьох приватних випадках відразу. У листах до Гауссу вона виклала загальний хід обчислень, зосереджених на простих числах p приватного типу: таких, що числа 2p +1 - також прості. У складений Жермен перелік таких простих чисел входить число 5, оскільки 11 = 2 • 5 + 1 - також просте, але число 13 в нього не входить, так як 27 = 2 • 13 + 1 не проста.

За загальним визнанням Гаусс - самий блискучий з коли-небудь жили на світі математиків. Е.Т. Белл називав Ферма «князем любителів», а Гаусса - «князем математиків». Вперше Жермен гідно оцінила талант Гаусса, зустрівши його шедевр «Арифметичні дослідження» - найбільш важливий і надзвичайно широкий за охопленням проблем трактат з написаних з часів «Почав» Евкліда. Праці Гаусса вплинули на всі розділи математики, але, як не дивно, він ніколи нічого не опублікував про Велику теоремі Ферма. В одному листі Гаусс висловив навіть зневажливе ставлення до проблеми Ферма. Друг Гаусса, німецький астроном Генріх Ольберс, написав йому листа, настійно радячи взяти участь у конкурсі на здобуття премії Паризької Академії за вирішення проблеми Ферма: «Мені здається, дорогий Гаусс, що Вам слід було б потурбуватися цим». Двома тижнями пізніше Гаус відповів: «Вельми зобов'язаний за вести відносно Паризької премії. Але зізнаюся, що Велика теорема Ферма як якесь окреме речення представляє для мене вельми малий інтерес, оскільки я міг би навести безліч таких пропозицій, які неможливо ні довести, ні спростувати». Гаусс мав право дотримуватися своїх поглядів, проте Ферма ясно заявив, що доказ існувало, і навіть вжиті згодом невдалі спроби знайти доказ породили нові та оригінальні методи, такі, як доказ методом нескінченного спуску і використання уявних чисел. Можливо, Гаусс також намагався знайти доказ і зазнав невдачі, а його відповідь Ольберсом - всього лише варіант заяви «зелений виноград». Тим не менш, успіх, досягнутий Жермен, про який Гаусс дізнався з її листів, справив на нього настільки сильне враження, що Гаусс на час забув про своє зневажливе ставлення до Великої теореми Ферма.

Сімдесятьма п'ятьма роками раніше Ейлер опублікував знайдене ним доказ для n = 3, і з тих пір все математики марно намагалися довести Велику теорему Ферма в інших приватних випадках. Але Жермен обрала нову стратегію й у листах до Гауссу виклала так званий загальний підхід до проблеми Ферма. Інакше кажучи, її безпосередньою метою було не доказ окремого випадку - Жермен намірилася сказати щось про багатьох приватних випадках відразу. У листах до Гауссу вона виклала загальний хід обчислень, зосереджених на простих числах p приватного типу: таких, що числа 2p +1 - також прості. У складений Жермен перелік таких простих чисел входить число 5, оскільки 11 = 2 • 5 + 1 - також просте, але число 13 в нього не входить, так як 27 = 2 • 13 + 1 не проста.

Зокрема, Жермен з допомогою витонченого міркування, довела, що якщо рівняння xn + yn = zn має рішення для таких простих n, що 2n +1 також просте число, то або x, y, або z ділиться n.

У 1825 році метод Софі Жермен був успішно застосований Густавом Лежен Дирихле і Адрієн Марі Лежандром. Цих учених розділяло ціле покоління. Лежандр був сімдесятирічним старцем, які пережили політичні бурі Великої французької революції. За відмову підтримати урядового кандидата в Національний Інститут він був позбавлений пенсії, і до того часу, коли він вніс свою лепту в доказ Великої теореми Ферма, Лежандр відчував найсильнішу нужду. Діріхле ж був молодим і сповненим честолюбних задумів фахівцем щодо теорії чисел, якому ледь виповнилося двадцять років. І Лежандру, і Діріхле незалежно один від одного вдалося довести Велику теорему Ферма при n = 5, причому обидва засновували свої докази на міркуваннях Софі Жермен і саме їй були зобов'язані своїм успіхом.

Ще один прорив здійснив чотирнадцятьма роками потому француз Габріель Ламі. Він вніс деякі дотепні удосконалення в метод Жермен і довів Велику теорему Ферма при простому значенні n = 7. Жермен показала фахівцям з теорії чисел, як виключити цілу групу випадків з простими значеннями n, і тепер об'єднаними зусиллями її колеги продовжували доводити теорему для одного простого значення n за іншим. Робота Жермен над Великою теоремою Ферма стала її найбільшим досягненням в математиці, хоча і не відразу оціненим гідно. Коли Жермен вперше написала Гауссу, їй не було ще й тридцяти років, і хоча її ім'я придбало популярність в Парижі, вона побоювалася, що великий математик не сприйме лист від жінки всерйоз. Щоб захистити себе, Жермен знову сховалася за псевдонімом, підписавши лист ім'ям месьє Леблана.

Софі не приховувала свого благоговіння перед Гауссом. Ось фраза з її листа: «На жаль, глибина мого інтелекту поступається ненаситності мого апетиту, і я усвідомлюю все нерозсудливість свого вчинку, коли беру на себе сміливість потурбувати геніальної людини, не маючи ні найменшого права на його увагу, окрім захоплення, яке неминуче охоплює всіх його читачів». Гаусс, не підозрюючи про те, хто насправді його кореспондент, спробував заспокоїти «месьє Леблана». У відповідному листі Гаусса говорилося: «Я захоплений тим, що арифметика знайшла в Вас настільки здатного одного».

Результати, отримані Жермен, могли б назавжди залишитися помилково приписаними месьє Лебланом, якби не імператор Наполеон. У 1806 році Наполеон захопив Пруссію, і французька армія штурмувала одну німецьку столицю за одною. Жермен стала побоюватися, як би долю Архімеда не поділяє її другий великий герой - Гаус. Софі написала своєму другові - генералу Жозефу Марі Пернеті, який командував наступавшими військами. У листі вона просила генерала забезпечити Гауссу безпеку. Генерал зробив відповідні заходи, подбав про німецький математики і пояснив йому, що той зобов'язаний своїм життям мадемуазель Жермен. Гаусс висловив свою вдячність, але був здивований, так як ніколи не чув про Софі Жермен.

Гра була програна. У наступному ж листі Гауссу Жермен неохоче відкрила своє справжнє ім'я. Нітрохи не розсердившись за обман, Гаус із захопленням відповів їй: «Як описати Вам той захват і те здивування, які охопили мене при вигляді того, як мій вельмишановний кореспондент месьє Леблан зазнав метаморфозу, перетворившись на чудову особу, що подає настільки блискучий приклад, що мені важко в це повірити. Смак до абстрактним наукам взагалі, і передусім до всіх таїнств чисел, зустрічається вкрай рідко, і це не дивно: прельстітельние чари цієї тонкої науки відкриваються тільки тим, хто має сміливість глибоко проникнути в неї. Але коли представниця тієї статі, який у відповідності з нашими звичаями і забобонами, має зустрітися з нескінченно великими труднощами, ніж чоловіки, при ознайомленні з тернистими дослідженнями, примудряється успішно подолати всі ці перешкоди і проникнути в їх найтемніші частини, то, безсумнівно, вона володіє благородним мужністю, зовсім незвичайними талантами і вищої обдарованістю. Ніщо не змогло б переконати мене настільки втішним і безсумнівним чином у тому, що привабливі сторони цієї науки, що збагатила моє життя такою кількістю радостей, не є плодом фантазії, як та відданість, якій Ви вшанували її».

Листування з Карлом Гауссом, що стала для Софі Жермен джерелом натхнення в роботі, раптово обірвалася в 1808 році. Гаусс був призначений професором астрономії в Геттінгенському університеті, його інтереси перемістилися від теорії чисел до більш прикладній математиці, і він перестав відповідати на листи Жермен. Позбувшись підтримки такого наставника, Жермен втратила впевненість у своїх силах і через рік залишила заняття чистою математикою. Хоча їй не вдалося просунутися далі в доказі Великої теореми Ферма, вона зайнялася вельми плідною діяльністю в галузі фізики - наукової дисципліни, в якій вона знову могла б зайняти визначне становище, якби не забобони істеблішменту. Найвищим досягненням Софі Жермен у фізиці став «Мемуар про коливання пружних пластин» - блискуча, повна нових ідей робота, що заклала основи сучасної теорії пружності. За цю роботу і роботи по Великій теоремі Ферма вона була удостоєна медалі Інституту Франції і стала першою жінкою, яка відвідувала лекції в Академії Наук, не будучи дружиною члена Академії. До кінця життя Софі Жермен відновила стосунки з Карлом Гауссом, що переконав Геттінгенського університету присудити їй почесну вчений ступінь. На жаль, Софі Жермен померла від раку грудей перш, ніж університет зміг надати їй заслужену почесть.

«Враховуючи все сказане, можна сказати, що Софі Жермен, мабуть, володіла найбільш глибоким розумом серед жінок, яких коли-небудь виробляла Франція. Може здатися дивним, але коли прийшов чиновник, щоб видати свідоцтво про смерть цієї знаменитої колеги і співробітниці найзнаменитіших членів Французької Академії Наук, у графі «рід занять» він позначив її як «самотня жінка без професії», а не «математик». Але це ще не все. При будівництві Ейфелевої вежі інженери приділяли особливу увагу пружності використовуваних матеріалів, і на цьому гігантському спорудженні були написані імена сімдесяти двох вчених, які внесли особливо великий внесок у розвиток теорії пружності. Але марно ми стали б шукати в цьому списку ім'я геніальної дочки Франції, чиї дослідження багато в чому сприяли становленню теорії пружності металів - Софі Жермен. Чи була вона виключена з цього списку з тієї ж причини, по якій Марія Аньєзі була удостоєна членства в Французької Академії, - тому, що була жінкою? Мабуть, справа йшла саме так. Але якщо це дійсно так, то тим більша ганьба для тих, хто відповідальний за таку кричущу невдячність по відношенню до людини, яка мала настільки великі заслуги перед наукою, - людині, що забезпечив собі гідне місце в залі слави». (А.Ж. Мозанс, 1913.)

2.3 Ендрю Уайлс

Щоб довести Велику теорему Ферма, Уайлсу було необхідно спочатку довести гіпотезу Таніями-Шимури про те, що кожній еліптичної кривої можна поставити у відповідність деяку модулярную форму. Багато математики відчайдушно намагалися довести цю гіпотезу, але всі спроби закінчилися невдачею. Уайлс добре усвідомлював, які жахливі труднощі очікують його на шляху до доказу: «Врешті-решт все, що наївно сподівалися зробити одні і що дійсно намагалися зробити інші, зводилося до того, щоб перерахувати еліптичні криві і модулярні форми і показати, що число одних збігається з числом інших. Але ніхто і ніколи не запропонував простого способу, який дозволив би зробити це. Перша трудність полягає в тому, що існує нескінченно багато еліптичних кривих і нескінченно багато модулярних форм, і тому кількість тих і інших неможливо виразити кінцевим числом».

Уайлс вирішив скористатися своїм звичайним підходом до вирішення важких завдань. «Іноді я записую на листку паперу каракулі. Строго кажучи, вони нічого не означають. Це, так би мовити, підсвідомі каракулі. Комп'ютером я не користуюся ніколи». У багатьох задачах теорії чисел, комп'ютери виявляються абсолютно непотрібними. Гіпотеза Таніями-Шимури відноситься до нескінченно багатьом рівнянням, і хоча комп'ютер може перевірити за кілька секунд кожен окремий випадок, він ніколи не зможе перевірити всі випадки. Було потрібно щось інше: логічне міркування, яке допускало б розбиття на окремі кроки, яке б в цілому вказувало причину і давало пояснення, чому все еліптичні криві без винятку повинні відповідати модулярним формам. І в пошуку докази Уайлс покладався тільки на листок паперу, олівець і свій розум. «Я не забував ні на мить про свою мету. З цим я прокидався вранці, над цим міркував весь день, про це думав, засинаючи. Не відволікаючись, я тільки й робив, що розмірковував і розмірковував над усім цим».

Дата добавления: 2015-09-29